复变函数第一章第一节.ppt

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注注:

（1）

（1）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；

（2）

（2）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.1.1复数复数1、复数的概念其中.12i）;Re（zx实部）;Im（zy虚部.ziyxiyx的共轭复数，记为为共轭的表达式，称为复数形如iyxz其中x,y为实数.一、复数及其四则运算一、复数及其四则运算例11）43（2mmimm）65（2解解令,432mmx,652mmy.160652mmmm或知由,00,）2（yx且则如果复数是纯虚数.140432mmmm或知由.10应舍去知但由my.4m即只有实数m取何值时，复数是

（1）实数；

（2）纯虚数.

（1）如果复数是实数，则y=0加、减：

）;（）（212121yyixxzz乘法：

）;（）（1221212121yxyxiyyxxzz注:

.）（22yxiyxiyxzz2、复数的四则运算则设,222111iyxziyxz除法：

）.0（2222221122222212121zyxyxyxiyxyyxxzzz容易证明:

复数的运算满足分配律、交换律、结合律.另外，还经常用到以下性质：

;）1（2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;）2（zz;）Im（）Re（）3（22zzzz）.Im

（2）,Re

（2）4（zizzzzz以上各式证明略.例1设证例2,222111iyxziyxz设两复数）.Re（2212121zzzzzz证明2121zzzz）（）（）（22112211iyxiyxiyxiyx）（）（21122121yxyxiyyxx）（）（21122121yxyxiyyxx）（22121yyxx）.Re（221zz.,135）3（1yxiiyix求实数例3解.）2（;125）1（iii化简,125）1（iyxi,2）（12522xyiyxi122,522xyyx,2,3yx）.23（125ii,）2（yixi,2121ii,2121ii.2ii12,022xyyx,21yx有序实数对（x,y）平面上一点P实轴、虚轴、复平面ZZ平面、ww平面1.复平面二、复数的几种常见表示法二、复数的几种常见表示法xyOzxiy=+代数表示代数表示复数zxiy=+OxyXYPrz=x+iyzxiy=+=+（）Pxy点，OPuuur2.复数的向量表示模：

辐角：

rq几何表示几何表示:

.=Arg0uuur22|z|=|OP|=r=x+y,z（z）记记作作模模:

辐辐角角qq0tan（Arg），时时yzz=.x显然为整数.把其中满足0-的0称为辐角Argz的主值，记作0=argz.0Argz=+2k,kqq.实轴对称的复平面内的位置是关于在和一对共轭复数zzoxy（z）z1z2z1+z2z2-z1有：

的模关于复数zz22）1（yxz之间的距离，故和表示点因为2121zzzz2121z）5（zzz2121）6（zzzz2121）4（zzzzzyzxyxz,）3（2,）2（zzzzz2（22）arg（22）2arctan2224Argiikkkpppp-=-+=+=-+cos,sinxryrqq=根据上式称为复数的三角表示.xiyxzyrOxy可以得到）.sin（cosirz例2求的三角表达式.例1.）22（iArg求3.复数的三角表示5cos5sin,ii4、复数的指数表示由欧拉公式sincosiei可以得到复数的指数表示式:

.irez求例2中的指数表达式.

（1）南极、北极的定义0取取一一张张复复平平面面,再再做做一一个个与与复复平平面面切切于于原原点点的的球球面面,z=通通过过作作垂垂直直于于复复平平面面的的直直线线与与球球面面相相交交于于另另一一点点,ON,北北极极我我们们称称为为NxyONSz南南极极与与北北极极对对应应的的称称为为,也也可可用用表表示示.NOS5、复数的球面表示xxONSzP（z）z球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.

（2）复球面的定义用来表用来表示复数的这个球示复数的这个球面称为面称为复球面复球面.全体复全体复数与数与复球面复球面-N成一一对应关系成一一对应关系.因而球面上的北极N就是复数的几何表示.xxONSzP（z）z（3）扩充复平面的定义我们规定:

北极N与一个模为无穷大的假想的点对应这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.复平面加上后称为扩充复平面，记作CC（）（0）,0（）,（0,）0aaaaaaaaaaa但可为注：

（1）如不声明，我们讨论的都是有限复平面。

关于的运算，规定如下：

0,。

其其它它运运算算如如:

我我们们不不规规定定其其意意义义00仍然不确定。

对于来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为|，对于其它复数z,则有|z.例3.下列方程各表示什么曲线？

3）写出直线的复数形式方程.1）2zi+=+=，解：

解：

1）的关键是知道复数模的几何意义，所以：

1）表示圆周.（3）（3）4izizi+-=+-=，2）

（2）复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用.22）化为实方程，为此代入zxiy=+，得33334xixiyyixxyiyi+-+-+=化简，得264xy+=，表示一条直线.33）由,zxiyzxiy=+=-=+=-得z+zz-zx=,y=,22i代入直线方程ax+by+c=0,a-bia+biz+z+c=0.22因而直线的方程为0zzaab+=，其中为实数.b例4解解sincos1iz2cos2sin22sin22i2cos2sin2sin2i2sin2cos2sin2i.2sin22ie（三角式）（指数式）.2argz把复数0,sincos1iz化为三角表示式与指数表示式，并求z的辐角主值.例5.1,1.,）,10（2212221002121kzzkkzkzzzzzzkkzzzz且且半径为半径为其圆心为其圆心为平面上的一个圆周平面上的一个圆周表示表示证明方程证明方程证证,0zz圆周,0代入和将z22211）（kzzkzz2211kzzk,）（21221zzkzzkzz,2zz两边同除以两边同除以,121221zzzzkkzzzz,21zzzzw令令,12wkkw两边同时平方两边同时平方,12222wkkw,22kw于是于是,kw.21kzzzz故故小结小结学习的主要内容有复数的四则运算、共轭运算和模、辐角;复数的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.注意：

为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈作业：

作业：

P251.1.1（b）1.1.31.1.7（d）1.1.111.1.14（a）1.1.17（b）1.1.18（b）1.1.19（a）1.1.23