初中数学知识点梳理沪教市北综合版.docx
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初中数学知识点梳理沪教市北综合版
初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）
导言
《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。
文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。
第一章数的整除
一、知识结构
二、重点和难点
重点：
会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点：
求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除
1.1整数和整除的意义
⑴正整数：
用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。
⑵负整数：
在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。
◆零既不是正整数，也不是负整数。
⑶自然数：
零和正整数统称为自然数。
⑷整数：
正整数、零、负整数统称为整数。
正整数
自然数
整数零
负整数
⑸整除：
设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。
（★）
或者说，如果整数a除以整数b（b≠0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a。
整数a除以整数b
整数a被整数b整除a÷b
整数b整除整数a
例1：
下列哪一个算式的被除数能被除数整除？
28÷710÷35÷4
解：
因为28÷7＝4，
10÷3＝3……1，
5÷4＝1.25，
所以被除数能被除数整除的是28÷7。
◆注意整除的条件：
1除数、被除数都是整数；
②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
◆整除的主要性质：
（★）
1c∣b、b∣a，则c∣a；
2若m∣a、m∣b，则m∣（a＋b）;
3若m∣a、m∣b，则m∣（a－b）;
4若m∣a，则m∣ab（b为自然－数）;
5n个连续正整数的积能被n！
整除。
（n的阶乘：
n！
＝1×2×3×…×n）（★）
例如：
a为整数时，
2∣a（a+1）
6∣a（a+1）（a+2）
24∣a（a+1）（a+2）（a+3）
……（★）
解：
由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，
因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，
所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。
4d_____________________________________________________________________________________________________________________________
◆整除与除尽的区别：
整除：
它只在整数氛围内讨论，被除数、除数、商都是整数，余数为零；
除尽：
未限制数域范围，只是除完后没有余数。
练习
⑴是否有最小的自然数？
⑵是否有最大的整数？
⑶把下列各数分别填入相应的括号中。
22
－60，12，3.14，0，1，－1，－0.618，—
7
正整数（），负整数（），自然数（），整数（）。
⑷下列各式中，哪些式子表示整除？
12÷4＝3（）20÷0.5＝40（）35÷7＝5（）
45÷45＝1（）4.2÷1.4＝3（）78÷7.8＝10（）
⑸2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？
⑹如果a表示一个自然数，且a≥2，写出：
1紧挨着它，在它后面的两个连续自然数_______________;
②紧挨着它，在它前面的两个连续自然数_______________。
⑺下列算式中，哪些是除尽？
哪些是整除？
42÷7＝6（）
3÷5＝0.6（）
4÷0.2＝20（）
5÷3＝1……2（）
8.1÷3＝2.7（）
2÷3＝0.66666……（）
1.2因数和倍数
⑴倍数和因素：
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数（mutiple），b就叫做a的因数（factor）（或a的约数）。
倍数和因数是相互依存的。
⑵因素的特征：
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
⑶倍数的特征：
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
个数
最小
最大
因数
有限
1
它本身
倍数
无限
它本身
没有
⑷一个数的因素的求法：
①列乘法算式或直接用口诀找，即这个数是哪两个数的乘积，注意要找出所有的可能性；
②列除法算式找，即这个数所有能整除的整数。
例：
求18的因素。
①乘积是18的算式有：
1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。
218能整除的算式有：
18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。
⑸一个数的倍数的求法：
这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数，所以，求一个数的倍数的方法可以列乘法算式找。
◆任何正整数都是1的倍数。
练习
填空:
⑴45÷5=9，（）能被（）整除，（）能整除（）；（）是（）的因数，（）是（）的倍数。
⑵一个正整数a的因数的个数是（），其中最小的一个是（），最大的一个是（）；正整数a的倍数的个数是（），其中最小的一个是（）。
⑶一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是（），最小因数是（）。
⑷有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是（）。
1.3数的整除性
常见数的倍数特征：
⑴2的倍数特征：
个位是偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
⑵3的倍数特征：
一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
⑶5的倍数特征：
个位上是0或5的数，都能被5整除。
⑷9的倍数特征：
一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。
⑸11的倍数特征：
一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数，这个数就能被11整除。
⑹7、11、13的倍数特征：
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。
⑺4或25的倍数特征：
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
⑻8或125的倍数特征：
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：
1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
⑼能同时被2,5整除的数的特征:
个位是0。
⑽能同时被2，3，5整除的数的特征:
个位是0，而且各个位上的数字的和能被3整除。
⑾能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
例1：
一年级72名学生课间加餐共交□52.7□元，□处的数字辨认不清，问每个学生交了多少钱？
（★）
解：
由于72＝8×9，
因此，□527□要都能被8、9整除，
□527□被8整除，即27□被8整除，
从而得出个位数字是2。
□527□被9整除，即：
□＋5＋2＋7＋2＝□＋7＋9
被9整除，从而可得首位是2。
所以每人交了：
252.72÷72＝3.51（元）。
答：
每人交了3.51元。
例2：
要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C。
（★）
解：
因为36＝4×9，
所以C只可能是1，3，5，7，9。
要使商最小，首先A应尽可能小，
于是取A＝0，又
1＋5＋6＋A＋B＋C＝9＋3＋B＋C
能被9整除，即B＋C＋3是9的倍数，
C只能是1，3，5，7，9，而B应尽可能小，
因此B取1，C取5。
答：
A、B、C分别是0、1、5。
练习1.1（★）
1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把他们平均分成若干小组，有几种分法？
有可能把他们平均分成4个小组吗？
为什么？
2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：
全班共糊纸盒342个。
小马虎统计错了吗？
为什么？
3、不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？
不错过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？
1.4奇数与偶数（★）
⑴奇数与偶数：
能被2整除的数叫做偶数（evennumber）；不能被2整除的数叫做奇数（oddnumber）。
◆0是偶数。
◆自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
◆设n是整数，则：
2n是偶数，2n-1或2n+1是奇数；设n是正整数，则：
2n是正偶数，2n-1是正奇数。
⑵奇数偶数的运算性质：
①奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，
偶数±偶数＝偶数；
②奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，
偶数×偶数＝偶数。
③奇数的正整数次幂是奇数，
偶数的正整数次幂是偶数。
④两个连续整数的和是奇数，积是偶数。
⑶推广结论：
①奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，任意有限个偶数之和是偶数。
②若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数。
③如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数。
④如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶。
⑤两个整数的和与差的奇偶性相同。
例1：
在1，2，…，2008中每个数前面任意添加“＋”、“－”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？
请说明理由。
（★）
解：
因为a－b与a＋b的奇偶性相同，
所以将算式中每一个数前的“－”号逐一改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，
故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，
因此，所求算式的结果为偶数。
例2：
将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：
乘积（a1－1）（a2－1）…（a99－1）一定是偶数。
（★）
解：
1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，
a1，a2，…，a99中也有50个奇数，49个偶数，
所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有一个是奇数，设其中ak是奇数，则：
ak－k是两个奇数之差，因而是偶数，
所以（a1－1）（a2－1）…（a99－1）一定是偶数。
练习1.2（★）
1、5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是几？
2、用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？
3、一次舞会有七名男士和七名女士参加,一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞,会后统计出有8人各跳了6次,有5人各跳了3次,问余下的一人至少跳了几次？
4、13个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个?
偶数最少有几个?
第二节分解素因数
1.5素数、合数与分解素因数
⑴素数：
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（primenumber）（或质数）。
◆100以内的质数表：
100以内共有26个质数，具体为：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
熟记20以内的全部素数。
⑵合数：
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数（compositenumber）。
◆重点注意：
①1既不是质数也不是合数；
②2是最小的质数，也是唯一的偶质数；
③4是最小的合数；
④正整数可以分成质数、合数和1。
因此，一个数是质数就一定不是合数，是合数就一定不是质数。
⑶素因数：
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数（也叫质因数）。
例如15=3×5，3和5叫做15的素因数。
例1：
判断3333334111111是素数还是合数？
（★）
解：
3333334111111
＝3333333000000＋1111111
＝1111111×3000000＋1111111
＝1111111（3000000＋1）
＝1111111×3000001
所以，3333334111111是合数。
例2：
桌子上有一堆石子共1001粒，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆。
以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：
能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？
（★）
⑴小明：
我家的门牌号是最小的质数和最小的合数分别连续写两次。
小丽：
我家的门牌号是10以内的奇数从大到小排列。
你知道小明家和小丽家的门牌号分别是多少吗？
解：
假设结果可能，并设最后剩下n堆，每堆3粒，
则在此之前一共进行了（n－1）次操作，而每次操作都扔去一粒，
所以一共扔去（n－1）粒，
因此3n＋（n－1）＝1001，即4n＝1002
因为4n是4的倍数，而1002不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，假设不成立。
所以，不可能在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子。
⑷分解素因数：
把一个合数分解成若干个素因数相乘的形式，即求素因数的过程叫做分解素因数。
把一个合数分解素因数，通常可用“短除法”或“树枝分解法”。
◆用短除法分解素因数的步骤：
①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
2得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
3然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
例3：
把60分解质因数：
260
230
315
5
60=2×2×3×5。
◆树枝分解法：
例4：
把60分解质因数：
60
230
215
35
60=2×2×3×5。
◆一个数的因素个数的计算诀窍：
用分解素因数的方法将这个数分解成素因数的乘积，并将相同的素因数用幂次方的形式表示，则因素个数＝各素因数的幂次方分别加1后相乘，如：
42000＝24×3×53×7，则42000的因素有（4＋1）×（1＋1）×（3＋1）×（1＋1）＝80个。
（★）
⑸素数与合数的性质：
①素数有无数多个。
②2是唯一的偶素数。
大于2的素数必为奇数。
如果两个素数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个素数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。
③若素数p∣ab，则必有p∣a或p∣b。
（★）
④若正整数a、b的积是素数p，则必有a∣p或b∣p。
（★）
⑤唯一分解定理：
任何整数n（n＞1）可以唯一地分解为：
n＝p1a1p2a2…pkak，p1＜p2＜…＜pk是素数；a1，a2，…ak是正整数。
（★）
例5：
已知四个质数满足p1＜p2＜p3＜p4，且p12＋p22＋p32＋p42＝511，试求这四个质数。
（★）
解：
由于511是奇数，
所以这四个质数不都是奇数，其中必有偶质数2，即p1＝2，代入得：
p22＋p32＋p42＝507
因为507＜529＝232，
所以p4≤19，
⑴若p4＝19，则p22＋p32＝146,
可知73＜p32＜146，p3＝11，p2＝5；
⑵若p4＝17，则p22＋p32＝218,
可知109＜p32＜218，p3＝11或13，
p3＝11时，p22＝97，p2无解；
p3＝13时，p22＝49，p2＝7；
所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17。
例6：
当x取1到10之间的质数时，四个整式：
x2＋2、x2＋4、x2＋6、x2＋8的值中，共有质数多少个？
（★）
解：
1到10之间的质数有2、3、5、7，
由于2是偶数，所以可用质数为3、5、7。
当x＝3时，x2＋2＝11，x2＋4＝13，x2＋6＝15，x2＋8＝17，有11、13、17三个质数；
当x＝5时，x2＋2＝27，x2＋4＝29，x2＋6＝31，x2＋8＝33，有29、31两个质数；
当x＝7时，x2＋2＝51，x2＋4＝53，x2＋6＝55，x2＋8＝57，有53一个质数；
所以，共有6个质数。
例7：
三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数。
（★）
解：
设这三个质数分别为P、Q、R，则有：
PQR＝11（P＋Q＋R）
可知，必有一质数为11，设R＝11，
则：
PQ＝P＋Q＋11，
PQ－P－Q＝11，
P（Q－1）－（Q－1）＝12，
（P－1）（Q－1）＝12，设P≤Q，
所以P－1＝1，Q－1＝12，或P－1＝2，Q－1＝6，或P－1＝3，Q－1＝4，得：
P＝2，Q＝13，或P＝3，Q＝7，或P＝4，Q＝5（不符合质数的条件，舍去），
故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11。
练习1.3
（1）（★）
1、在1到100这100个自然数中任取其中的n个，要使这n个数中至少有一个合数，则n至少是多少？
2、有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。
3、已知P，P＋10，P＋14都是质数，求所有这样的数P。
练习1.3
（2）（★）
1、分解素因数：
45，88，126。
2、农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？
（每只船至多载50袋化肥）
3、在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？
4、已知三个质数a、b、c，它们的积等于30，求适合条件的a、b、c的值。
5、证明：
存在2006个连续数，它们都是合数。
1.5公因数与最大公因数
⑴公因数：
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
◆如果a1，a2，…，an和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…，d∣an，那么d叫做a1，a2，…，an的公因数，公因数中最大的叫做最大公因数，记作（a1，a2，…，an）。
（★）
⑵互质数：
公因数只有1的两个数，叫做互质数，也叫互素。
◆成互质关系的两个数，有下列几种情况：
①1和任何自然数互质；
②相邻的两个自然数互质；
③两个不同的质数互质；
④相邻的两个奇数互质；
⑤当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；
⑥两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质；
⑦如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
◆两个数的最大公因数的特殊情况：
①如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；
②如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。
⑶求几个数的最大公因数的方法：
①列举法：
分别列举出每个数的所有因素，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公因数。
②分解素因数法：
分别将每个数分解素因数，然后将所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。
③短除法：
用所求的几个数的公因数去除这几个数，除到所得的商没有公因数为止，然后将左边除数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。
例1：
用短除法求12和42的最大公因数。
21242
3621
27
12和42的最大公因数是2×3＝6。
例2：
用短除法求84、126和210的最大公因数。
284126210
34263105
7142135
235
84、126和210的最大公因数是2×3×7＝42。
例3：
在3和9、4和9、3和7、7和14、14和15五对数中，哪几对数是互素的？
解：
根据互素的概念，如果两个整数只有公因数1，则这两个数互素。
所以，在这五对数中，4和9、3和7、14和15这三对只有公因数1，
所以这三对数互素。
例4：
植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树。
老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等。
请问，这56名同学最多能分成几组？
（★）
解：
分成的组数能整除24和32，也就是24和32的因数，题目实际上是求24和32的最大公因数。
（24，32）＝8
答：
这56名同学最多能分成8个组。
练习
⑴求8，9和30的最大公因数。
⑵求18和30的最大公因数。
⑶用短除法求60和72的最大公因数。
⑷用短除法求48、72和120的最大公因数。
练习1.4（★）
1、2520的因数有多少个？
2、求24，44，60的最大公因数。
11111
3、分数————是不是最简分数？
15015
4、一块长方形木料，长72cm，宽60cm，高36cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩，算一算可以锯成几块？
5、有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？
1.6公倍数与最小公倍数
⑴公倍数和最小公倍数：
两个或多个数都有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
◆如果a1，a2，…，an和m都是正整数，且a1∣m,a2∣m,…，an∣m，那么m叫做a1，a2，…，an的公倍数，公倍数中最小的叫做最小公倍数，记作[a1，a2，…，an]。
（★）
◆几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
◆两个数的最小公倍数的特殊情况：
①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数；
②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
⑵求几个数的最小公倍数的方法：
①枚举法：
分别列出每个数的倍数，然后找出它们的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数。
②分解素因数法：
分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些素因数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
③短除法：
a.两个数的最小公倍数：
用两个数的公因数去除这两个数，除到所有的商互素为止，然后将所有除数和最后得到的商连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
b.三个数的最小公倍数：
首先，用三个数的公因数去除每个数，除到三个数的商互素为止；其次，再用每两个数的公因数去除每个数，除到三个数的商成为两两互素（任意的两个商互素）为止；第三，把这些除数和最后的商相乘，所得的积就是这三个数的最小公倍数。
例1：
用短除法求12和42的最小公倍数。
21242
3621
27
12和42的最小公倍数是2×3×2×7＝84。
例2：
用短除法求84、126和210的最大公因数。
284126144
3426372
71421
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