多学科优化.ppt

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机械优化设计,第13讲多学科优化,第十三章多学科优化设计（Multidisciplinarydesignoptimization）,针对现今庞大复杂的工程系统，其设计要求趋向非常的严格和迫切。

为此，设计工程师在探索新的设计方法，并且其中的一种就是多学科设计优化（MDO）。

以前我们的优化问题只涉及一个学科，但是，就目前工程系统发展状况来看，仅利用某个学科去解决现代设计优化问题很难满足设计要求。

我们现在提出的多学科设计优化的提出是为了解决这个问题。

引言,引言,多学科优化的特点：

多学科设计优化过程中包含大量的设计变量、目标函数和约束条件。

可针对单个学科进行分析，然后通过分析把各个学科联系起来。

也就是说，某门学科的输出可以作为其他学科的输入。

这种现象就称作耦合过程（Coupledprocess）。

引言,多学科设计优化方法的主要思想是在复杂系统设计的整个过程中，集成各学科的知识，应用有效地设计优化策略进行复杂系统的优化设计。

通过充分利用各子系统（学科）之间的相互作用所产生的协同效应，获得系统的整体最适解。

这种协调机制考虑各个学科之间的相互耦合关系，并利用适当的方法将系统分解为以学科为基础的模型，然后根据学科之间的相互关系，通过特定的框架协调和控制这些子系统，从而最终获得系统的全局最优解。

引言,多学科设计优化方法的应用：

飞机机翼的设计,流动的空气使机翼受力，然后引起机翼变形，然后机翼变形又会产生空气流动。

当耦合过程收敛时可获得动态的平衡状态。

在气动力弹性学中研究这种现象并采用计算机模拟解决问题；通过计算流体动力学来解决压力分布问题，并通过有限元方法来解决机翼的变形问题。

这种考虑了耦合关系的分析方法就叫做多学科分析。

引言,在设计机翼时，应同时考虑上述两个学科。

单个设计问题则需要独立地针对每个学科进行解释。

例如，曳力最小化问题是通过计算流体动力学的输出值执行的，机翼结构的重量最小化是通过有限元法的输出值执行的；在这个例子中使用的优化技术就称作多学科优化。

在两个学科有共同的设计变量，目标函数和约束条件。

它们在每个学科中也能得到独立的解释。

机翼的分析和设计中耦合占主导地位。

这个问题一种MDO角度还不能完全地解决，所以设计者检验了各种方法。

有时，机翼的设计涉及到控制论学科，还有很多对设计的参考。

本章不对机翼的有关问题进行阐述，而是讨论MDO的通用方法和研究其应用。

引言,总体而言，有七种多学科优化设计的方法。

多学科可行法（MDF）是基础，它易于应用在那些即使每步都要执行的复杂系统分析。

耦合关系在系统分析中得以解决。

单学科可行法（IDF）可用于消除系统分析的，使得每个学科中的问题独立求解。

在同步分析和设计方法（AAO）中，进一步忽略学科之间的分析过程。

在上述方法中，每个学科并不能单独决定设计。

分析只能在学科之间进行。

通过研发多种方法可将设计过程分配给各学科。

这些方法有并行子空间优化法（CSSO），协同优化法（CO），二级集成系统综合算法（BLISS），基于独立子空间法的多学科优化（MDOIS）。

引言,本章研究多学科优化的特性并对以上方法进行比较。

了解这些方法的演变和改进过程。

本章都是基于方法最初的命题进行阐述的。

这些方法可以解决小范围问题或者弱耦合问题。

而大范围问题和强耦合问题则多利用近似值方法。

目前，貌似没有方法可以解决所有多学科优化问题。

对于大范围问题，改进的解决方法是利用特殊近似值法。

因此，所介绍的方法中没有一个可以被称作是最终方法。

2.多学科优化设计（MDO）,设计是使目标物体的响应达到设计者要求的过程，分析是评价这个响应的过程。

目前，分析过程主要由计算机执行。

在多学科优化过程中，单学科分析是设计的基石。

多学科优化需要多种分析。

学科分析间相互联系，这种联系就称作耦合。

耦合是学科之间的关系，可以是直接或间接地。

单个学科内的变化可以反馈至这个学科，也可以不反馈。

在独立的学科之间，某个学科的改变不会影响其他的学科。

当考虑设计过程中的耦合时，应该多注意分析中耦合的解决过程。

2.多学科优化设计（MDO）,分析的结果作为其他分析的输入值时（MDO中耦合意味着分析中的耦合）。

当设计变量被多个学科使用时，耦合关系才存在。

分析和设计中的耦合定义如下：

分析中的耦合,设计中的耦合：

在设计中使用分析结果的过程叫作标准的系统级优化算法（NAND）。

同时，也许不使用分析而是利用一个求值程序（evaluator），这个过程叫做同时分析和设计法（SAND）。

2.多学科优化设计（MDO）,分析和设计的关系：

2.1分析耦合,在MOD中，分析耦合关系可表达为：

h1和h1分别是学科1和2的分析函数。

每个分析模块有它自己的设计变量和耦合变量。

分别是学科1和2的局部设计变量。

是学科1和2共同的设计变量。

状态变量矢量是两个学科的结果（响应）。

（1）,

（2）,当在学科间进行耦合时，某些或所有的状态变量被用作其他学科的输入。

这些状态变量就称作耦合变量和。

没有耦合关系的状态变量称作无耦合变量。

状态变量可以表示为和。

2.1分析耦合,则

（1）和

（2）式可以表达为：

（3）,（4）,（5）,（6）,如果要在分析中耦合，应对耦合变量估值。

这里采用的典型的方法就是定点迭代法。

因为在实际请况中很难得出耦合变量。

所以大多采用近似值法来计算耦合变量的值。

使所有的耦合关系都满足的状态称作多学科可行性（MF），即满足各学科之间的平衡关系。

满足某个学科的平衡性的状态称作单学科可行性（IF）。

在单学科可行性中，可能不满足学科间的耦合关系。

在多学科优化中达到多学科可行和单学科可行的状态是一个相当重要的问题。

2.1分析耦合,图中，设计变量x1，x2和xc是固定的，状态变量z1和z2是通过h1和h2获得的。

某个学科的输出可作为其他学科的输入。

图内的计算过程叫做系统分析。

当和不再改变时，这个系统分析过程结束。

此时达到了MF的状态。

2.1分析耦合,分析中所涉及到的耦合关系,多学科分析的公式是基于设计变量，目标函数和限制条件的耦合关系。

一个多学科问题的公式如下：

2.2多学科优化设计公式表述,min,s.t.,其中x1和x2是学科1和2的局部设计变量，全局设计变量xc是两个学科共有的。

是学科1、2的局部目标函数，也是全局目标函数。

是约束向量。

（8）,（7）,（9）,（11）,（10）,多学科优化设计方法分为单级方法和多级方法。

单级方法通常只有一个优化器，而多级方法将图（a）中的结构修正为图（b）所描述的分层结构（Hierarchicalstructure）。

每层有一个优化器。

通常多级是两级的。

2.3多学科优化设计的分类,在单级方法中，学科可以被分解也可以不分解。

但学科间一旦被分解开，每一个学科就需要单独处理。

在多级方法中，学科通常是需要分解的,表达式（7）-（11）的优化问题很难解决大规模问题。

大规模问题可以按照各个学科在分析类型的基础上进行分解。

在式（8）中，利用目标函数的线性相加性，式（7）-（9）可以改写为：

3.线性分解与全局灵敏度方程,min,s.t.,（13）,（12）,（14）,3.线性分解与全局灵敏度方程,（15）,在式（12）-（14）中，目标函数和约束条件是关于共有设计变量耦合的。

他们可线性展开为下面的形式：

（16）,其中，,和。

下标0是当前设计，是扰动（增量）。

通过式（15）-（16），每个学科的优化问题可以通过它自己的设计变量解决。

假定将变量分配给学科1，将分配给学科2。

这样每个学科的优化问题可以定义为：

3.线性分解与全局灵敏度方程,搜寻,min,s.t.,（17）,学科1：

（18）,（19）,（21）,（22）,搜寻,min,s.t.,学科2：

（20）,3.线性分解与全局灵敏度方程,式（17）-（22）是对式（7）-（11）优化问题的线性化和分解。

这个过程叫做线性分解。

目标函数和约束条件的求导（灵敏度分析情况）是分解所要求的。

式（15）-（16）的等式推导是源于链式法则和隐函数微分。

3.线性分解与全局灵敏度方程,（23）,和式（23）中的耦合变量有关的项可以表示为:

3.线性分解与全局灵敏度方程,（24）,式（23）-（24）被称为全局灵敏度方程（globalsensitivityequa-tions）。

方程的解是耦合变量对于设计变量的导数，被应用于多种多学科优化设计。

4.多学科优化方法,4.1多学科可行方法（MDF）MDF方法是一种具有系统分析的单级优化算法,也称为All-In-One。

在MDF中，系统分析即单级优化的分析器，图中展示了MDF方法常用的结构。

系统分析通常使用不动点迭代法。

优化过程中需要考虑灵敏度分析。

当这个过程收敛时，MDF方法得到数学优化解。

MDF方法学科间不分解，只有一个优化器，其中设计变量为局部变量和共有变量总和。

IDF方法是一种对学科进行分解的单级优化算法。

它不存在系统分析。

耦合变量（）采用了补充向量（）。

兼容性条件用来代替MF，在优化过程中它们包括了等式约束条件。

搜寻,min,s.t.,相容性条件,4.2单学科可行方法（IDF）,其中单个学科的分析器不需等待与其他学科的输出。

相反，通过使用补充变量来执行这个分析。

最终结果耦合变量应该等于补充向量。

IDF计算流程见下图,4.2单学科可行方法（IDF）,IDF方法中，设计变量的数目随着补充向量的数目增加而增加。

设计变量的数目是局部变量，共有变量与补充向量元素之和。

等式条件的数目即是耦合变量的数目。

在优化过程中总可以满足IF，而当获得优化设计时才能满足MF。

4.2单学科可行方法（IDF）,AAO方法是单级优化算法，它对单个学科既不执行系统分析，也不进行个体分析。

分析通常耗费大量时间而且费用昂贵。

当获得最终结果时，设计过程中的分析结果是毫无意义的。

提出AAO方法以消除昂贵的分析过程。

在此方法中，将应用评估器来代替分析机。

上图表示学科1的分析过程。

我们从设计变量耦合变量中获得状态变量,4.3同时分析优化算法（AAO）,分析过程也可从其他角度观察。

上图表示的是评估器。

设计变量和状态变量是输入，当评估器的结果是零时，认为分析终止。

用SAND概念使图中概念延伸到MDO。

状态向量引入补充向量，评估过程可以看做是等式约束。

4.3同时分析优化算法（AAO）,搜寻,min,s.t.,优化器,AAO方法的优化过程：

4.3同时分析优化算法（AAO）,图中描述了AAO方法的流程。

每个学科评估给定输入值的有效性。

当优化过程结束时，IF和MF都令人满意。

等式约束条件的数目等于状态变量的数目。

设计变量的数目是局部变量，共有变量和耦合补充向量、非耦合补充向量元素之和。

4.3同时分析优化算法（AAO）,4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,MDO问题,上层（优化过程）,下层（设计过程）,CSSO,上层优化称为协调优化问题，在上层优化中，协调系数是由单个学科级设计优化过程决定的，得出参数使得单个学科必须参考其他学科的目标函数和约束条件。

下层又称为子空间，单个学科的函数由线性分解定义的。

当单个学科的约束个数很大时，可以通过Kreisselmeier-Steinhouser（KS）函数把所有约束条件转化为一个累积约束。

如果任何一个约束不满足条件，函数值为正。

当所有约束条件都被满足时，函数值为零或负值。

相应的，如果函数值为零或负值时，所有的约束都是满足条件的。

4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,CSSO流程图,4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,学科1,给定,搜寻,优化函数,约束函数,下面定义了涉及两个学科的优化问题：

4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,学科2,给定,搜寻,优化函数,约束函数,4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,图（a）解释了，假设学科1的约束不满足，它被学科1和学科2修正，是学科2关于不满足学科1约束的责任量，被称作责任系数。

公式的意义是：

如果第p个学科的约束不被满足，为1，那么是第k个学科的责任量。

责任系数,4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,折衷系数示意图见图（b），假设学科1的约束被满足，为负，学科1通过充分地满足，为正并且学科2进一步减小目标函数虽然不满足于。

公式的意义是：

如果第p个学科的约束被满足，那么过满足或不满足于第k个学科的约束。

折衷系数,4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,开关系数用来控制责任系数和折衷系数，开关系数根据约束是否违反自动取值。

当违反时，折衷系数不起作用。

当满足时，责任系数不起作用。

优化分析开始时，责任系数和折衷系数由设计者给定，从第二次循环开始，责任系数和折衷系数由下面的协调优化问题（COP）决定。

搜寻,优化函数,约束函数,协调优化问题等式表述,开关系数,4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,并行子空间优化算法是一个两级方法-系统级优化和学科级优化。

上层系统级需要一个最优控制器，下层每一个学科内部也都需要一个最优控制器。

通过系统分析满足学科间的耦合关系和学科内的平衡。

不同学科间接的分享约束条件，共同设计变量由某个学科特别处理。

小结,4.4并行子空间优化ConcurrentSubspaceOptimization（CSSO）,4.5两级集成系统综合方法（BLISS）,学科1,学科2,上层,给定,搜寻,优化函数,约束函数,两级集成系统综合方法是一个多级方法，包括一个系统级分析和若干分解学科，将多学科优化问题分解为上下两级。

下层的每一个学科的变量包括局部设计变量和被当作常量考虑的共同变量。

与之相反，上层系统级分析将共同变量作为设计变量，而将学科内的局部变量作为常量考虑。

下级优化包含两个不同的学科，能得到不同的灵敏度信息，这些计算是基于系统分析满足的前提下进行的，两级集成系统综合方法应用GSE/OS来解决这一问题。

GSE/OS是关于全局敏度方程和等式中灵敏度方程的一个集合体，表述如下：

4.5两级集成系统综合方法（BLISS）,两级集成系统综合方法的步骤如下所述：

第一步：

设计变量矢量x1，x2和xc初始化。

第二步：

执行系统分析，计算z1和z2。

第三步：

在第二次循环中判断是否收敛。

第四步：

估计全局敏度。

第五步：

解决下层学科级优化等式中所述的问题。

第六步：

建立方程GSE/OS并求解。

第七步：

解决上层系统级优化等式所述的问题。

第八步：

更新设计变量，返回第二步，继续优化分析。

在两级集成系统综合方法中，由于先执行了系统分析，学科间耦合关系和学科内的平衡都得到了满足。

4.5两级集成系统综合方法（BLISS）,等式的左侧为学科级设计变量矢量或耦合变量矢量。

右侧为系统级决定的矢量，作为学科级的目标取值。

4.6协同优化方法（CO）,第一步是定义补偿变量，根据使用要求的不同，可定义为局部变量，共有变量和耦合变量。

协同优化是一种不执行系统分析和学科分解的多级方法。

上层对整个优化过程进行管理，下层学科级控制各个学科的设计。

采用补偿变量和兼容性条件代替系统分析。

上层用下层优化结果最小化目标函数并下层学科确定目标值。

下层试着搜寻满足约束和上层目标值的设计。

给定,搜寻,优化函数,约束函数,学科1,学科2,4.6协同优化方法（CO）,每个学科得到上层的目标值。

第一次循环中，目标值任意定义，各个学科初始化。

单个学科的目标值和局部设计变量的目标函数的取值会不同。

协同优化算法仅考虑局部约束。

注意，共有变量和耦合变量在所有的学科中都要被看作设计变量。

上层中使用以下等式：

搜寻,优化函数,约束函数,4.6协同优化方法（CO）,上层目标函数的灵敏度可以通过有限差分法得到，,上层公式所述等式约束是学科级的目标函数，由其可引出最佳灵敏度，如下所示,上层局部约束是关于目标取值隐函数，因此等式右边的第二项为零。

由于第一项是关于目标取值的偏微分，可得,4.6协同优化方法（CO）,协同优化方法基本上可以看作是单学科可行方法的延伸，是一种两级优化方法，它没有系统分析过程。

为了平衡学科之间的耦合关系，学科级的目标函数与上层系统级的约束条件有着紧密的关联。

协同优化方法不能处理共同约束条件，但可以方便的用它来解决学科之间有明显区别的问题。

单个学科间的分析和设计被独立执行。

小结,4.6协同优化方法（CO）,众多多学科优化问题中，学科间被物理性孤立并且每个学科都有独立的分析器，只在分析过程中考虑学科间的耦合，每个学科或子系统解决一个独立的设计问题，对于复杂的多学科优化问题效率不高。

因此提出了基于独立子空间的多学科设计优化并对它进行了改进。

MDOIS是一种单级方法，它需要进行系统分析和学科分解。

4.7基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,当满足下面两个条件时，学科可以物理性的分开：

学科内只存在局部设计变量。

2.每个学科内都有自身的目标函数和约束条件。

4.7基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,一般而言，许多数学问题和飞机机翼设计问题并不满足上述条件。

为了满足上述条件，设计问题中不能包含共同设计变量、共同目标函数和共同约束条件。

问题描述如下：

搜寻,优化函数,约束函数,4.7基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,执行系统分析来求解上述问题，全局灵敏度信息可能用到，也可能用不到。

每个学科设计问题的公式化表述如下：

给定,搜寻,优化函数,约束函数,学科1,学科2,代表系统分析得到的耦合变量,4.7基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,如果可以得到全局灵敏度，状态等式中的耦合变量用如下公式替代：

应用了全局灵敏度的MDOIS的流程图,4.7基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,多学科优化方法的比较,单级方法,多级方法,多学科可行方法（MDF）单学科可行方法（IDF）同时分析优化法AAO基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,并行子空间优化算法（CSSO）两级集成系统综合法（BLISS）协同优化算法（CO）,多学科优化方法的比较,多学科可行方法（MDF）,并行子空间优化算法（CSSO）,单学科可行方法（IDF）,同时分析优化法AAO,基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,两级集成系统综合法（BLISS）,协同优化算法（CO）,有系统分析环节，它们能够保证在设计过程中多学科可行始终满足。

但是，MDF中需要多次系统分析。

IDF与CO两种方法不需要系统分析环节，节省了计算量，但是在设计过程中只满足了单学科可行性，学科间可行性不能得到满足。

AAO使用识别器替代求解器。

AAO方法的缺点是，如果我们只有求解器的情况下使用了AAO方法，求解器必须转变成识别器，这样在设计过程中单学科可行和多学科可行都不会满足。

多学科优化方法的比较,多学科可行方法（MDF）,并行子空间优化算法（CSSO）,单学科可行方法（IDF）,AAO方法,基于独立子空间的多学科设计优化（MDOIS）,两级集成系统综合法（BLISS）,协同优化算法（CO）,单级方法以统一的方式处理共同约束和共同设计变量,MDOIS中不能出现共同变量或者共同目标函数,BLISS可以有共同设计变量，但是不能够处理共同约束条件。

在上级中处理共同设计变量，共同设计变量对下级产生的影响通过最佳灵敏度传递给上级。

最佳灵敏度的计算相当的耗费时间，除了CO外。

CSSO中不能出现共同约束条件和共同设计变量。

其他学科的约束条件通过全局敏度来考虑。

多学科优化方法的比较,表格1比较了各种方法的特点，O代表“是”，X代表“否”。

讨论,多学科设计优化方法被提出来处理跨越多种学科的设计问题。

MDO的公式化表述能够相对容易的定义出来。

但是，很难找到一种通用的方法来解决MDO问题。

在这方面，还有待进一步的研究。

MDO中遇到的第一个难题就是分析中的耦合问题。

另外，一些MDO方法需要进行复杂的数学运算，如全局灵敏度和最佳灵敏度。

对于一些工程问题学科间的耦合关系不强的问题，用MDO方法来解决会相对容易。

但是也有很多问题需要大规模的分析，即使是某个单一的学科处理起来也不容易。

随着分析工具的显著改进，处理的问题规模也越来远大。

因此，即使引入了MDO方法的确切处理过程，在实际设计中也不一定容易。

讨论,近年来，一些不存在耦合关系的问题也被当做MDO问题来处理，处理时也使用了多个求解器。

同样，如果一个问题中有共同设计变量或共同约束条件，也可以作为MDO问题来处理。

由于上面所述的困难，不同的MDO方法会有不同的实际应用问题。

有时，我们会使用多种方法的组合或用原有方法的想法定义一个新方法。

在解决复杂问题时也可能会频繁的用到近似处理和响应面方法。

MDO被用来解决大规模的设计问题。

但到目前为止还没有一种普遍适用的方法。

因此，期待在这一领域有更加深入的研究。