机械优化设计第四节无约束--DFP变尺度法6.ppt

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2.6、DFP变尺度法：

变尺度法是Davidon由于1959年提出后又经Fletcher和Powell加以发展和完善了后的一种变尺度法，故称DFP变尺度法1、基本思想：

变尺度法是克服了梯度法收敛慢和牛顿法计算量大的缺点而发展起来的，是求解无约束问题最有效的算法，在工程优化设计中得到了广泛的应用。

利用牛顿法的迭代公式，然后并不是直接计算而是用一个对称正定矩阵近似地代替在迭代过程中不断改进。

最后逼近这种方法省去了海色矩阵的计算和求逆，计算量大为减少。

3、迭代计算公式：

令则迭代计算公式为：

若在初始点取（单位矩阵）迭代计算公式为：

相当于梯度法为k次迭代的修正矩阵即两迭代点信息之差,位移矢量差梯度矢量差即两迭代点的目标函数一阶导数信息之差。

4.计算迭代步骤给定初始点迭代精度维数置单位矩阵计算计算搜索方向进行一维搜索求得迭代计算点检验是否满足迭代终止条件：

若满足，则终止迭代，输出最优解否则进行下一步：

检查迭代次数若置则转

（2）若则转（7）计算然后置转（3）程序框图见5、变尺度法的特点迭代第一步为梯度法:

在迭代开始时,一般是（单位矩阵）此时变尺度法的迭代公式就是梯度法的迭代公式当变尺度矩阵逼近时，变尺度法迭代公式逼近牛顿法的迭代公式。

例：

试用变尺度法求解下列无约束优化问题：

的极小点和极小值，取初始点.梯度精度解：

第一次迭代取初始点目标函数梯度函数为：

计算点的梯度值求搜索方向及新的迭代点用一维搜索（优化）方法求解最优步长本题的目标函数简单，可用解析法求但因于是得：

计算点的函数梯度，检验迭代终止条件因此不是极小点，则继续迭代。

第二迭代按DFP公式计算近似矩阵（变尺度法）求搜索方向即新的迭代点沿方向进行一维搜索得:

检验迭代终止条件。

满足精度要求，迭代结束，输出最优解：

总结：

变尺度法的最初的几步迭代与梯度法类似，函数值下降较快而在最后的几步迭代，与牛顿法相近可较快地收敛为极小点。

变尺度法能够克服梯度法收敛慢的缺点，但却保留了梯度法在最初几步函数值下降快的优点。

同时，变尺度法避免了计算海色矩阵及其逆阵。

从而克服了牛顿法计算量大的缺点，变尺度法的收敛速度介于梯度法和牛顿法之间。

说明:

变尺度法所构成的搜索方向已有文献证明：

对于二次函数，DFP为一组关于海色矩阵共轭的矢量。

所以DFP变尺度法属于共轭方向法，具有二次收敛性,在任意情况下，这样方法对于二次目标函数都将在几步内搜索到目标函数的最优点，而是最后的构造矩阵必等于海色矩阵.