XXXX秋季第5讲平面机械制图北京航空航天大学出版社.pptx

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2.32.3平面的投影平面的投影ProjectionofPlaneProjectionofPlaneZXY平面图形投影总是平面图形投影总是为平面图形或直线为平面图形或直线。

Aplanesurfacealwaysprojectsasalineorasurface.一、一、平面的表示法平面的表示法RepresentationsofplanesRepresentationsofplanesaabbccaabbcc不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点ThreepointsThreepointsnotinanotinastraightlinestraightlineaabbccaabbcc直线及线直线及线外一点外一点AAlinelineandandapointnotapointnotonthelineonthelineaabbccaabbccdddd两平行两平行直线直线TwoparallelTwoparallellineslinesaabbccaabbcc两相交两相交直线直线TwoTwointersectintersectinglinesinglinesaabbccaabbcc平面平面图形图形PlanarPlanarshapeshape投影特性投影特性平面平行投影面平面平行投影面-投影体现实形投影体现实形PlaneProjectionplane平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线PlaneProjectionplane平面倾斜平面倾斜（Inclined）投影面投影面-投影亲似原平面投影亲似原平面PlaneinclinedtoProjectionplane二、各种位置的平面二、各种位置的平面PositionsofPlanes平行平行Parallel垂直垂直perpendicular倾斜倾斜inclined存真性存真性Trueshape亲似性亲似性Similarity积聚性积聚性Collecting平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性Projectioncharacteristicsofplanestoasingleprojectionplane平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：

PositionsrelativetothreeprincipalprojectionplanesPositionsrelativetothreeprincipalprojectionplanes投影面垂直面投影面垂直面Planesperpendiculartoprojectionplane投影面平行面投影面平行面Planesparalleltoprojectionplane一般位置平面一般位置平面Generalpositionplane特殊位置平面特殊位置平面Specialpositionplanes垂直于某一投影面，倾垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面Perpendiculartoaprojectionplaneandinclinedtotheothertwo平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面Paralleltoaprojectionplaneandperpendiculartotheothertwo与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜Inclinedtothreeprojectionplanes正垂面正垂面V-perpendicular侧垂面侧垂面W-perpendicular铅垂面铅垂面H-perpendicular正平面正平面Frontalplane侧平面侧平面Profileplane水平面水平面HorizontalplaneOOXXYYZZHHVVaaAAaaWWaabbBBbbbbVV正垂面正垂面3.3.投影面垂直面投影面垂直面PlanesperpendiculartoprojectionplanePlanesperpendiculartoprojectionplaneCCccccccHH铅垂面铅垂面WW侧垂面侧垂面abcacbcba亲似性亲似性Similar亲似性亲似性Similar积聚性积聚性collecting铅垂面铅垂面H-perpendicularplane投影特性：

投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。

该直线在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。

该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

Itappearsasalineintheperpendicularprojectionplane.Theanglesbetweenthatlineandtheprojectionaxesrepresentedtheanglesbetweentheplaneandtheothertwoprojectionplanes.另外两个投影面上的投影有亲似性。

另外两个投影面上的投影有亲似性。

Theothertwoprojectionsaresimilarshapes.例例1.已知多边形的已知多边形的VH投影，求其投影，求其W投影。

投影。

CompletetheWprojectionofpolygonwiththegivenVHprojections.aba（b）cdd（c）efghg（h）f（e）abcdefghaabbccaabbccaabbcc4.4.投影面平行面投影面平行面PlanesparalleltoprojectionPlanesparalleltoprojectionplaneplane积聚性积聚性collectingcollecting积聚性积聚性collectingcollecting存真性存真性TrueTrueshapeshape水平面水平面HorizontalHorizontalplaneplane投影特性：

投影特性：

（1）

（1）一个投影存真一个投影存真Oneprojectionistrue-showtype.Oneprojectionistrue-showtype.

（2）

（2）另外两投影积聚另外两投影积聚-面面平行于投影轴的线平行于投影轴的线Theothertwoprojectionsareline-collectingtype.Theothertwoprojectionsareline-collectingtype.（Plane-lineaxis）（Plane-lineaxis）（3）（3）积聚性与存真性同时存在积聚性与存真性同时存在Bothcollectingandtrue-showtypeBothcollectingandtrue-showtypeOXYZHVaAaCWabBbcccb5.5.一般位置平面一般位置平面GeneralpositionGeneralpositionplane/Obliqueplaneplane/Obliqueplane3D3D图形与图形与2D2D投影有亲似性投影有亲似性2Dprojectionsissimilarto3Dshape2Dprojectionsissimilarto3DshapeOXYZHVaaWabbcccb一般位置平面投影ProjectionsofGeneralpositionplaneY三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线Pointsandlinesinplanes判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法Howtodetermineiflineinaplane定理一定理一Rule1若一直线过平若一直线过平面上的两点，则此直线面上的两点，则此直线必在该平面内。

必在该平面内。

Alineisonaplaneifitgoesthroughtwopointsbelongingtotheplane定理二定理二Rule2若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内一直线，则此直线在该平面内。

Alinewillbeonaplaneifitgoesthroughonepointintheplaneandparalleltoalinelyingintheplane平面上取任意直线平面上取任意直线Locatearbitrarylineinplane线在面上的条件线在面上的条件Linelocatedintheplaneif:

（1）过面上的两点过面上的两点Throughtwopointsintheplane

（2）过面上一点过面上一点,且平行于且平行于面上另一直线面上另一直线ThroughonepointoftheplaneandparalleltoonelineintheplaneABALabcbcaabcbcadmnnmd例例22：

已知平面由直线：

已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，试在平面内任作所确定，试在平面内任作一条直线。

一条直线。

ConstructalinearbitrarilyinplanedefinedbylinesABandAC.解法一解法一Solution1解法二解法二Solution2根据定理二根据定理二Byrule2根据定理一根据定理一Byrule1例例3：

在平面：

在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面面的距离为的距离为10mm。

Constructahorizontalline10mmawayfromHprojectionplaneinplaneABCnmnm10cabcab唯一解！

唯一解！

Theexclusivesolution!

点在面上的几何条件:

必在面内的一条直线上必在面内的一条直线上Pointliesinaplaneifitliesonalineintheplane.平面上取点平面上取点Locatingapointinaplane先找出过此点而又在平面内的一条直线先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

Apointcanbelocatedinaplanebyfirstconstructingaauxiliarylineontheplanethroughthepoint.面上取点的方法：

面上取点的方法：

面上取点必先取线面上取点必先取线Locatingapointinplanemustbebyfirstlocatingaline.步骤步骤Steps:

（1）

（1）在在P面内过面内过A点作直线点作直线L

（2）DrawlineLonPthroughpointA.例例4:

A是平面是平面P上一点上一点,已知已知A点的点的V投影投影,求求H投影投影AP,findtheHprojection.分析分析:

若若A点在平面点在平面P上上,必在过必在过A点的直线点的直线L上上（L在在P上上）APAL（LP）pp2112llLPaaA

（2）作直线作直线L的的H投影投影DrawHprojectionoflineL.（3）根据从属性作出直线根据从属性作出直线L上的上的A点的点的H投影投影GettheHprojectionofpointA.例例5：

已知：

已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投点的水平投影。

影。

KplaneABC,findtheHprojection.baccakbkabcabkcdkd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解Bycollectingtypeplane通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解Byauxiliarylinebckadadbcadadbckbc例例66：

已知：

已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD的水平投的水平投影。

影。

ACV,CompletetheHprojectionofparallelogramABCD解法一解法一Solution1解法二解法二Solution23.3.过点或直线作平面过点或直线作平面ConstructplanethroughpointorlineConstructplanethroughpointorline过空间中任意一点过空间中任意一点AA作平面作平面ConstructplanethroughpointALL过空间中任意一直线过空间中任意一直线LL作平面作平面ConstructplanethroughlineL结论结论:

要有约束条件才能得到唯一解要有约束条件才能得到唯一解Conclusion:

ExclusivesolutionbyextraconstraintsAAx过直线过直线LL作平面作平面ConstructplanethroughlineLllaaaammmmllaaaammmmy过点过点AA作平面作平面ConstructplanethroughpointA思考思考:

能否作出面平行面能否作出面平行面?

投射面呢？

投射面呢？

过直线过直线LL可以作什么位置平面可以作什么位置平面?

WhatkindofplanescanbeconstructedthroughlineL?

ll水平面（）正垂面（）水平面（）正垂面（）正平面（）铅垂面（）正平面（）铅垂面（）侧平面（）侧垂面（）侧平面（）侧垂面（）一般位置平面（）一般位置平面（）过一般位置直线作过一般位置直线作正垂面正垂面ConstructaV-perpendicularplanethroughageneralpositionline.ll过一般位置直线作过一般位置直线作铅垂面铅垂面ConstructaV-perpendicularplanethroughageneralpositionline.llpppp四、平面上的特殊直线四、平面上的特殊直线SpeciallinesonplaneSpeciallinesonplaneOXYZHVL1WP1.1.主直线主直线Mainline平面上与投影面平行的直线平面上与投影面平行的直线Linesparalleltoprojectionplanes正平线正平线LL11V水平线水平线LL22H侧平线侧平线LL33WL2L3平行于平面平行于平面PP与投影面的交线与投影面的交线ParalleltotheintersectofplanePandprojectionplane22主直线平面主直线平面Mainlinesplane用一对相交主直线表示的平面用一对相交主直线表示的平面Planerepresentedbyapairofintersectingmainlinesl1l1l2l2l1l1l2l2最大斜度线最大斜度线Maximuminclinationline平面平面P与与H的夹角，称为坡角的夹角，称为坡角最大斜度线与最大斜度线与H的夹角的夹角3.最大斜度线最大斜度线MaximuminclinationlineY

（1）

（1）定义定义:

平面上与主直线垂直的直线。

也称最大坡度线。

平面上与主直线垂直的直线。

也称最大坡度线。

（2）Lineperpendiculartomainlineonplane.

（2）

（2）特点特点:

最大斜度线的一个投影垂直于主直线。

最大斜度线的一个投影垂直于主直线。

Oneprojectionofmaximuminclinationlineperpendiculartomainlineprojection.最大斜度线的倾角为最大斜度线的倾角为PP平面与该投影面的倾角平面与该投影面的倾角Theangleofmaximuminclinationlineistheanglebetweenplaneandprojectionplane.最大斜度线最大斜度线MaximuminclinationlineHABK（k）lLP1abPHllabab.思考：

思考：

（1）如何求平面）如何求平面P对对H面的坡角？

面的坡角？

AnglebetweenPandH?

（2）如何求平面）如何求平面P对对V面的坡角？

面的坡角？

AnglebetweenPandH?

例例77、已知平面、已知平面PP的的VHVH投影投影,求平面求平面PP对对VV面的坡角面的坡角.FindanglebetweenplanePandV.4.4.应用举例应用举例exampleofapplicationppll实长实长分析分析:

求坡角求坡角,即最大斜度线即最大斜度线对对V面的倾角面的倾角istheanglebetweenmaximuminclinationlineandVprojectionplane.实长实长TruelengthVV投影投影YYY步骤步骤steps:

（1）

（1）作平行于作平行于VV面的主直线面的主直线LLConstructlineLV

（2）2）作垂直于作垂直于LL的最大斜度线的最大斜度线ConstructthemaximuminclinationlineL（3）（3）用直角三角形法求最大用直角三角形法求最大斜度线对斜度线对VV面的倾角面的倾角FindFindbyrighttrianglemethod.思考思考:

如何求坡角如何求坡角?

例例8已知正方形的边已知正方形的边ABAB，又知正方形面与，又知正方形面与HH面倾角为面倾角为4545，完成其投影。

完成其投影。

SquareABCD,=45,completeprojection.aabb22、根据、根据ADAD为正方形面的最大斜度为正方形面的最大斜度线，线，ADAD的的HH面倾角为面倾角为4545度。

度。

ADisthemaximuminclinationline,=4533、ADAD的实长为的实长为ab,ab,求出求出ADAD的的HH投影。

投影。

TruelentghofADisab.11、由直角投影定理可知两直角边、由直角投影定理可知两直角边的的HH投影垂直。

投影垂直。

ABADab=ADaddcdcZ例例9、求作过直线、求作过直线AB的的P平面平面,要求使要求使P与与H面的坡角面的坡角=30ConstructplanePthroughlineAB,andP=30baa实长实长Truelength实长实长TruelengthH投影投影ZZ步骤步骤Steps:

（1）作垂直于作垂直于AB的最大斜度线的最大斜度线BCFindmaximuminclinationlineAB,ABBC

（2）用直角三角形法求最大斜度线用直角三角形法求最大斜度线对对H面的倾角面的倾角FindthePbyrighttrianglemethod.思考思考:

如果要求坡角如果要求坡角=30,能作吗能作吗?

CanthePwithp=30beconstructed?

bcc五、平面图形的投影五、平面图形的投影Projectionofplanarshape1.空间中平面的投影空间中平面的投影

（1）形成特点:

三点共面Threepointsinplane

（2）投影特点:

一个平面图形的各个投影之间互为亲似形Similaritybetweenthethreeprojections2.平面图形的投影作图平面图形的投影作图依据:

从属性Belonging亲似性Similar封闭性Close例例10.已知多边形已知多边形ABCD的的abcd投影及投影及ab，AD是水平线，是水平线，求其求其V投影。

投影。

Given:

ProjectionabcdandabofQuadrangleABCD,ADHReqd:

CompletetheVprojectionababcdcdee例例11.已知菱形已知菱形ABCD的的H投影，投影，AB是水平线，求其是水平线，求其V投影。

投影。

Given:

DiamondshapeABCD,ABHReqd:

CompleteVprojectionabab实长实长TruelengthcdcdZ作业：

作业：

P16-2（a）（b）P16-2（a）（b）P17-（a）（b）（c）P17-（a）（b）（c）P18P18P19-6,7,8P19-6,7,8P20P20复习：

教材第复习：

教材第132-142132-142页页