基本不等式经典.ppt

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3.4基本不等式:

一、问题引入,新课探究,新课探究,一般地，对于任意实数，我们有,当且仅当时等号成立,思考：

如何证明？

证明：

当且仅当时，此时,当且仅当a=b时，取“=”号,能否用不等式的性质进行证明？

小组合作：

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设AC=a,BC=b。

过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。

基本不等式的几何意义是：

“半径不小于半弦。

”,E,P98探究,2.代数意义：

几何平均数小于等于算术平均数,2.代数证明:

3.几何意义：

半弦长小于等于半径,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,3.几何证明:

从数列角度看:

两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.思考:

如果当用去替换中的,能得到什么结论?

基本不等式,探究3,基本不等式：

当且仅当a=b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,重要不等式：

注意：

（1）不同点：

两个不等式的适用范围不同。

（2）相同点：

当且仅当a=b时，等号成立。

1.重要不等式,2.基本不等式（均值定理）,注意：

基本不等式成立的要素：

（1）：

看是否均为正数,

（2）：

看不等号的方向,（3）：

看等号是否能取到,简言之：

一正二定三相等,基本不等式,结论1：

两个正数积为定值，则和有最小值,结论2：

两个正数和为定值，则积有最大值,已知x1,求x的最小值以及取得最小值时x的值。

解：

x1x10x（x1）1213,当且仅当x1时取“”号.于是x2或者x0（舍去）,答：

最小值是3，取得最小值时x的值为2,例1:

通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.,牛刀小试,结论1：

两个正数积为定值，则和有最小值,例3已知x0,y0,且x+y=1求的最小值,

（1）基本不等式取等号的条件

（2）“1”的代换在不等式中的应用,错,例2

（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？

最短的篱笆是多少？

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？

最大面积是多少？

解法一：

（2）设矩形菜园的宽为xm，则长为（36-2x）m，其中0x18,解法二：

其面积为:

当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，,即菜园长18m，宽为9m时菜园面积最大为162m2.,解：

【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为,水池的总造价为y元，根据题意，得,因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,赵老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

分析：

“年平均费用”的含义？

解：

设使用x年后，年平均费用为y万元，则,即当x=10时，y有最小值3万元,答：

使用10年后，年平均费用最少。

变式训练,知识要点：

基本不等式的条件:

结构特征:

思想方法技巧：

（1）数形结合思想

（2）换元法,课堂总结,一正、二定、三相等,和、积,.理解均值不等式的关系: