《线性代数》课件 第三章 线性方程组3.1高斯消元法.ppt

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,线性代数,第三章线性方程组第一节高斯消元法,本章讨论n个未知数m个方程的线性方程组的解,2.探讨线性方程组解的情况a.何时有解,何时无解b.若有解,则有多少组解c.若有无穷多解,如何表示,1.方法:

高斯消元法,用高斯消元法解线性方程组,解,例1,用回代法求出解：

其中x3为任意实数,2,小结,1.上述解方程组的方法称为高斯消元法,2.始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换:

这些变换统称为线形方程组的初等变换。

3.上述三种变换都是可逆的,在上述变换过程中,只对方程组的系数和常数进行运算,未知量xi并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B（方程组AX=b的增广矩阵）的变换,B=（A|b）=,用矩阵的初等行变换解方程组

（1）：

对应的方程组为,由下到上逐个解得,r32,r4r3,其中x3为任意实数,解线性方程组,解,解得唯一解,（A,b）=,x3=2,x2=3,x1=1,例2,解线性方程组,解,所以这是一个矛盾方程组,故方程组无解.,（A,b）=,例3,线性方程组,系数矩阵,增广矩阵,方程组有解的充要条件是dr+1=0,其中cii0,i=1,r,线性方程组解的判定定理,a.当r（A）=n时,有唯一解,实际上r就是矩阵A的秩,r=r（A）,线性方程组Ax=b有解的充要条件是,在有解的情况下:

b.当r（A）n时,有无穷多解,并且自由未知量的个数是nr（A）,齐次线性方程组为Ax=O,即,显然零向量必为它的解,称为零解.,推论,3.当mn时,必有非零解,t为何值时线性方程组,解,有解?

并求解.,方程组有无穷多解.,例4,有解?

并求解.,当t=1时,方程组可变换为,解,自由未知量为32=1个,设为x3,则方程组的解为,其中x3为任意实数,t为何值时线性方程组,例4,用高斯消元法解线性方程组,解,所以,