河内塔问题讲题稿.doc
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小学数学讲题稿
河内塔问题
浏阳市新文学校周小芬
大家上午好，今天我的讲题内容是河内塔问题。
如图所示：
有编号为1、2、3号的三根杆子，在1号杆上有呈金字塔状排列的三颗珠子，你能借助2号把1号杆上的珠子移到3号杆而不改变珠子的上下顺序吗？
最少移动多少次？
移动规则如下：
（1）每次只能移动一颗珠子；
（2）大珠子不能放到小珠子上面。
如果A杆上有4个珠子呢？
至少移动多少次？
一、题目分析
河内塔问题源于印度的一个神话，本题动手操作性和综合性强，学生不容易根据题目中的已知条件和问题，找到解题方法。
因此我的教学思路是：
1.认真分析题目条件和要求。
2.让学生边操作边思考，并做好记录，逐步总结出规律和方法。
3.一题多解，发散思，拓展延伸。
在学生动手操作之前，先强调操作的要求：
1、不改变上下顺序；2、保证移动次数的最少；3、隐藏的已知条件是：
1、2、3号杆都可以作为珠子的临时中转杆；约束条件是：
中转杆上的珠子必须保持金字塔状。
二、由学生容易进入的误区探究出珠子移动次数最少的规律（题目的已知条件中要求借助2号杆，那么学生很容易理解成只能用2号杆作为中转，所以会在每次移动时先将最上面的那颗最小的珠子移入2号杆，但是，这样移动，能保证是最少的移动次数吗？
）
给学生足够的操作探究的时间，让不同层次的学生尝试用自己的方法去解决这个问题。
全班交流，会出现大致以下情况：
1、每次都先将最小珠移至2号杆，导致部移动次数不都是最少。
2、有学生举棋不定，无从入手。
3、有学生会将珠子在三根杆上来回移动，重复多次。
4、有学生将珠子移入中转杆时，顺序颠倒。
5、有学生会总结出最少移动次数的操作方法。
6、其他。
比较结果，得出最优策略，结果如下：
结果如下
1号杆珠子
颗数
1
2
3
4
最小珠先移入2号杆次数
2次
3次
11次
15次
最小珠先移入3号杆次数
1次
4次
7次
24次
探究出珠子移动次数最少的规律：
1、1号杆珠子为单数，最小珠先移入3号杆中转
2、1号杆珠子为双数，最小珠先移入2号杆中转
三、发现规律，拓展升华
珠子颗数
至少移动次数
移动次数的规律
1
12—12的1次方减1
1
2
34—12的2次方减1
1×2+1=3
3
78—12的3次方减1
3×2+1=7
4
1516—12的4次方减1
7×2+1=15
5
3132—12的5次方减1
15×2+1=31
n
2的n次方减1
是n—1颗珠子的2倍多1
根据所得出的结果找出河内塔问题的最终规律：
利用递推法，根据前一项和后一项珠子移动的最少次数，递推出它的规律是：
后一项珠子移动次数是前一项的2倍多1；根据珠子移动的最少次数，发现它组成了一个规律为2的n次方减1的数列。
（n代表珠子颗数）。
四、拓展延伸
同样，以操作活动为载体，通过归纳推理解决的数学问题有：
打电话、找次品等。
打电话问题是由前后项的联系递推出：
接到通知的学生人数=2的n次方—1；找次品时化繁为简，从3个、5个、9个中找次品，寻找最优解，揭示出把待分的物品平均分成3份是本题的最优策略。
五、解题策略阐述
讲题过程中，我主要采用合情推理的数学思想方法，从移动1颗、2颗、3颗这个特殊的事例发现和总结一般性的结论，建立数学模型。
课程标准明确要求教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力。
同时，我也应用类比的数学思想，从河内塔问题迁移到打电话、数线段等数学活动进行类比，从而揭示了知识之间的内在联系，事物发展的本质属性。
六、反思
1、在解题过程中，我安排学生通过动手操作、合作探究，由简单到复杂，一步一步递推出解决河内塔问题的方法，培养了学生良好的思维习惯，也积累了数学学习的活动经验。
2、本题实质上是一个很经典的数学问题，里面涉及到优胜法，最优解，最值，递推，大数与小数等一系列的数学方法与思想。
在讲解中，由于时间的关系，可能我的解题方法比较单一，今后加以改进！
谢谢！
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