BD=AD
.qBDF=£,ADE
ZBDF=ZADE
又♦・•ZADF+/BDF=90°
JAADE+AADF=90°
即OEJ.OE
二、“三线合一”模型
“角平分线”+垂线f等腰三角形”
构成：
0C为NA0B的角平分线，BC_LOC于C点
结果：
⑴［边］:
BC=AC,0A=0B—0C为AOAB的中线
⑵［角］:
Z3=Z4,NAC0=900—0C为△ABO的高线⑶［全等］:
AACO^ABCO
例1已知：
AD是AABC的NA的平分线，CD1AD于D,BE1AD于AD的延长线于E,M是BC
边上的中点。
求证:
ME=MD
证明：
延长CD交AB于F点，BE与AC延长线交于G点
•••D为FC中点，M为BC中点。
DM〃AB,Z1=Z3
•••N4+N5=90°，N2+N6=90°
Z5=ZG=Z6Z4=Z2
则N3=N4则MD=ME
“‘三线合一'定理的逆定理”+“平行线的性质”+“等底对等腰”例2已知：
ZiABC为等腰直角三角形，ZA=90°,N1=Z2,CE±BE
求证：
BD=2CE
证明：
延长CE、BA交于F点
先证CF=2CE
再证RTAABD^RTACAF<="N3=NF"+"AB二AC"+”NBAD二NCAF”
则有BD=CF=2CE
“‘三线合一'定理的逆定理”+"ASA=>全等”
例3已知：
ZkABC中，CE平分NACB,KAE±CE,ZAED+ZCAE=180°（Z3+Z4=1800）
求证:
DE〃BC
证明：
延长AE交BC边于F点，则有N3=N6且N3=N5
<=①N3+N4=180°②Z4+Z5=180°
・•・Z5=Z6则DE〃BC
“‘三线合一'定理的逆定理”+“平行线的判定”
例4已知：
在△ABC中，AC〉AB,AM为NA的平分线，ADLBC于D
求证：
ZMAD=y（ZB-ZC）
证明：
作BE_LAM,交AC于E点，交AM于K点
先证N3=N4UN1=Z2
N5=NAEB<=①AM为角平分线②BE_LAM
后证：
ZB-ZC=Z4+Z5-ZC=Z4+ZAEB-ZC=2Z4
则N3=N4=:
（ZB-ZC）即NMAD=：
（NB-NC）JJ
“三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”
例5已知:
在AABC的两边AB、AC上分别取BD=CE,F、G分别为DE、BC的中点,NA的
平分线AT交BC于T
求证:
FG/7AT
证明：
作ENJ_AT于N点，交AB于L点，作CKJ_AT于K点，连结FN、GK
先证：
NF〃且=4lD,KG〃且二;MB
再证：
LD二MBULMRB=EC
最后证明四边形FNKG为平行四边形。
“‘三线合一'定理的逆定理”+“平行四边形判定”
例6、如图，AB=AE,NABC=NAED,BC=ED,点F是CD的中点
（1）求证：
AF1CD
（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？
证明：
（1）连接AC、AD,在AABC和4AED中，AB=AE,NABC二NAED,BC=ED
/.ZkABC=ZkAED
・•・AC=AD
在等腰4ACD中，F是底边CD的中点
AAF±CD
例7、如图，△ABC,NACB=90。
，AC=BC,D为AC上一点，AE_LBD的延长线于E,且AE二1BD,2
求证：
BD平分NABC
提示：
分别延长AE和BC,两者相交于F
欲证BD平分NABC,只需证BE是等腰三角形底边上的高与中线，
F
蕴含着BE是AF的中垂线三、三角形中位线模型
构成：
△ABC中，D为AB边中点
目的：
找中位线，构造：
①2倍关系②相似三角形
结果：
①DE〃BC,DE二:
BC②△ADEs/\ABC
例1已知：
在△ABC中，AB=AC,AD_LBC于D,DE_LAC于E,F为DE中点
求证：
AF±BE
证明：
取BE中点H,连DH
DEEC
先证：
RtAEDH^RtAxAED则——=——
AEDE
二NEAF+NAEG=90°贝4AF1BE
“AAA=>Z\s”+“中位线定理”+“（两直线）定义”例2已知BD、CE为aABC的角平分线，AF1CE于F,AG_LCE于F,AG_LBD于G
求证：
①FG〃BC②FG=：
（AB+AC-BC）
证明：
延长AF、AG分别交BC于M、N两点
证G为AN中点<=①BDLAN②N1=N2
F为AM中点U①N3=N4②CELAM
①则GF为△ANY中位线GF〃BC,GF=1mNAr
②MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC
“等腰△三线合一”+“△中位线定理”+“等量代换”思考：
BD、CE为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？
例3已知，如图在oABCD中，P为CD中点，AP延长线交BC延长线于E,PQ〃CE
交DE于Q
求证：
pq=1bc
证明：
先证△ADPgZkPCE可得CE=AD=BC
再证PQ为中位线，PQ^CE
MM
-AAS=>A^"+"平行四边形性质”+“△中位线定理”
例4已知：
梯形ABCD中，AB=DC,AC_LBD,E、F为腰上中点,DLJ_BC,M为DL与EF的交点
求证：
EF=DL
证明：
取AD、EF的中点H、K,连结EH、FH、HK
易证EH_LHF则HK=；EF
RT4DLC中可得M为DL中点，贝ijDM=\DL
由题意得HK=DM则EF二DL
“三角形中位线定理（3次）”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半”例5已知：
锐角AABC中，以AB、AC为斜边向外作等腰直角△ADB,△AEC,M为
BC中点，连结DM、ME
求证：
DM=EM,DM±EM
证明：
取AB、AC的中点F、G,连结DF、FM、ME
先证△DFMgAMGEU①DF=GM
（2）ZDFM=ZMGE<=Z1=Z2=Z3③FM二GE
贝|JD）仁ME,Z4=Z5再证NDME=N7+N1+N5=9O°,则DM±EM
［思考］:
NBAC为钝角时，又该如何证明？
例6：
如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AB延长线上一点，且AB二BD,CE是腰
AB上的中线。
求证:
CD=2CE
分析：
要证明一条线段是另一条线段的两倍（或一条线段是另一条线段的一半）
常用的方法是构造中位线
证明：
找出AC的中点F连接BF,
・・・A8=AC,/是AC的中点
.・.bf=1ac
2
・・・AB=AC
AE=AF=BE=CF
ZABC=ZACB
BC=BC
BCE=aCBF
:
.CE=BF
..CE=-CD
2
即CD=2CE
“补长截短”模型
（l）截长法：
构成：
线段a,b,c
目的：
确定一线段，找令一线段的等量关系
结果：
-a-//=c=>a=b+c,b=b'
（2）补短法：
构成：
线段a,b,c
目的：
构造一等长线段，再找等量关系
结果：
c=cr,b+c'二a=>a=b+c
例1已知：
ZiABC中，AD平分NBAC
求：
（1）若NB=2NC,则AB+BD=AC
（2）若ABtBD=AC,贝i]NB=2NC
解：
（1）在AC上取AE=AB,连结DE,则△AEDgAABD
・•・BD=EDN3=NB,AB=AEKZ3=2ZC=Z4+ZC
则EC=ED
AC=AE+EC=AB+BD
（2）
（1）的反推过程
“SASA△全等”+“△的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底。
等腰”
A
例2：
在△ABC中，NC=2NB,AD_LBCY于D,求证BD=AC+CD//N
提示：
要证明一条线段等于两条线段之和的问题时要将两条线段转化到bDC
一条直线上，即选用截长补短法
延长DC至E使AC=CE证明△ABE是等腰三角形进而证明BD=DE则问题得证
例3如图所示，等腰直角△ABC中，/84890。
过点八做直线口£,BD_LDE于D,CEJ_DE于
E,求证：
DE=BD+CEf
提示：
证明DE=BD+CE即证△ABDW△CAE则有AD=CE,BD=AE
例2已知：
等腰△ABC中，AB=AC,NA=108,BD平分NABC
求证：
BOAB+DC
，DC=EC则BC=BE+EC=AB-DC
“SAS=>△全等"+“△两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰”
例3、已知如图所示，在△ABC中，AB=ACNA=100。
，BD平分NABC交AC于D
例3己知：
在AABC的边BC上取BE=CF,过E作EH/7AB交AC于H,过F作FG/7AB交AC
再证四边形ADEH为平行四边形则FG+EH=AD+D肚AB
“SAS=>△全等”+“平行线的判定”+
“平行四边形的判定”
［思考］:
①若在AC上截取AD二EH,连DF,如何证明？
②若用以下方法添加辅助线，又该如何证明？
b.延长HE至D,使ED=GF,连AD
例4己知：
在正方形ABCD中，X是CD的中点，E是CD上一点,
且NBAE=2NDAM
求证：
AE=BC+CE
延长AB至F使AF=AE,连结FG,GE
先证N3=N5则N3=N4=N5后证RTAAFG^RTAAEG则FG=GE
再证RTAFBG^RTAECG则BF=EC
所以有AE二AF=AB+BF=BC+CE
“SAS=>△全等”+“，三线合一'定理”+“等量代换”
［思考］:
若用以下方法添加辅助线，该如何证明？
a.在AE上截取AF二AB,取BC中点G,连结AG,GF,GE
b.延长DC至H,使CH=AB,连AH交BC于G
例5已知：
在正方形ABCD中，E为BC上任一点，NEAD的平分线交DC于F
求证：
BE+DF=AE
证明：
延长CD至G,使DG=BE,连结AG,则RTAABE^RTAADG,
得N3=N4再证N5=N1+N4=>AG=FG
所以有AE二AG二AF=DF+DG=DF+BE
“平行线性质2”+“等底对等腰”+“HL=>RT△全等”“等腰<=>等边”模型
构成：
ZAOB,0D为NAOB的角平分线
目的：
构造等腰△,找等角，等边
角平分线+平行线一等腰△
结果：
①AOEC为等腰△=>（）（：
=0E
②N3=NC,Z1=Z3
例1已知：
Z^ABC中，AB=4,AC=7,M^BC4I^tAD平分NBAC,过M点作MF〃AD,
交AC于F
求：
FC的长度？
解：
延长FM至N,使MF=MN,延长MF、BA交于E点
先证：
△BMNg^CMF=>BN=CF,ZN=ZMFC
再证：
NE二NBAD二NCAD二NCFM二NAFE二NN
=>AE=AF,BN=BE
则有：
AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=XB+FC=2FC
所以有：
FC二;（AB^AC）=5.5
“SAS=>△全等”+“平行线性质”+“对顶角相等”+“等底对等腰”例2已知：
锐角AABC中，ZABC=2ZC,NABC的平分线与AD垂直，垂足为D
求证：
AC=2BD
证明：
过A作BC平行线，延长BE交平行线于F
先证：
Z\ABF为等腰4OBF=2BD
再证：
AE+EC=EF+BE<=①AE=EF<=Z3=Z4
②BE=EC<=Z2=ZC
即AC=BF=2BD
“等底<=>等腰”+“等腰△三线合一”+“平行线性质2"例3已知：
在ZkABC中,ZA=100°,AB=AC,BE^ZB的平分线
求证：
AE+BE=BC
过E作ED//BC交AB于D,延长CA至A使EF=BC连结FD
DE=DB=EC
△DEF里△ECB=>FD=BE
FD=FA<=Z4=Z5=90°
所以有：
AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF二BC
“平行线性质”+“等底<=>等腰”+"SAS==>△全等”例4已知：
△ABC中，AB=AC,AD为AABC的角平分线，P为BC上一点，过P作
AD的平行线交BA的延长线于E,交AC于F
求证：
2AD=PE+PF
证明：
延长AD，FP,过C作AB平行线，交于G、H点
先证：
AD=DG,PH=FP<=Z1=Z2=Z3=Z4=Z5
后证：
AG=EHU四边形AEHG为平行四边形
则有：
2AD二AG二EH=EP+PH=EP+FP
“等底O等腰”+“平行线性质1”+“平行四边形判定及性质”构造等边三角形、等腰三角形例1、如图，已知NABD=NACD二60。
NADB=90。
-!
NBDC且NBAC二20。
求：
/ACB的度数。
2
分析：
由已知，NABD=NACD=60。
联想等边三角形的内角,
而原图中没有等边三角形因此考虑添加辅助线构造等边三角形。
解：
如图延长CD到E,使CE=CA,连结AE
•/ZACD=600
••.MCE是等边三角形
.•・Z£=/ABD=600
•/ADB=90°-BDC
二2ZADB=1800-ZBDC=ZBDE
二/ADB^/ADE
/Z£=^ABD=6（）0,AD=AD
..aADB^ADE
.・."=AE=AC
/.ZACfi=l（1800-ZBAC）=1（1SO°-2O°）=80°22
注意：
当条件中含有60。
角或己知角的和差中含有60。
的角时，经常想起构造等边三角形
例2、如图所示，在aAOB中，ZA0B=120°,CO为NAOB的角平分线交AB于点C
求证:
1十1二1
OA^OB^OC
证明：
延长A0到点D,使0D=0B,连接BD
・/ZAOB=120°/.NBOD=60°
：
.Z1=Z2=60°,BD=OB
.•。
。
是乙4。
8的角平分线
・,ZOC=60。
..OC//DB
..AO：
AD=OC：
BD
^CO.AD=AO.BD
・,.OC（AO-OB）=OA・OB
即」_+_!
_=」_
OAOBOC
倍长中线模型
构成（条件）：
AABC中，AD为中线
目的：
（1）构造全等三角形一找等量关系（边）
（2）构造平行线一找等角关系
结果：
（1）ABDE^AADC一①BE二AC
（2）AE=2AD
②N1=N2,N3=N4-AC〃BE
例1：
已知：
AD为aABC中线，E为AC上一点，且AE=FE求证：
AC=BF证明：
（倍长中线）△BDGgaCDAn/G=NEAF,BG=AC
再NG=N3=>BF=BG“SAS△全等”+“等底等腰”+“等量代换”
例2:
已知：
CE、CB分别是△ABC、4ACD的中线，且AB二AC,求证：
CD=2CE证明：
倍长CE,连结BM△MEB^ACEA<=（SAS）ME=EC+ZMEB=ZAEC+BE=AE△MBC^ADBC<=（SAS）眸BD+NMBC=NDBC+BC=BC
.\DC=MC=2EC
“等腰对等底”+“外角二两内角和"+“SAS△全等”
例3、如图，在AABC中，AB二BD=DC,AE是AABD的中线，求证：
AC=2AE
证明：
延长AE到F使AE=EF,连结DF,
证△ABETZXFDE—》AB二DF所以在证△ADFgZiADC*F
有AC=AF=2AE
例4、如图在aBAC中，AD是中线，且BE二AC
求证：
AF二EF
证明：
延长AD到X使AD=DX,连结BY证明△BDMgZ\CDA
则有BM=AC,NBMD二NDAC,又因为BE=AC二BM
所以NBMD二NBEM二NAEF=/DAC,所以AE二AF
例5：
已知RtZ\BAC中，ZA=90°,D为BC边中点，E、F分别为边AB、AC上一动点，且ED
±FDo求证：
EF=BE+CF。
证明：
倍长FD至G,连结BG、EG
先证△CFDgZ^BGD=>CF=BG,ZC=ZGBD（AC/7BG）
RtZXEBG中，EG:
=BG:
+BE2=FC:
+BE=
△EGF为等腰△,则EFJBE'+CF，
“SAS=>△全等”+“勾股定理”+“等腰△三线合一”
例6：
已知：
ZliABC中，AD为中线，AB边长为x,AC边长为y,求中线AD
的取值范围.
解：
倍长AD连结BE
△ABE中，x-yi<2AD…x+y
22“SAS△全等”+“等量代换”+“△三边关系”例7：
已知M是AABC的边BC上的中点，过BC上一点D引直线平行于AM交AB于E,
交CA的延长线于F求证：
ED+DF=2AM
证明：
倍长AM,连结BH延长ED交BH于K
先证四边形FAHK为平行四边形AAH二FK
再证ED=DKUED/AM=DK/HM,AM=MH
••・ED+FD=FK=AH=2AM“SAS全等△”+“平行四边形定义及性质”+“比例性质”+
“等量代换”
［练习］已知：
Z^ABC中，AD是角平分线，M是BC中点，MF〃DA,MF交AB、CA的延长线
于E、F。
求证：
BE=CF
证明：
倍长FM连结BG
先证△BMGgACMF=>BG=CF,ZG=ZF
，FC〃BG
Z4=Z1
再证N1=NF二NGUlz2=ZF
Z1=Z2
.\BE=BG=CF
“SAS
全等”+“两直线平行，同位角相等”+“等底对等腰”
四、面积法
（1）构成:
AD/7BC,AABC,ABCD。
目的:
找等枳△.
结果:
SA^C=SABCD.
（2）构成:
EF〃BC,△ABC,AAEF。
目的：
找比例线段。
结果：
SAAEF：
SAABC=AF:
：
AC:
=AE2：
AB==EF:
：
BCc
（3）构成：
L〃L〃h，线段AC、BD,AD、BC相交于点0。
目的：
找比例线段。
结果：
AE：
EC=A0：
0D=B0：
C0=BF：
FD例L在AABC的边AB、AC上分别取点D、E,使DE〃BC,在AB上取点F,
使SZXADE=Sz^BFQ求证：
AD==ABXBFa
证明：
SAADE：
SAABC=AD:
：
AB二"+"SAADE：
SAABC=
SABFC：
SAABC=FB：
AB"=>AD:
：
AB三FB：
AB
=>AD二=FBXAB“相似△而积比”+“同高△而积比”+“比例的基本性质”
例2：
已知：
/XABC中，NAC
升级会员 