SARS流行病模型及其对未来走势的预测.doc

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SARS流行病模型及其对未来走势的预测

摘要

SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的疾病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了巨大影响，因此定量地研究传染病的传播规律具有十分重要的意义。

本文在一系列合理假设的基础上，通过对问题的详细分析，首先对于附件

（1）中的模型给予客观公正的评价。

该模型简单明了，具有一定的合理性和实用性，但是又存在很多的缺陷，具有一定的片面性，对影响SARS疫情传播的因素考虑的不够全面。

在此基础上，我们提出了SIR模型，该模型将某一地区的人们看作一个动力系统，再将其划分为易感染者、患病者和移出者，通过建立微分方程组来加以解决。

在此模型中，我们考虑了个体的免疫率、死亡率以及被感染者的康复率等因素。

为了验证模型、算法的正确性和有效性，通过计算机模拟，对北京、内蒙古、广东、河北、山西各地的SARS疫情进行拟和，并给出了我们的预测数据，结果表明我们的模型与实际情况相当的吻合。

另外，我们还分别针对得病后入院时间以及隔离强度的不同，对SARS疫情传播所造成的影响做出估计，其结果表明：

SARS病人1.5天后入院与2天后入院相比，SARS发病总人数可能会减少1500人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月；而得病1.5天后入院与2.5天后入院相比，SARS发病总人数可能会减少2400人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个半月；隔离措施强度60%与50%相比，SARS发病总人数可能会减少700人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前半个月；隔离措施强度60%与隔离措施强度40%相比，SARS发病总人数可能会减少1100人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月。

一、问题的重述

SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：

非典型性肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？

对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：

提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

（3）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二、已有模型的分析

对于附件1中的模型，我们可以很直观地看出，此模型简单明了，没有涉及到太多的变量和参数，读者很容易理解。

模型不但包括了每个病人可以传染他人的期限L，而且还考虑了不同阶段、不同环境下传染概率的变化，并对香港和广东的疫情进行计算和分析，其结果论证了该模型具有一定的合理性。

为了便于分析，其假定参数L为20天，此时该模型能较准确地反映出香港疫情的变化趋势。

用此模型对广东疫情进行测算时也较准确地反映了疫情上升期间的趋势，但在随后的下降过程中反映的数据却与实际情况有一定出入，这可能与后期广东对SARS疫情的预防或控制状况有一定的关系，需要更进一步的分析。

经过对广东及香港两地的疫情的计算和分析，他们又利用该模型来计算和预测北京地区的病例情况，发现其预测结果与实际情况大致相同，且基本上能够反映疫情的走势。

从文中的实际数据和模拟结果的对比情况来看，该模型比较合理地反映了上述三处的SARS疫情，并对后期的实际操作及预防起到了一定的作用。

但是我们看到，该模型还是存在着某些不足。

比如期限L被固定在20天，这就有了一定的局限性，因为随着社会的重视程度及医疗水平的不断提高，还有其它诸多因素的影响，期限L将会缩短，而不是一个恒定不变的值；另外该模型考虑的影响SARS流行病的因素较少，从而导致其未能反映出一些必要的数据，比如病人的康复数及康复率等等。

因此在此基础上，经过合理的假设和必要的分析，我们提出了如下的SIR模型：

三、SIR模型的建立及求解

大多数流行病如天花、肝炎、麻疹等治愈后有很强的免疫力，它们已退出传染系统。

严重的急性呼吸道综合症——SARS就是21世纪出现的第一个既严重且又易于传播的疾病。

但是它又不同于其他传染病，它引起了社会的极大恐慌，并造成社会运作方式发生相应的变化，因此其本质已经超出了一般传染病的发展规律。

但在政府、各单位以及每个公民的共同努力下，如传染者与其他人接触率的减少、改进医院的控制措施、患者接触的检疫以及公众自动减少的接触等有效措施的实行，必然使非典疫情的发展满足更一般意义的规律。

因此，我们结合SARS流行病的特点，建立SARS流行病动力学的SIR模型[2]。

我们将人群分为易感染者（Susceptible）、患病者（Infectious）、移出者（Removed）。

所谓易感染者是那些健康且与病人接触过就容易感染疾病的人，他们中的一部分可能转化为患病者；患病者是那些能够将疾病传染给易感染者的人，在一定期限内（感染阶段），他们仍属于患病者；移出者则包括已治愈的患病者和死亡者[3]，我们可以通过图1来表示他们之间的转化关系：

图1.SIR模型中各群体间的相互转换

各类时刻的人数分别用、、表示，且时刻因病死亡人数也属于移出者一类。

若用表示时刻人口总规模，则有：

假设每个个体都具有因感染SARS而死去的相同的死亡率；单位时间内每个患者传染的人数为（非线性传染率），其中为大于0的常数；一个易受感染者在与病人进行有效接触后立即被感染且被感染后的康复率；患者病愈后具有一定的免疫能力，其免疫率为。

我们再假设只考虑因SARS死亡、康复的人，而不考虑人的自然出生与自然死亡人数（因数据不全，且影响小），则

（常数）

由此我们得出带有免疫率的SARS流行病的数学模型为：

（1）

其中为出生率，它是总人口数N的函数，初值=＞0，＞0，，，为流行病的流行时间。

若假定出生率等于死亡率，即保持不变，记为，则，从

（1）式中消去可得：

（2）

相对于附件

（1）中的模型，我们的模型较全面地考虑了影响SARS的因素，包括复发率、感染率、免疫率等。

为了进一步验证模型的合理性和有效性，我们根据世界卫生组织、中国卫生部以及香港卫生署等公布的疫情数据（包括确诊数、死亡数和出院人数），通过计算机，利用MatLab语言[5]（程序详见附录一），对北京、内蒙古、广东、河北、山西各地的SARS疫情进行拟和，并给出了我们的预测数据（详见附录二、三）。

拟和结果表明我们的模型与实际情况相当的吻合，以下是各地区的疫情变化曲线图：

4月20日至7月1日北京SARS累计感染人数曲线图

4月20日至7月1日内蒙古SARS累计出院人数曲线图

4月25日至7月14日广东SARS累计出院人数曲线图

4月25日至7月14日广东SARS累计感染人数曲线图

4月21日至7月1日河北SARS累计确诊人数曲线图

4月21日至7月1日山西SARS累计死亡人数曲线图

为了建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，我们收集了SARS发病较严重的部分地区的资料，其难点是：

（1）数据收集相当困难，而且我们根本无法保证其可靠性;

（2）为了使模型的参数尽量符合实际，我们从多方面加以考虑，但其困难在于程序的调试比较麻烦,而且我们无法保证模拟时数据的选择是否合理。

四、评价与分析政府的措施

我们选择得病后入院时间变化的模拟分析和隔离措施强度两个参数疫情传播所造成的影响做出估计。

1、得病后入院时间变化的模拟分析

在SIE模型其他参数不变的情况下，我们针对得病后入院时间的不同，在得病后入院时间为1.5天、2.0天与2.5天情况下，对模型进行模拟，得到三种不同的曲线，图形如下：

得病后入院时间不同的SARS发病总人数曲线图

对上述的三条曲线进行分析，可获得：

SARS病人1.5天后入院与2天后入院相比，SARS发病总人数可能会减少1500人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月；而SARS病人1.5天后入院与2.5天后入院相比，SARS发病总人数可能会减少2400人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个半月。

2、隔离强度不同的模拟分析

在SIE模型其他参数不变的情况下，我们针对隔离强度的不同，对隔离强度分别为40%、50%、和60%的情况进行模拟，得到三种不同的曲线，如下图所示：

隔离措施强度不同SARS发病总人数的变化曲线

对以上三条曲线进行分析，可获得：

隔离措施强度60%与隔离措施强度50%相比，SARS发病总人数可能会减少700人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前半个月；隔离措施强度60%与隔离措施强度40%相比，SARS发病总人数可能会减少1100人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月。

五、模型分析与评价

我们在建立模型时没有将病例加以细分，因为根据实际情况，病例可分为显性病例和隐性病例（即潜伏患者），我们只是将其视为患病者。

表面上看我们似乎考虑的不够全面，而实际上我们是根据易感染者的感染比率来确定患病人数的，这就说明对于任何的显性患者或是隐性患者，其感染率是通过易感染者的自身免疫力来确定的，跟患者数目没有直接关系。

根据全国非典科技攻关组公布的七大科研进展可知，已出院的非典患者都不具有传染性，密切接触者无隐性感染可能，潜伏期患者传染可能性很小，而SARS则是一种潜伏期较短的传染病。

当然，我们不否认所建立的模型并不是十分完美的，因为还有很多因素都可能对预测结果造成影响，诸如SARS潜伏期天数，患者被发现前的时间长短，住院后治愈时间的长短，隔离措施的强度，还有个人每天接触的人数等等。

另外，我们并不能保证避免地区外的病例输入，而这一因素对预测结果也有很大的影响。

若有可能，可以通过建立系统动力学模型对其进行预测。

六、建立传染病数学模型，势在必行

“山雨欲来风满楼”，中国古代传说中就有能够根据某些迹象预测灾难发生的圣贤之辈，但现实中我们不能再用迷信的方法来欺骗自己，尤其是在划时代的今天，我们要用科学的理论来预防任何灾难的发生。

如今，SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，如果SARS能够被预测的话，中国就不会陷入动荡不安的社会状况，就不会有数百个生灵离开人间，就不会有那么多不幸的事情发生……所以，痛定思痛之后，我们有必要建立数学模型来解决这些难题。

建立传染病数学模型的优点在于它具有科学的理论依据，根据已有的相关信息定量地研究传染病的传播规律，用抽象的数学方法能够计算出不同条件下的各种可能性结果，进而采取有效措施来预防灾害的发生。

然而，传染病数学模型的建立并不是一件轻松容易的事情，它需要对疫情传播所造成的影响做出估计，需要研究人员具备严谨的数学理念，通过计算机编程来预测和控制传染病蔓延，并对各种结果进行误差分析，使传染病产生的危害降到最低限度。

我们有信心，有能力建立一个最佳的传染病数学模型来解决我们身边的任何一类疾病传播问题。

虽然我们的认识是有限的，但我们的不断创新能力是无限的，我们渴望幸福生活的拼搏精神是永远不会磨灭的。

参考文献：

[1]R.M.AndersonandR.M.May,Populationbiologyofinfectious:

PartI,Nature280,361-367（1797）

[2]吴子牛、杨清红等自控制起效后非典滞留患者数目变化规律的预测2002年5月23

[3]http:

//plus.maths.org/issue4/fertures/disease

[4]黄运新一种非线形传染病模型的定性分析数理医药学杂志1999年第12卷第一期第7页1999年出版

[5]薛定宇、陈阳泉基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用北京清华大学出版社2004、4

[6]阻止SARS疫病在农村传播的建议，中国科学院研究生院管理学院“SARS”管理与控制研究小组《研究简报》第3期

附录一：

Matlab程序

"fd"."dydq"."dydq2"为自编的matlab识别的m文件，依照这三个m文件内的%说明文件输入数据，然后在matlab工作区间运行“dydq2"即可。

下面为这三个m文件：

“fd”:

function[output1,output2,output3]=fd（t,x,flag,theta）

ifnargin<4|isempty（theta）,

%theta=[110.1111],

theta=[110.111],

end

ifstrcmp（flag,''）

%output1=[-theta

（1）*x

（1）*x（3）;...

%theta

（1）*x

（1）*x（3）-theta

（2）*x

（2）;...

%theta

（2）*x

（2）-theta（3）*x（3）-theta（4）*x（3）;...

%theta（3）*x（3）;...

%theta（4）*x（3）];

output1=[theta

（1）*（x

（1））.^2*（N0-x

（1）-x

（2））-（theta（3）+theta（4））*x

（1）;...

theta

（2）*x

（1）-（theta（3）+theta

（2））*x

（2）;....

0;....

0];

%output1=[-theta

（1）*x

（1）*x（3）;...

%theta

（2）*（theta

（1）*x

（1）*x（3）-x

（2）*（theta（3）-theta（4）*x

（2）））/（theta（3）-2*theta（4）*x

（2））;...

%x

（2）*（theta（3）-theta（4）*x

（2））-theta（5）*x（3）;...

%theta（5）*x（3）];

elseifstrcmp（flag,'init'）,

output1=[0,59];

output2=[69999007000000-23-6999900230];

output3=odeset;

end

%/（1+theta

（2）*7000000+sqrt（1+2*theta

（2）*7000000））

“dydq”:

functionE=dydq（theta）

formatlong;

x=[];%输入数据长度

B=[]；%对应地区死亡人数

C=[]；%对应地区出院人数

A=[]；%对应地区累计个案

y=A-B-C;

s0=theta（4）;n0=theta（5）;

[t,s]=ode45（'fd',[0:

93],[s0n0230],[],theta）;

%fun=inline（'s（:

3）','theta',[]）;

%quad8（fun,0,73）

%fun=inline（'','theta','x'）;

%theta=lsqcurvefit（fun,[111],x,y）

E=sum（（y-s（:

3））.^2+（B+C-s（:

4））.^2）%+（C-s（:

5））.^2）

%（y-s（:

3））.^2

%（B-s（:

4））.^2+（C-s（:

5））.^2+（A-s（:

3）

%plot（t,s（:

3）,t,y,'o'）

%figure

%plot（t,s（:

1）,t,s（:

2）,t,s（:

3）,t,s（:

4）,t,s（:

5））

%[X,FVAL,EDITFLAG]=fminsearch（'HK',[0.00000630.010.010.01]）

“dydq2”:

[X,FVAL,EDITFLAG]=fminsearch（'dydq',[0.00020.20.051800180]）;

options=odeset（'reltol',10^（-14）,'abstol',10^（-15））;

theta=X

IMIN=FVAL

y=zeros（）;%输入对应地区数据长度

B=[]；%对应地区死亡人数

C=[]；%对应地区出院人数

A=[]；%对应地区累计个案

y=A-B-C;

%mm=max（s（:

3））

[t,s]=ode45（'fd',[0:

100],[theta（4）theta（5）230],options,theta）;

a=theta

（1）*（theta（4）+theta（5）+23）

a1=1/theta

（2）

a2=1/theta（3）

a3=a*a2

%fori=1:

80

%ss（i）=s（i,3）/mm;

%end

%ss;

%T=0:

79;

%plot（T,ss）

%figure

plot（t,s（:

3））

holdon

T=0:

93;

plot（T,y,'o'）

xlabel（'时间'）;

ylabel（'染病人数'）;

title（'对应地区：

对应时间'）;%输入对应数据

figure

plot（t,s（:

4））

holdon

T=0:

93;

plot（T,B+C,'o'）

xlabel（'时间'）;

ylabel（'移除人数'）;

title（'对应地区：

对应时间'）;%输入对应数据

figure

%plot（t,s（:

5））

%holdon

%T=0:

93;

%plot（T,C,'o'）

%xlabel（'时间'）;

%ylabel（'出院人数'）;

%title（'对应地区：

对应时间'）;%输入对应数据

%figure

plot（t,（s（:

3）+s（:

4）））%+s（:

5））

holdon

T=0:

93;

plot（T,（y+B+C）,'o'）

xlabel（'时间'）;

ylabel（'累计人数'）;

title（'对应地区：

对应时间'）;%输入对应数据

figure

plot（t,s（:

1））

xlabel（'时间'）;

ylabel（'易感人数'）;

title（'对应地区：

对应时间'）;%输入对应数据

figure

plot（t,s（:

2））

xlabel（'时间'）;

ylabel（'潜伏人数'）;

title（'对应地区：

对应时间'）;%输入对应数据

%figure

%plot（t/93,s（:

3）/（theta（4）+theta（5）+23））

%holdon

%plot（t/93,s（:

4）/（theta（4）+theta（5）+23））

%holdon

%plot（t/93,s（:

1）/（theta（4）+theta（5）+23））

%holdon

%plot（t/93,s（:

2）/（theta（4）+theta（5）+23））

%legend（'实际染病人数'）;

%text（65,s（65,3）,'\leftarrow拟合人数为s（65,3）'）;

%text（65,s（65,3）,'\leftarrow实际人数309'）;

附录二：

北京地区SARS疫情表

日期

已确诊病例累计

现有疑似病例

死亡累计

治愈出院累计

预测结果

（累计病例）

4月20日

339

402

18

33

287

4月21日

482

610

25

43

411

4月22日

588

666

28

46

533

4月23日

693

782

35

55

645

4月24日

774

863

39

64

750

4月25日

877

954

42

73

852

4月26日

988

1093

48

76

961

4月27日

1114

1255

56

78

1089

4月28日

1199

1275

59

78

1177

4月29日

1347

1358

66

83

1322

4月30日

1440

1408

75

90

1421

5月01日

1553

1415

82

100

1526

5月02日

1636

1468

91

109

1611

5月03日

1741

1493

96

115

1722

5月04日

1803

1537

100

118

1776

5月05日

1897

1510

103

121

1876

5月06日

1960

1523

107

134

1934

5月07日

2049

1514

110

141

2022

5月08日

2136

1486

112

152

2111

5月09日

2177

1425

114

168

2154

5月10日

2227

1397

116

175

2205

5月11日

2265

1411

120

186

2251

5月12日

2304

1378

129

208

2290

5月13日

2347

1338

134

244

2333

5月14日

2370

1308

139

252

2359

5月15日

2388

1317

140

257

2378

5月16日

2405

1265

141

273

2396

5月17日

2420

1250

145

307

2411

5月18日

2434

1250

147

332

2423

5月19日

2437

1249

150

349

2430

5月20日

2444

1225

154

395

2438

5月21日

2444

1221

156

447

2439

5月22日

2456

1205

158

528

2451

5月23日

2465

1179

160

582

2463

5月24日

2490

1134

163

667

2480

5月25日

2499

1105

167

704

2492

5月26日

2504

1069

168

747

2499

5月27日

2512

1005

172

828

2507

5月28日

2514

941

175

866

2510

5月29日

2517

803

176