第1讲：数学建模简介.ppt
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欢迎同学们参加全国大学生数学建模竞赛,参与竞争创新协作,2012年全国大学生数学建模竞赛暑期培训,数学建模与数学建模竞赛,第1讲,数学建模指导组黄新仁,引例,“三块钢板”的启示,第一块钢板的故事，是运输机飞行员讲的。
在飞越驼峰航线，支援中国抗战时，美军的运输机队常常遭到日军战斗机的偷袭。
C47运输机只有一层铝皮，子弹常常穿透飞行员座椅，夺去飞行员的生命。
情急之下，一些美军飞行员在座椅背后焊上一块钢板。
靠着这块钢板，他们保住了自己的性命。
第二块钢板的故事，来自一位将军。
诺曼底登陆时，美军101空降师副师长唐普拉特准将乘坐的是滑翔机。
起飞前，有人自作聪明，在副师长的座位下，装上厚厚的钢板，用来防弹。
由于滑翔机自身没有动力，与牵引的运输机脱钩后，必须保持平衡滑翔降落，沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻，一头扎向地面，普拉特准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。
引例,第三块钢板的故事，来自一位数学家。
二战后期，美军对德国和日本法西斯展开大规模战略轰炸，每天都有成千架轰炸机呼啸而去，返回时，往往损失惨重。
空军请来了数学家亚伯拉罕沃尔德。
沃尔德把统计表发给地勤技师，让他们把飞机上弹洞的位置报上来，然后在一大张白纸上画出飞机的轮廓，再把那些小窟窿一个一个地添上去。
画完后大家发现，飞机浑身上下都是窟窿，只有飞行员座舱和尾翼两个地方，几乎是空白。
飞行员们一看就明白了，如果座舱中弹，飞行员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡，就会坠落这两处中弹，轰炸机多半回不来，难怪统计数据是一片空白。
因此，结论很简单：
只给这两个部位焊上钢板。
引例,第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己的生命。
第二块钢板则是教训，它是用宝贵的生命换来的。
第三块钢板是升华，用科学的方法，从实战经验中提炼出规律，这块讲科学的钢板，挽救了众多飞行员的生命。
引例,内容提要,实物模型,符号模型,物理模型,水箱中的舰艇；风洞中的飞机等；,为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
什么是数学建模,什么是数学模型,一般意义上的“模型”,数学模型（mathematicalmodel）,什么是数学建模,广义上的数学模型：
一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统等。
如：
万有引力公式、牛顿第二定律、欧拉方程等。
各种数学分支，如欧氏几何、线性代数、微积分等。
建模竞赛中的数学模型：
解决实际问题时所用的一种数学框架（或数学结构），如方程、计算机程序乃至图标和图形。
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（mathematicalmodeling）,“新”名词,历史悠久,什么是数学建模,九章算术,最早的数学建模专著、,收集了246个应用题,以问题集形式出现：
一“问”二“答”三“术”四“注”,你是什么时候开始知道有这个名词的？
提出问题,给出问题的数值答案,讨论同类问题的普遍方法或算法,说明“术”的理由，实质指证明或佐证,实践与理论的桥梁,什么是数学建模,实践,理论,极端重要性,科学技术的本质是数学应用，数学建模是数学应用的必由之路。
实际问题中，需要对研究对象提供分析、预报、决策或控制的定量结果。
素质教育和数学教学改革的迫切需要。
什么是数学建模,简单的数学模型举例,【例1】（兔子繁殖模型）,兔子出生两个月后能生小兔。
若每对兔子每次只生一对兔（一个月内），问n个月后有多少对兔子？
假设,假设1：
第一个月只有一对兔子。
假设2：
在一段时间内不计兔子的死亡数。
分析,第一个月：
有1对兔子；,第二个月：
小兔尚未成熟，不能生育，兔子总数为1对；,第三个月：
兔子生了1对小兔，共有兔子2对；,第四个月：
老兔子又生了1对小兔，而上月生的小兔尚未成熟不能繁殖，故该月兔子总数为3对；,第五个月：
有2对兔子每对生1对，另1对不能生育，该月共有兔子5对。
如此推算得如下数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、,斐波拉契（Fibonacci）数列,什么是数学建模,记Fn为数列的第n项，则有：
用数学归纳法可以证明：
（1）,
（2）,证明：
略,兔子总数的数学模型,什么是数学建模,注意：
（1）上述模型的获得过程使用了数学归纳法证明。
（2）此模型也可以用如下计算机程序语句表示：
（3）,兔子总数的数学模型,什么是数学建模,【例2】（哥尼斯堡七桥问题）,18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：
能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？
什么是数学建模,A,B,C,D,将A、B、C、D四个地方抽象成四个点，桥抽象成连接两点的弧。
原问题归为：
从A、B、C、D中某一点出发能否构成一笔画的问题。
要构成一笔画，则各节点连接的弧应为偶数条。
A,B,C,D,图1,图2,此题无解！
为什么？
因A、B、C、D都有奇数条弧与之连接。
什么是数学建模,A,B,C,D,A,B,C,D,图1,图2,欧拉关于一笔画问题的重要结论：
（1）连接奇数条弧的节点仅有一个或两个以上时，不能一笔画。
（2）连接奇数条弧的节点仅有两个时，则从两个节点中的任一个出发，可以实现一笔画。
（3）每个节点都连接偶数条弧时，则从任一节点出发均能实现一笔画，且回到出发点。
图3,什么是数学建模,内容提要,实际问题,符合实际,不符合实际,建模步骤,数学建模步骤及分类,数学建模步骤及分类,形成一个比较清晰的“问题”,数学建模步骤及分类,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,数学建模步骤及分类,尽量采用简单的数学工具,数学建模步骤及分类,采用各种数学方法或计算软件求解,数学建模步骤及分类,如结果的误差分析、统计分析、灵敏度分析、稳定性分析等,数学建模步骤及分类,与实际现象、数据比较；检验模型的合理性、适用性。
数学建模步骤及分类,建模所具备的知识,数学知识1、高等数学2、线性代数3、概率论与数理统计4、最优化理论5、图论6、组合数学7、微分方程稳定性分析8、排队论计算机知识1、综合类：
Matlab,Mathematic2、统计类：
Spss,SAS,Statistics3、最优解：
Lindo,Lingo4、论文排版,数学建模步骤及分类,常用的建模方法,机理分析法：
以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。
如：
牛顿第二定律,统计分析法：
以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。
如：
多元统计分析。
系统分析法：
对复杂性问题或主观性问题的研究方法。
把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。
如：
层次分析法。
数学建模步骤及分类,模型的分类,1）按变量的性质分：
2）按时间变化对模型的影响分,数学建模步骤及分类,3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、资源利用模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、社会学数学模型等,4）按建模的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、图论模型、线性代数模型、微分方程模型、马氏链模型、运筹学模型等。
数学建模步骤及分类,内容提要,全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）简介,全国大学生数学建模竞赛（CUMCMChinaUndergraduateMathe-maticalContestinModeling）,教育部高等教育司（MOE）中国工业与应用数学学会（CSIAM）,1985年，起源于美国,1989年，引入中国，并在少数重点高校举行竞赛,1992年，中国举办第一届全国竞赛,1992年至今，逐步发展壮大，影响力不断增强,数学建模竞赛及其意义,新加坡、香港,美国、伊朗,数学建模竞赛及其意义,2007C题：
手机“套餐”优惠几何2007D题：
体能测试时间安排,2006C题：
易拉罐形状和尺寸最优设计2006D题：
煤矿瓦斯和煤尘监测与控制,2005C题：
雨量预报方法的评价2005D题：
DVD在线租赁,2004C题：
饮酒驾车2004D题：
公务员招聘,2003C题：
SARS的传播2003D题：
抢渡长江,2008A题：
数码相机定位2008B题：
高等教育学费标准探讨,2009A题：
制动器试验台的控制方法分析2009B题：
眼科病床的合理安排2009C题：
地面搜索2009D题：
卫星监测,2010A题：
储油罐变位识别与罐容表标定2010B题：
2010年上海世博会影响力的定量评估2010C题：
输油管的布置2010D题：
对学生宿舍设计方案的评价,2011A题：
血管的三维重建2011B题：
公交车调度2011C题：
基金使用计划2011D题：
卫星监测,数学建模竞赛及其意义,每年的9月份中旬，时限72小时。
“自由”式：
跨年级、跨专业组队，3人一队；,开放式：
可通过图书馆、网络查阅任何资料；,通讯式：
赛题通过网络发送，答卷通过EMS传递。
来自物理、生物、医学、工业、农业、军事、管理等各学科领域的实际问题。
题目2选1。
创新精神，团队精神，重在参与，公平竞争！
假设合理，富于创造，结果正确，表述清晰等。
数学建模竞赛及其意义,竞赛的反响,IBM中国研究中心-招聘条件Positiontitle:
BusinessOptimization（BJ）1.Backgroundinindustrialengineering,operationsresearch,mathematics,ArtificialIntelligence,managementscienceetc.2.Knowledgeinnetworkdesign,jobscheduling,dataanalysis,simulationandoptimization4.Experienceinindustryisaplus5.Experienceineclipseorprogrammingmodel/architecturedesignisaplus-Feb.18,2006,http:
/,3.Awardinmathematicalcontestinmodelingisaplus,数学建模竞赛及其意义,IBM中国研究中心:
BusinessAnalysisOptimizationJobRequirements:
1、PhDM.S.inmathematics,statistics,computerscience,industrialengineeringmanagementscienceetc.2、Self-motivated,responsible,abletowkindependentlyundertightdeadlinewillingtowkunderpressure.3、Skillinappliedmathematics,includingmathematicalprogramming,statistics,datamining,simulationetc.4、Knowledgeinsupplychainlogisticsstrategymodeling,simulation,planningoptimization.5、Stronginterestbasicknowledgeaboutindustrytrends,technologies,solutionsinanalyticsoptimization.6、ExperienceinERP/SCM/CRMsystemSCMconsultingpracticeisaplus.8、Experienceineclipse,Java,architecturedesignisaplus.-March26,2009,http:
/,竞赛的反响,7、Awardinhighlyregardedmathematicalmodelingcontestisaplus.,数学建模竞赛及其意义,对学校：
实现高校教育教学和人才培养模式的改革；,对教师：
增强科研意识，提升科研能力；,对学生：
培养创新精神，团队协作精神等,运用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力；,锻炼想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力；,培养团结合作的精神和协调组织的能力；,勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志。
查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力；,一次参赛，终身受益！
建模竞赛的重要意义,数学建模竞赛及其意义,数学建模竞赛培养了我对数学的一种强烈而又持久的兴趣，我是外语系的学生，大一时选修“工科应用数学”是出于兴趣，而后在参加数学建模竞赛的过程中，多次让我强烈地体会到数学所散发的美感以及把数学知识应用于实际后产生的巨大力量，这激发并强化了我对于数学的兴趣，使我在本科四年中，无论自己专业的课程多么紧张，都没有放弃过对数学的学习。
现在我的研究生专业是“管理信息系统”，对数学的要求很高，如果当初没有在数模竞赛的激励下学习过多门数学系的课程，我将根本无法胜任现在的学习。
从这个意义上说，数学建模竞赛改变了我的一生.总之，通过数学建模我学到了很多，也长大了很多，数模对我的影响将是非常深远的，我也永远不会忘记，在大学时代和队友们一起用演算纸和计算机构造模型的日子。
学生参赛体会,（大连理工大学外语系杨楠）,如果问参加数学建模竞赛的最大的体会是什么？
我想是创造与协作吧，一个非常实际的问题让我们来解决，我们要了解其背景、找出其特性、归纳其解决方案，在这个过程中，没有创造性是不行的，没有想象力是不够的，没有团结协作的精神是不能完成任务的，一个人的智慧是有限的，而三个人的智慧远远超过了一个人的三倍，三个人共同奋斗，一起努力克服困难才是参赛的最大收获。
参加这种与实践密切相关的竞赛还使我认识到，在实践中解决问题只有更好方案而没有最好的方案，任何事物都有缺点，不存在完美的事物，这就培养了我们对于科学的严谨作风，不盲目跟从，凡事多问几个为什么。
从另一个角度讲，数学与软件的关系非常密切，可以说，一个问题的解答就构成了一个软件的相应生成原理和基本构架。
总之，把理论应用于实践就是数学建模的真正意义。
学生参赛体会,（重庆大学计算机学院刘启滨）,院士寄语数学建模（竞赛）,数学建模竞赛及其意义,院士寄语数学建模（竞赛）,数学建模竞赛及其意义,常用网址,全国组委会网址：
http:
/,全国组委会网址：
http:
/,全国组委会网址：
http:
/,赛才网：
http:
/,全国组委会网址：
http:
/,中国数模网：
http:
/,数学建模竞赛及其意义,A,B,甲,甲,发散思维训练,一般思维：
逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
发散思维训练,发散思维训练,内容提要,【实例2.1】四条腿的椅子能在不平的地面上放稳吗？
初步分析,必要假设,通常三只脚着地,放稳四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
数学建模实例,进一步分析及模型建立,关键：
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形（椅脚连线）的对称性，用,（对角线与x轴的夹角）表示椅子位置,四只脚着地,数学体现：
距离是的函数,直观特点：
椅脚与地面距离为零,【实例1】椅子能在不平的地上放稳吗？
正方形ABCD绕O点旋转,A,C两脚与地面距离之和f（）,B,D两脚与地面距离之和g（）,四个距离（四只脚）,两个距离,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f（）,g（）是连续数,对任意,f（）,g（）至少一个为0,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,【实例1】椅子能在不平的地上放稳吗？
由上述分析得到如下数学问题,已知：
f（）,g（）是连续函数;对任意，f（）g（）=0;且g（0）=0，f（0）0.证明：
存在0，使f（0）=g（0）=0.,【实例1】椅子能在不平的地上放稳吗？
模型求解（证明）,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。
由g（0）=0，f（0）0，知f（/2）=0,g（/2）0.令h（）=f（）g（）,则h（0）0和h（/2）0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h（0）=0,即f（0）=g（0）.因为f（）g（）=0,所以f（0）=g（0）=0.,评注和思考,建模的关键,课后思考题：
考虑四脚呈长方形的椅子，你如何解释？
和f（）,g（）的确定,【实例1】椅子能在不平的地上放稳吗？
为了促进个人住房的商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金利率和个人住房商品化利率如下表所示：
王先生要购买一套商品房，需要贷款25万，其中公积金贷款10万，分12年还清，商业性贷款15万，分15年还清，每种贷款按月等额偿还。
问；
（1）王先生每月应还款多少？
（2）用表格的方式给出每年年底王先生尚欠的款项.（3）在第12年还清公积金，如果想把余下的商业性贷款一次性还清，应付多少？
【实例2】房屋贷款偿还问题,【实例2】房屋贷款偿还问题,银行规定：
住房贷款偿还款项以复利计息；为避免坏账，贷款者必须有稳定的经济收入，有足够的能力保证能按时偿还。
一、分析与假设,假设1：
王先生每月都能按时支付房屋贷款所需的偿还款项；假设2：
贷款期限确定后，公积金贷款月利率为L1，商业贷款月利率为L2均保持不变。
【实例2】房屋贷款偿还问题,符号假设：
二、建立模型,初始时刻公积金贷款数,初始时刻商业性贷款数,每月应偿还的公积金贷款数,每月应偿还的商业性贷款数,第K个月尚欠的公积金贷款数,第K个月尚欠的商业性贷款数,【实例2】房屋贷款偿还问题,下一个月尚欠的贷款数=上一个月尚欠贷款数+应付利息-该月的偿还款数，即有,
（1）公积金贷款尚欠款数为：
由于,
（1）,
（2）,【实例2】房屋贷款偿还问题,对公积金贷款，分12年即144个月还清，有,三、模型的解,【实例2】房屋贷款偿还问题,同理，利用模型（3），算得每月偿还的商业性贷款数为：
（5）,所以，王先生每月还款数为942.34+1268.2=2210.54元,【实例2】房屋贷款偿还问题,在
（2）和（3）中取k=12n，n=1,2,15，可计算出王先生每年年底尚欠的贷款数，列表如下：
【实例2】房屋贷款偿还问题,为验证模型的正确性，做如下讨论：
四、模型的验证,这表示对于足够大的k能还清贷款。
【实例2】房屋贷款偿还问题,（6）,这表示所欠贷款数始终是初始贷款数。
这表示所欠贷款数将逐月无线增大，永远无法还清。
【实例2】房屋贷款偿还问题,五、应用范围,模型
（2）和（3）适用于各种金额、各种期限的住房贷款的偿还计算，（4）和（5）是著名的分期偿还公式。
【实例3】双层玻璃的功效,你注意到在寒冷的北方许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的吗？
请建立数学模型解释这种现象。
一、问题的提出,比较两座其他条件完全相同的房屋，它们的差异仅仅在窗户不同。
如何建立模型来描述热量通过窗户的传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料作成的单层玻璃窗的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量的分析结果？
【实例3】双层玻璃的功效,假设1：
设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。
假设2：
室内温度T1与户外温度T2均为常数。
假设3：
玻璃是均匀的，热传导系数为常数。
二、简化假设,三、模型的建立与求解,设玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为Q.,热传导公式：
Q=kT/d,解得,代入
（1）式,得,
（1）,1、双层玻璃的情形,【实例3】双层玻璃的功效,由模型
（1）的建立，可同理得,（一般）,故,2、单层玻璃的情形,
（2）,由
（1）与
（2）相比较得,（3）,【实例3】双层玻璃的功效,记h=l/d，并令,考虑到美观和使用上的方便，h不必取得过大，例如，可取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的3%。
（3）,【实例3】双层玻璃的功效,功效来源于玻璃层间极低的热传导系数k2.作为模型假设条件中的”空气干燥,不流通”,实际环境不能完全满足,因此实际功效会有偏差.,四、模型评注,【实例3】双层玻璃的功效,在超市的商品订购等实际问题中，往往会遇到这样的情况：
若存储量过大，会导致贮存费太高，存储量过小，会导致一次性订购的费用增加或者不能及时满足需求。
能否建立合适的商品订购模型，使得订购成本最低？
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。
【实例4】存储模型,一、问题分析,每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
10天生产一次，每次1000件，贮存费加准备费总计9500元。
50天生产一次，每次5000件，贮存费加准备费总计127500元。
平均每天费用950元,平均每天费用2550元,10天生产一次平均每天费用最小吗?
每天费用5000元,不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
这是一个优化问题，关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数,目标函数应是“每天总费用的平均值”,周期短，产量小,周期长，产量大,假设1：
产品每天的需求量为常数r；,假设2：
每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；,假设3：
T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；,建模目的：
设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。
假设4：
时间和产量都作为连续量处理。
二、简化假设,贮存量表示为时间的函数q（t）,设q（0）=Q,q（t）以需求速率r递减，q（T）=0.,一周期总费用,每天总费用平均值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A=QT/2,能作为目标函数吗？
为什么？
三、模型建立,求T使,c1=5000,c2=1，r=100,T=10（天）,Q=1000（件）,C=1000（元）,四、模型求解,五、模型验证,六、模型应用,每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，,用于订货、供应、存贮情形,1.不允许缺货的存贮模型,T天订货一次（周期）,每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。
经济批量订货公式（EOQ公式）,说明:
为什么货物本身价格在本模型中可以不考虑?
设货物本身价格为k（单价）,则,不影响模型的最终结果（4）和（5）!
问：
为什么不考虑生产费用？
A,B,当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失,原模型假设：
贮存量降到零时Q件立即生产出来（或立即到货）,现假设：
允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足,一周期贮存费,一周期缺货费,周期T,t=T1贮存量降到零,一周期总费用,2.允许缺货的存贮模型,每天总费用平均值（目标函数）,一周期总费用,求T,Q使,为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T,Q记作Q,不允许缺货模型,记,允许缺货模型,允许缺货模型,注意：
缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R（或订货量）,Q不允许缺货时的产量（或订货量）,本讲结束，谢谢大家！
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