正方形的性质与判定课件[1].ppt

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正方形的性质与判定,想一想,你觉得什么样的四边形是正方形呢?

矩形,正方形,矩形怎样变化后就成了正方形呢?

探究

（一）,有一组邻边相等,菱形怎样变化后就成了正方形呢?

正方形,1、要使一个菱形成为正方形需增加的条件是,（填上一个条件即可）,有一个角是直角,探究小结,矩形,正方形,邻边,相等,发现：

一组邻边相等的矩形叫正方形,一个角,是直角,正方形,发现：

一个角为直角的菱形叫正方形,正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,拓展讨论,讨论总结:

正方形有那些性质?

知识点一：

正方形的性质,观察思考：

正方形是中心对称图形吗?

A,C,D,B,A,C,D,B,A,C,D,B,O,对边平行，四条边都相等,四个角都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形ABCD是正方形ABCDADBC,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形A=B=C=D=90,四边形ABCD是正方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,轴对称图形中心对称图形,二、正方形的性质的应用,例1、如图，正方形ABCD中，

（1）一条对角线把它分成个全等的三角形。

问：

这些三角形是什么三角形？

（2）两条对角线把它分成个全等的三角形。

2,4,等腰直角,A,B,D,C,O,（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为度。

45,例2、如图，正方形ABCD中，,正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC=。

试一试，相信你很棒！

1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角,C,2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长为,对角线长为,面积为.,8cm,3.正方形的对角线和它的边所成的角是度.,45,4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长为，面积为。

5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一点,PEAC,PFBD,E、F为垂足,则PE+PF=。

5cm,A,B,C,D,F,P,E,O,例,求证:

正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,A,D,C,B,O,已知:

如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证:

ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,证明:

四边形ABCD是正方形,ACBD,即AOB=BOC=COD=DOA=90AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,并且ABOBCOCDODAO（SAS）,A,D,C,B,O,正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？

拓展讨论:

结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、ADC、ABD、BCD；AOB、BOC、COD、DOA.,平行四边形,矩形,菱形,正方形,正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？

小结,知识拓展:

与同学讨论后填写下表：

几种特殊四边形的性质,对边平行且相等,对边平行且相等,对边平行，四边都相等,对边平行，四条边都相等,对角相等，邻角互补,四个角都是直角,对角相等，邻角互补,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等且互相平分,对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,轴对称图形、中心对称图形,轴对称图形、中心对称图形,轴对称图形、中心对称图形,知识点二：

正方形的判定,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一个角是直角,平行四边形,有一个角是直角,有一组邻边相等,图形之间的变化关系,正方形的判定方法：

2、有一组邻边相等的矩形是正方形,3、有一个角是直角的菱形是正方形,1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）,判断四边形是正方形有哪些方法？

、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等,、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角,、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。

（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）,（邻边相等的矩形是正方形）,（有一个角是直角的菱形是正方形）,巩固练习：

判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？

四个角都相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）对角线相等的菱形是正方形；（）对角线互相垂直的矩形是正方形；（）对角线垂直且相等的四边形是正方形;（）四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.（）,已知:

正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?

为什么?

例题教学,证明：

四边形ABCD是正方形ABC=BCD=90；AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）又AE=BF=CG=DHAB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF即BE=AH=DG=CFAEHBFECGFDHGEH=EF=FG=GH四边形EFGH是菱形又3+2=90且131+2=90EFG=90四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）,练习.如图，四边形是正方形，、分别是四边的中点。

你知道四边形EFGH的形状吗？

为什么？

2.已知:

如图,ABC中.ABC=90,BD是角平分线,DEAB,DFBC,垂足分别是E、F.,试说明：

四边形DEBF是正方形.,解:

DFBC,DEAB,DEB=DFB=90,又ABC=90,四边形DEBF是矩形,BD平分ABC,DFBC,DEAB,DE=DF,四边形DEBF是正方形,如图，在矩形中，四个角的平分线相交于点、，试说明四边形EFGH是正方形。

小结,1、正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,2、正方形有那些性质,对边平行，四条边都相等,四个角都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角等于45,边：

角：

对角线：

3、正方形有那些判定方法（请各同学根据自己的实际具体分类）,正方形的判定方法：

2、有一组邻边相等的矩形是正方形,3、有一个角是直角的菱形是正方形,1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）,正方形常考点练习巩固与提升,例：

正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,25,30,例3已知：

如图（4）在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：

MFD45,分析：

欲证MFD45，由于MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证_=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?

CMDADF,练习如图（5），在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：

（1）ACFDCB

（2）BHAF,证明：

如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那么线段AE和DG有什么大小关系？

请说明理由。

1,2,3,例题赏析,在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分BAC,试猜想AB、BE、AC之间的大小关系，并证明你的猜想,例2如图（3），正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：

要证明BMCN，,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：

BMCN。

AB=BC，1=2=45,AM=BN,ABMBCN,正方形ABCD,OM=ON,OMNONM45,活动与探索,如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD上的点，若BE+DF=EF，求证：

EAF=450,变式：

如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上，EAF=450，CEF的面积为，求AEF的面积。