西师版小学数学毕业总复习资料.docx

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西师版小学数学毕业总复习资料

第一章数和数的运算

一、概念和结论

（一）整数

1、整数：

自然数和0都是整数。

整数分为正整数、0和负整数。

2、自然数：

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3……叫做自然数，一个物体也没有，就用0表示。

0是最小的自然数，自然数包括正整数和0。

3、计数单位：

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

这样的计数法叫做十进制计数法。

4、数位：

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除：

如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

 如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

倍数和因数是相互依存的。

因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

例如：

10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

例如：

3的倍数有：

3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。

一个数最大的因数和最小的倍数相等，都是它本身。

一个数的所有倍数都是它的所有因数的倍数，一个数的所有因数都是它的所有倍数的因数。

6、能被2、3、5、8、9整除的数的特征：

能被2整除的数的特征：

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：

202、480、304。

能被5整除的数的特征：

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：

5、30、405。

能被5整除的数的特征：

一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：

204、48.

能被9整除的数的特征：

一个数各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。

例如：

234、630.

能被4（或25）整除的数的特征：

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的数的特征：

一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数能被8（或125）整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

能同时被2和3整除的数，一定是6的倍数。

能同时被2和5整除的数，个位一定是0（也就是10的倍数）。

能同时被3和5整除的数，一定是15的倍数。

能同时被2、3、5整除的数，一定是30的倍数；能同时被2、3、5整除的最小三位数是120，最大的三位数是990。

7、偶数与奇数、质数与合数：

自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数两类。

能被2整除的数叫做偶数，最小的偶数是0。

不能被2整除的数叫做奇数，最小的奇数是1。

按因数的个数可以把自然数分为质数、合数、1三类。

只有1和它本身两个因数的数叫做质数。

除了1和它本身之外还有别的因数的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。

100以内的质数有：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

质数只有两个因数，合数至少有三个因数。

1既不是质数也不是合数。

最小的质数是2，最小的合数是4，既是偶数又是质数的数只有2，20以内既是奇数又是合数的数只有9和15。

分解质因数：

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

这几个质数叫做这个合数的质因数。

例如：

15=3×5，3和5叫做15的质因数。

8、公因数与公倍数：

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。

其中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们的最大公因数。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6……；3的倍数有3、6、9……。

其中，6、12……是2和3的公倍数，6是2和3的最小公倍数。

几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。

9、互质数：

互质数：

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

互质的两个数不一定是质数。

互质数的6种特例：

相邻的两个自然数一定是互质数，例如：

15和16；相邻的两个奇数一定是互质数，例如：

15和17；1和任何一个自然数一定是互质数；2和任何一个奇数一定是互质数；两个不同的质数一定是互质数，例如：

7和13；一个质数与一个合数，如果它们不成倍数一定是互质数，例如：

5和33。

（二）小数

1、小数的意义 

把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 

一个小数由整数部分、小数部分和小数点组成。

数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

2、小数的分类 

纯小数：

整数部分是零的小数，叫做纯小数。

例如：

0.25和0.368。

带小数：

整数部分不是零的小数，叫做带小数。

例如：

3.25和5.26。

有限小数：

小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。

例如：

41.7和25.3。

无限小数：

小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。

例如：

4.33……和3.1415926……。

无限不循环小数：

一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。

例如：

∏

循环小数：

一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

例如：

3.555……0.0333……12.109109……。

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

例如：

3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。

纯循环小数：

循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

例如：

3.111……0.5656……。

混循环小数：

循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

例如：

3.1222……0.03333……。

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首位数字和末位数字上各点一个圆点。

（三）分数

1、分数的意义：

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

表示其中的一份的数，叫做分数单位。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

2、分数的分类：

真分数：

分子比分母小的分数叫做真分数。

真分数小于1。

假分数：

分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。

假分数大于或等于1。

带分数：

假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

3、约分和通分：

把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

把一个分数化成最简分数的过程叫做化简分数。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

（四）百分数：

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。

百分数通常用“%”来表示。

百分号是表示百分数的符号。

二、方法

（一）数的读法和写法 

1、整数

（1）整数的读法：

从高位到低位，一级一级地读。

读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。

每一级末尾的0都不读出来，其它数位上有一个0或连续的几个0都只读一个零。

（2）整数的写法：

从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

2、小数

（1）小数的读法：

读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

（2）小数的写法：

写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

3、分数

（1）分数的读法：

读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。

（2）分数的写法：

先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。

4、百分数

（1）百分数的读法：

读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

（2）百分数的写法：

百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

（二）数的改写 

一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。

有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

1.准确数：

在万位或亿位数字后面打上小数点，省略小数末尾的0，再加上一个“万”字或“亿”字，用等号连接。

例如：

1254300000＝125430万；1254300000＝12.543亿。

2.近似数：

找到万位或亿位，看千位或千万位上的数字是否满5，满了5就向前一位进一，并舍去尾数；没满5就直接舍去尾数，同时在后面加上一个“万”字或“亿”字，用约等号连接。

例如：

1302487015≈130249万，1302487015≈13亿。

（三）近似数

1、四舍五入法：

比保留的位数多看一位，该位上的数字是“4”或者比“4”小，就舍去，该位上的数字是“5”或者比“5”大，向前一位进一。

2、去尾法：

无论尾数的是几，一律舍去的凑整方法叫做“去尾法”。

3、进一法：

无论尾数是几，舍去时，并向前进一。

（四）大小比较 

1、比较整数大小：

先看位数，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

2、比较小数的大小：

先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大…… 

3、比较分数的大小:

分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。

分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。

4、0与负数的比较：

0比任何负数都大。

5、比较负数的大小：

在负数中，数值越大的负数反而越小，数值越小的负数反而越大。

（五）数的互化

1、小数化成分数：

原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

2、分数化成小数：

用分子除以分母。

能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留两位小数。

3、一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

4、小数化成百分数：

把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

5、百分数化成小数：

把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

6、分数化成百分数：

通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

7、百分数化成小数：

先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

8、熟记常用的分数、小数、百分数的互化：

＝0.5＝50%

＝0.25＝25%

＝0.75＝75%

＝0.2＝20%

＝0.4＝40%

＝0.6＝60%

＝0.8＝80%

＝0.125＝12.5%

＝0.375＝37.5%

＝0.625＝62.5%

＝0.875＝87.5%

＝0.04＝4%

（六）数的整除 

1、分解质因数：

把一个合数分解质因数，通常用短除法。

先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

2、求两个数的最大公因数：

先用这两个数的公因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的的最大公因数。

3、求两个数的最小公倍数：

方法与求最大公因数的方法相同，只是最后要把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这两个数的最小公倍数。

（七）约分和通分 

约分：

用分子和分母的公因数（1除外）同时去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

通分：

先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

三、性质和规律

（一）乘法的规律

一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也随着扩大或缩小相同的倍数；一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。

一个非零数乘小于1的数，积小于这个数；一个非零数乘大于1的数，积大于这个数；

（二）乘法的规律

商不变的规律：

被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商也随着扩大或缩小相同的倍数；被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。

当被除数不为0时，除数大于1，商反而小于被除数；除数小于1，商反而大于被除数。

（三）小数的性质在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。

近似数末尾的0不能去掉。

（四）小数点位置的移动引起小数大小的变化

小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍……

小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍……

小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足。

（五）分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

四、四则运算的意义

（一）整数四则运算

1、整数加法：

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。

加数是部分数，和是总数。

加数+加数=和  一个加数=和－另一个加数 

2、整数减法：

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。

被减数是总数，减数和差分别是部分数。

加法和减法互为逆运算。

被减数－减数＝差被减数＝减数+差

3、整数乘法：

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。

相同加数的和叫做积。

0和任何数相乘都得0，1和任何数相乘都得任何数。

 因数×因数=积   积÷一个因数＝另一个因数

4、整数除法：

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。

在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。

乘法和除法互为逆运算。

在除法里，0不能做除数。

因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。

被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 

5、乘方:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。

例如4×4=42＝16，4×4×4=43＝64。

（二）小数四则运算

小数加法、减法、小数乘整数、小数除法的意义与整数相同。

一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。

（三）分数四则运算 

分数加法、减法、分数乘整数、分数除法的意义与整数相同。

分数乘分数的意义是求这个数的几分之几是多少。

如

×

表示求

的

的多少。

乘积是1的两个数叫做互为倒数。

五、简便运算的依据

（一）运算定律

1、加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。

2、加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即a+b+c=a+（b+c）。

3、乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。

4、乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即（a×b）×c=a×（b×c）。

5、乘法分配律：

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即（a+b）×c=a×c+b×c。

 两个数的差与一个数相乘也可以：

（a－b）×c=a×c－b×c

（二）加数或减数接近整数（或整十、整百数……）的简便计算：

多加就减；多减就加；少减就再减。

（三）去括号（或添括号）法则。

（用于同级运算中）

在加、减法中：

括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。

加变减，减变加。

在乘、除法中：

括号前面是乘号，去掉括号不变号；括号前面是除号，去掉括号要变号，乘变除，除变乘。

（四）减法的性质：

从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去这几个数的和，差不变，即a-b-c=a-（b+c）。

（五）积不变的性质：

两个因数，一个扩大若干倍，另一个缩小相同的倍数，积不变。

a×b＝（a×c）×（b÷c） 

（六）除法的性质：

一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的乘积。

即a÷b÷c＝a÷（b×c）

（七）商不变的性质：

被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

a÷b＝（a÷c）÷（b÷c）

a÷b＝（a×c）÷（b×c）

六、运算法则 

1、整数加法：

相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

2、整数减法：

相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。

3、整数乘法：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，哪一位上乘得的积满几十就向前进几，然后把各次乘得的数加起来。

4、整数除法：

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。

如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。

每次除得的余数要小于除数。

5、小数乘法：

先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。

6、除数是整数的小数除法：

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。

7、除数是小数的除法：

先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也同时向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。

8、同分母分数加减法:

只把分子相加减，分母不变。

9、异分母分数加减法:

先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

10、分数乘法:

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

所得的积一般要写成最简分数。

12、分数除法:

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

七、混合运算的运算顺序 

第一级运算：

加法和减法。

 第二级运算：

乘法和除法。

没有括号的混合运算:

同级运算从左往右依次运算；有两级运算的先算乘、除法，后算加减法。

有括号的混合运算:

先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

第二章解决问题

一、一般应用题常用数量关系

1、单价×数量＝总价总价÷数量＝单价总价÷单价＝数量

2、平均数问题

算术平均数：

数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数：

（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

差额平均数：

（大数－小数）÷2=小数应得数   最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数

最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

3、行程问题

（1）一般行程问题　　

速度×时间=路程；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。

（2）反向行程问题：

分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）

两种。

（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；

相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。

（3）同向行程问题（追及问题）

追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；

（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。

4、植树问题

（1）在非封闭线路的两端都要植树

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数－1）株距＝全长÷（株数－1）

（2）在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树

株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数

（3）在非封闭线路的两端都不要植树

株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）

（4）封闭线路上植树

株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数

5、列车过桥问题

（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；

速度×过桥时间=桥、车长度之和。

6．单产量×数量＝总产量总产量÷数量＝单产量总产量÷单产量＝数量

7．一倍数×倍数＝几倍数几倍数÷倍数＝一倍数几倍数÷一倍数＝倍数

8．较小数＋相差数＝较大数较大数－相差数＝较小数较大数－较小数＝相差数

9．和差问题：

较大数＝（和＋差）÷2较小数＝（和－差）÷2

10．每份数×份数＝总数量总数量÷份数＝每份数总数量÷每份数＝份数

11．图上距离÷实际距离＝比例尺图上距离＝实际距离×比例尺实际距离＝图上距离÷比例尺

二、分数应用题常用的数量关系

1．求比较量：

单位“1”的量×比较量对应的分率＝比较量

单位“1”的量×多的分率＝多的数量单位“1”的量×少的分率＝少的数量

总之，单位“1”的量乘什么量对应的分率就等于什么量。

2．求单位“1”的量：

比较量÷比较量对应的分率＝单位“1”的量

多的数量÷多的分率＝单位“1”的量少的数量÷少的分率＝单位“1”的量

3．求分率：

比较量÷单位“1”的量＝比较量以应的分率

少的数量÷单位“1”的量＝少的分率多的数量÷单位“1”的量＝多的分率

注意：

甲数比乙数多的分率≠乙数比甲数少的分率。

（因为单位“1”不同。

）

4．工程问题：

工作总量＝工作效率×工作时间

工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率

合作总量＝合作工效×合作时间

合作时间＝合作总量÷合作工效合作工效＝合作总量÷合作时间

5、百分率

发芽率=发芽种子数÷试验种子数小麦的出粉率=面粉的重量÷小麦的重量

产品的合格率=合格的产品数÷产品总数出勤率=实到人数÷应到人数

6、纳税：

缴纳的税款叫应纳税款。

应纳税额与各种收入的（销售额、营业额……）的比率叫做税率。

应纳税款＝收入×税率

7、利息：

存入银行的钱叫做本金。

取款时银行多支付的钱叫做利息。

 利息与本金的比值叫做利率。

利息=本金×年利率年数 税后利息＝利息×（1－利息税率）本息＝本金+利息

8、利润与折扣问题

折扣率=卖价÷原价卖价＝原价×折扣率减价=原价×（1-折扣率）成本=卖价÷（1-赔率）

成本=卖价÷（1+赚率）卖价=成本×（1+赚率）卖价=成本×（1-赔