渐开线与摆线ppt.ppt

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四、渐开线与摆线,杜贤中,讲授新课,1.渐开线,探究：

P40把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？

能否求出它的轨迹方程？

1、渐开线的定义,探究：

P40,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。

这条曲线的形状怎样？

能否求出它的轨迹方程？

动点（笔尖）满足什么几何条件？

我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，,相应的定圆叫做渐开线的基圆。

讲授新课,渐开线,讲授新课,根据动点满足的几何条件:

我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系（图）.,2、渐开线的参数方程,设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x,y）.显然，点M由角惟一确定.,这就是圆的渐开线的参数方程。

讲授新课,渐开线的应用：

由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。

设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。

在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力.,讲授新课,2.摆线,思考：

如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？

上述问题抽象成数学问题就是：

当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？

讲授新课,B,D,A,C,M,x,y,O,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。

E,讲授新课,2011江西理数10如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）,A,思考,分析：

根据小圆与大圆半径1：

2的关系，知小圆的周长为大圆的一半，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周若小圆转半圈，则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一,N,M,N,M,半圈,一圈,一圈半,两圈,M,N,2:

1时一个点的内摆线,4:

1时一个点的内摆线（星形线）P44,课堂练习,如图，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是225mm，求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程.,P42,2.当时，求出渐开线,上的对应点A,B,并求出A，B的距离.,3.有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是b（ba）,求点M的轨迹方程.,.一个半径是4r的定圆O和一个半径是r的动圆C相内切.当圆C沿圆O无滑动地滚动时,探求圆C上定点M（开始时在点A）的轨迹的参数方程.,A,M,C,O,P44内摆线（星形线）4:

1,B,x,y,D,小结：

圆的渐开线，渐开线的参数方程；2.平摆线、摆线的参数方程.,