基于Matlab的数字图像水印算法设计设计.docx
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基于Matlab的数字图像水印算法设计设计
基于Matlab的数字图像水印算法设计设计
1、绪论
本章主要介绍信息隐藏技术的背景和研究意义、国内外信息隐藏技术研究现状，并给出全文的结构安排。
1.1信息隐藏技术的背景和研究意义
从二十世纪九十年代开始，网络信息技术在全世界范围内取得了迅猛发展，它极大方便了人们之间的通信和交流。
借助计算机网络所提供的强大的多媒体通信功能，人们可以方便、快速地将数字信息（数字音乐、图像、影视等方面作品）传到世界各地，一份电子邮件可以瞬息间传遍全球[1-7]。
但在同时计算机网络也成为犯罪集团、非法组织和有恶意的个人利用的工具。
从恶意传播计算机病毒，到非法入侵重要部门信息系统，窃取重要机密甚至可使系统瘫痪；从用计算机进行金融犯罪，到利用表面无害的多媒体资料传递隐蔽的有害信息，对计算机信息系统进行恶意攻击的手段可谓是层出不穷。
信息隐藏技术在保密通信、版权保护等领域中都具有相当广泛的应用价值，根据不同应用背景，信息隐藏技术可以分为两个重要分支隐写术（SteganoGraphy）和数字水印[8]（DigitalWatermarking）。
数字水印主要是为了保护知识产权的，通过在原始媒体数据中嵌入信息来证实该媒体的所有权归属问题。
数字水印的主要目的不是限制对媒体访问，而是确保媒体中水印不被篡改或消除。
因此稳健性是数字水印最基本要求之一。
数字水印中的稳健性是指水印图像经过一些常见改变后，水印仍具有较好可检测性。
这些改变包括常见的图像处理手段（如数据压缩、低通滤波、图像增强、一次抽样、二次量化、A/D和D/A转换等等）、几何变换和几何失真、噪声干扰、多重水印（MultipleWatermarking）的重叠等。
对不同应用场合，要求具有不同的稳健性。
但需要指出的是，存在另一种与稳健水印性质相反的水印，被称为易损水印（FragileWatermarks），它们被用来证实原始媒体是否被改动过。
稳健性在整个水印系统设计中具有很重要的分量，这也是将隐写术和数字水印分别对待的原因之一。
隐写术主要考虑的是安全性（即统计特性上无法检测隐密信息的存在性）和嵌入容量，不可见性等。
因此，信息隐藏技术的研究在信息安全领域中具有很重要的地位，它对于军事、情报、国家安全方面的重要意义是不言而喻。
它包括数字隐写与隐写分析两个方面。
一方面要以尽可能隐蔽的方式将信息深藏于浩如烟海的数字多媒体信号之中，毫不引起对方怀疑而达到隐蔽通信的目的；另一方则以各种手段检测可疑信息的存在，搜寻敌对隐蔽通信的信源，隔断隐蔽通信的信道。
设计一种高度安全的隐写方法是一项富于挑战性的课题，而对隐写的准确性判定往往比隐写本身更加困难[12]。
数字隐写与隐写分析的交互发展正是方兴未艾，成为互联网时代信息战技术的一个新的课题。
信息网络上的攻防技术水平将反映的是一个国家的科技水平和防范意识。
1.2本课题国内外研究现状
出于对知识产权的保护和信息安全的需求，自上世纪90年代以来，国内外开始对信息隐藏技术投入了大量关注和研究。
为了方便学术交流，1996年5月，国际第一届信息隐藏学术讨论会（InternationalInformationHidingWorkshop,IHW）在英国的剑桥牛顿研究所召开，对信息隐藏的一部分英文术语和学科分支进行了统一和规范，标志着的是一门新兴的交叉学科——信息隐藏学的正式诞生。
至今，该研讨会已举办到第七届。
自1998年以来，《IEEE图像处理》、《IEEE会报》、《IEEE通信选题》、《IEEE消费电子学》等许多国际重要期刊也组织了信息隐藏的技术专刊或专题新闻报道[9-10]。
由于来自大公司的介入和军方及财政部的支持，该技术研究的发展速度非常迅速。
1998年，美国政府报告中出现了第一份图像数据隐藏的报告。
目前，己支持或开展研究信息隐藏研究的机构既有政府部门，也有大学和知名企业，它们包括美国财政部、美国版权工作组、美国空军研究院、美国陆军研究实验室、德国国家信息技研究中心、日本NTT信息与通信系统研究中心、麻省理工学院、伊利诺斯大学、明尼苏达大学、剑桥大学、瑞士洛桑联邦工学院、西班牙Vigo大学、IBM公司Watson研究心、微软公司剑桥研究院等。
在国内，以数字水印为代表的信息隐藏技术虽然起步是比较晚的，但发展却十分的迅速，己经有相当一批有实力的科研人员和机构投入到这一领域之中。
1999年12月，我国信息安全领域中的何德全、周仲义、蔡吉人与有关应用研究单位联合发起并组织召开了第一届全国信息隐藏学术研讨会（CIHW1999）[13]。
CIHW己成为国内最具代表的信息隐藏学术交流活动，至今已经举行了六届全国会议。
第六届（CIHW2006）于2006年8月上旬在哈尔滨工业大学召开的，聚集国内众多从事多媒体信息安全技术研究的专家和学者，就多媒体信息安全技术和数字版权保护技术等领域的最新研究成果展开了研讨，经42位专家的评审，从近150篇论文中评审出78篇组成出论文集，发表在哈尔滨工业大学学报增刊之上。
此外，全国网络与信息安全技术研讨会（NetSec）、中国可信计算与信息安全学术会议（CTCIS）、全国图像图形学学术会议（NCIG）等各类学术研讨会都涉及到了信息隐藏。
各类研讨会总结、交流了国内外近年来关于信息隐藏的先进技术及重大应用，研讨具有创新意义的研究方法、前沿动态及发展趋势。
目前，使用密码加密仍是网络上主要的信息安全传输的手段，信息隐藏技术在理论研究、技术成熟度和实用性等方面都无法与之相比，但它潜在的价值还是无法估量的，随着研究深入发展，它将在未来的信息安全体系之中发挥重要的作用。
1.3本课题的应用领域
最初提出数字水印的目的是为了来保护版权，然而随着数字水印技术的高速发展，人们发现了它更多更广的应用，有许多是当初人们所没有预料到的事。
数字水印的基本应用领域是来版权保护（CopyrightProtection）、隐藏标识（HiddenAnnotation）、认证（Authentication）和安全不可见通信的（SecureandInvisibleCommunieation）。
当数字水印应用于版权的保护时，潜在的应用市场在电子商务、在线或离线地分发多媒体内容以及大规模的广播服务，潜在的用户则有来自数字产品的创造者和提供者，电子商务和图像软件供应商，数字图像、视频摄录机、数字照相机和DVD的制造者等。
数字照相机和视频摄录机可以将嵌入数字水印这一模块集成在产品中，于是图片和录像上就有了关于创建时的有关信息，如时间、所用设备、所有者信息等等相关信息。
VCD和DVD刻录机，扫描仪、打印机和影印机中也应集成了自动检测数字水印这一模块，而且这一模块是无法绕过，当它们发现数字水印信息是未经过授权的刻录、复制、扫描、打印或影印时，它们将拒绝工作，这样将更有效地保护了数字产品的版权，防止未经过授权的复制和盗用。
数字水印可以用于隐藏标识和标签，可以在医学、制图、多媒体索引和基于内容的检索等领域得到应用。
数字水印在认证中的应用，主要集中在于电子商务和多媒体产品分发至终端用户等领域。
数字水印可以加载在ID卡、信用卡和ATM卡上，数字水印信息中有银行的记录、个人情况以及其他银行文档内容。
数字水印可以被自动地识别，上述数字水印信息就可提供认证服务。
同时，数字水印可以在法庭辩论中作为证据，这方面的应用也将是非常有市场潜力的。
当采用数字水印技术作为稳健隐蔽通道时，数字水印将会在国防和情报部门得到广泛的应用，在这些部门中传统数据隐藏技术或密写术（Steganography）[14]已得到数个世纪的应用，数字水印技术也将会在此领域的应用中占有一席之地。
数字水印技术还处于发展中，上述四方面领域也不可能包含其所有应用领域。
因此，对于迅速发展中的数字水印技术，我们必须对其可能应用新领域有足够的敏感和意识。
1.4本文的主要研究内容、研究方法和结构安排
信息隐藏技术使用的载体包括图像、视频、语音及文本等数字媒体，有数字隐写和隐写分析两个方面的内容，本文以使用最为广泛的数字图像作为研究对象，以基于数字图像的隐写法作为研究的内容。
文章介绍了信息隐藏技术的基本知识以及图像信息隐藏的常用算法，着重讨论数字图像置乱技术和融合技术，在此基础上，提出了一种基于小波变换和置乱融合的图像水印算法，并且运用MATLAB7.0对该方法的性能进行了实验分析，实验结果表明该方法具有一定的抗攻击优越性。
本文内容主要如下：
1、信息隐藏技术简介：
信息隐藏技术的背景、研究的意义，国内外的研究现状，信息隐藏技术的基本原理，信息隐藏技术的术语及模型，信息隐藏系统的基本属性，信息隐藏技术的分支和其应用。
2、图像信息隐藏技术介绍：
主要介绍信息隐藏技术的基本原理，基本属性，以及其应用。
3、图像信息隐藏技术：
简单的列举出空域和变换域两种算法，重点介绍变换域的几种算法，通过比对最终选取小波域变换作为图像信息处理算法。
4、数字图像的置乱技术：
介绍了图像置乱技术的周期性和几种图像置乱方法，并着重讨论了Arnold变换及其应用。
5、小波域数字图像水印算法：
详细介绍了水印算法嵌入和提取的过程。
6、实验分析及抗攻击实验：
实验通过对峰值信噪比进行比对来确定水印好坏，信噪比越大水印性能越好。
攻击性实验是为了测试水印的抗干扰能力，主要通过JEPG压缩实验和噪声干扰实验来测试。
2、信息隐藏技术概述
信息隐藏技术作为一个新兴起的研究领域，横跨数字信号处理技术、图像处理技术、语音处理技术、模式识别技术、数字通信技术、多媒体技术、密码学[16]等多个学科。
它把一个有作用的信息（如含有版权信息的图像）通过某种嵌入算法隐藏到载体信息之中，从而得到加密载体，非法者无法知道这个载体信息中是否隐藏了其它的信息，而且即使知道了，也难以提取或者去除隐藏的信息。
加密载体通过信道到达接收方后，接收方通过检测器利用密钥从其中恢复或检测出隐藏的秘密信息。
2.1信息隐藏技术的基本原理
2.1.1信息隐藏技术的依据
信息隐藏技术一般使用文字、图像、声音及视频等作为载体，信息之所以能隐藏在多媒体数据中，主要是利用多媒体信息的时间或空间的冗余性和人对信息变化的掩蔽效应。
1、多媒体信息本身存在着很大的冗余性，从信息论角度看，未压缩的多媒体信息编码效率是很低下的，所以将某些信息嵌入到多媒体的信息中进行秘密传送是完全可行的，并不会影响多媒体信息本身的传送以及使用。
2、人的视觉或听觉感官系统对某些信息都具有一定的掩蔽的效应。
在亮度有变化的边缘之上，该边界“掩蔽”了边缘的邻近像素的信号感觉，使人的感觉变得不灵敏、不准确，这就是视觉的掩蔽效应。
通常人眼对灰度分辨率只有几十个灰度级，对边缘附近的信息的不敏感。
利用这些特点，可以很好地将信息隐藏而不被觉察到。
2.1.2信息隐藏与信息加密原理比较
信息隐藏与信息加密技术都是把对信息的保护转化成对密钥的保护，因此信息隐藏技术沿用了传统加密技术的一些基本思想以及概念，但两者采用的保护信息的手段是不同的。
信息加密是把有意义的信息加密为随机的乱码[16]放出，如图2.1所示，窃听者知道截获的密文中可能包含重要信息，但无法破译。
信息隐藏则是将一个有意义的信息隐藏到另一个称为载体的普通的信息中而得到的隐密载体，然后通过普通的信息的传输来传递秘密的信息。
如图2.2所示。
非法者不知道这个普通信息中是否含有了其他的信息，而且即使知道，也难以提取隐藏其中的信息。
2.2信息隐藏系统的基本属性
一般情况下，数字水印系统比较关键的性能指标[17]如下所示：
1、鲁棒性（Robustness）
鲁棒性是指含水印作品历经有意或者无意的常规信号处理却仍然保留水印信息的完整性和可检测性的能力。
对于数字图像的水印而言，常规的信号处理操作包括空域滤波、几何变形、有损压缩等。
鲁棒性是面向版权保护数字水印的一项基本要求，但并非所有的数字水印都必须有对信号处理操作的鲁棒性。
在某些数字水印的应用中，水印的鲁棒性毫无用处甚至还极力避免。
脆弱水印就是一个非常好的例子。
例如用于内容的认证的数字水印就是脆弱水印，脆弱水印具有鲁棒性完全相反的脆弱特性。
含水印图像对任何信号处理操作都应该是比较敏感的，但是面向版权保护的数字水印必须有很强的鲁棒性。
遗憾地是，目前还没有一个数字水印的方案能够真正经得住攻击者任意攻击，也就是说还没有一个数字水印的方案对任何形式的攻击都必须具有鲁棒性。
2、不可感知性（Imperceptibility）
不可感知性是水印嵌入不应该引起载体产生人类主观可感知的降质。
因此它又被称之为隐蔽性、透明性或不可见性。
对于数字图像的水印而言，嵌入的水印不应引起载体图像的明显降质，而且不能被人类视觉系统所察觉的。
3、水印容量（Capacity）
水印容量是指在一幅载体的作品中能够嵌入水印信息的最大比特数值。
在一般情况下，水印容量与鲁棒性、不可感知性之间是相互竞争和制约的关系。
水印容量越大，有助于提高水印鲁棒性，但势必会对不可感知性带来负面的影响；嵌入的水印越少，对载体的产品干扰就越小，但又不利于增强水印的鲁棒性。
因此，一个好的数字水印系统应合理地折中三者之间的矛盾。
4、安全性（Security）
鲁棒性针对的是常规信号处理操作，而安全性针对的是主动攻击者对含水印作品实施的恶意的破坏和攻击。
需要注意的是，并不是所有的数字水印系统都应具有安全性，不同的应用场合对安全性的要求也不尽相同。
在某些实际应用中，攻击者破坏或篡改水印将得不到任何好处，在这种情况下，几乎可以不用考虑水印的安全性。
图2.3鲁棒水印的性能指标之间的合理折中
数字水印系统的关键性能指标之间往往是相互制约、相互竞争的。
在实际应用中，不可能使它们同时达到最佳状态，而只能根据实际应用的需要在不同性能指标之间取得合理的折中（见图2.3）。
2.3信息隐藏技术的应用
信息隐藏的技术在政府、军事情报部门、银行系统、商业系统等诸多领域发挥着重要的作用，广泛用于通信保密、数字作品的版权保护、商务活动中的票据防伪、验证资料的完整性等领域。
抗否认机制[18]一般用在电子商务之中，这是保证一些个体或单位不能否认自己曾经做过的一些行为。
在电子商务之中，交易双方的任何方都不得抵赖自己曾经做出的行为，也不能否认曾经接受到对方信息，这是一个网络电子交易的重要环节。
目前的电子商务中，一般是用数字签名和身份认证来保证。
这时我们可采用信息隐藏的技术，在交易双方任何一方发送或者接收信息时，必须把自己的数字签名和身份信息、以二进制的方式嵌入到要传递的信息中。
接收方在收到后对它的签名进行接收认证。
一般来说，在嵌入这类信息时，同时要加上时间戳这一标志作为另外一层防护。
3、图像信息隐藏技术
目前信息隐藏的研究之中使用的载体信息有以下几种：
文本、图像、语音信号、视频信号和应用软件等等。
由于数字图像大量的存在，因而被研究最多的是图像中的信息隐藏技术，而且，图像信息的隐藏所研究的方法往往需要经过改进才可以轻易地移植到其他的载体中。
数字水印和信息隐藏已成为图像处理技术中的一个非常重要研究热点。
3.1空域隐藏算法
空域隐藏技术是指将秘密的信息嵌入到数字图像的空间域之中，即对像素灰度值进行修改以达到隐藏秘密信息的目的。
3.1.1LSB替换算法
最低有效位（LeastSignificantBits，LSB）[18]方法是最早提出来的最基础的空域图像信息隐藏方法，其它的许多空域算法都是从它的基本原理进行改进扩展得到的，使得LSB方法成为使用最广泛的隐藏技术之一。
现在有一些简单信息隐藏软件大多是运用LSB和调色板调整等相关技术将信息隐藏在24bit图像或256色图像之中，如HideandSeek，Stego-Dos，WhiteNoiseStorm，S-tools等经典信息隐藏软件。
1、隐藏原理
LSB方法是通过调整载体图像像素值的最低若干有效位来实现数据的嵌入方法，使所隐藏信息在视觉上很难被他人发觉，而且只有知道了秘密信息嵌入的位置才能正确提取出秘密的信息。
显然，LSB隐藏算法最低位被改变的概率大概是50%，它在原始图像里面引入了极小噪声，在视觉上是不可见的。
实际上，对于24bit真彩色的图像，我们在其最低的两位甚至三位来隐藏信息在视觉上仍然是不可见的，对于灰度图像，改变其最低的两位也能取得较好的效果。
另外，在LSB方法之中，也可不采用直接嵌入的方法，根据异或的可逆准则性，采用替换的准则来实现信息的隐藏效果。
异或的简单原理如下：
。
因此在嵌入数据位之时，嵌入的是数据位与1或0的异或值。
基于异或的运算也有许多可改进的算法，在嵌入的过程之中，首先计算出每个像素灰度值的每一位的异或值，并把所得到结果与要嵌入的信息进行异或运算，然后把像素灰度值的最低位全部清零或置为1，再根据异或运算结果的值来改变最低位信息，实际上，这相当于对信息进行了一层加密的处理，嵌入的不再是原始信息了，而是原始信息的另外一种表达形式，不知道密钥的攻击者很难从中提取出有用信息。
2、鲁棒性分析
LSB算法具有相当弱的鲁棒性。
对于许多变换，即使是有益的，也是很脆弱的。
有损压缩典型如JPEG压缩，就有可能彻底破坏隐藏的信息。
因为LSB算法试图利用人类的视觉系统上的漏洞，而有损压缩算法所依赖的是对附加噪声的不敏感性，正是利用它来减少数据量的。
几何变换的移动像素尤其是改变像素在原栅格中的位置都有可能破坏嵌入的信息。
任何其它的图像的变换如模糊、滤波等，通常都也会破坏隐藏的数据。
3、隐蔽效果
图3.1为512×512的Lena的灰度图，图3.2为LSB直接替换的最低有效位后的Lenna图，我们看不出两个图片之间的区别，隐蔽性比较好。
图3.1原来的Lenna灰度图图3.2Lenna的隐秘灰度图
3.1.2基于统计的信息隐藏
基于统计的信息隐藏技术是空域算法的重要分支，它对图像的一些特征进行统计进而表示要隐藏的信息。
根据人的视觉特性，一些纹理区域的灰度值的改变对人的视觉系统不是太敏感，轻微的改变某些像素的灰度值，人的眼睛是觉察不到改变的，而对于平坦区域的噪声，人的视觉系统是很敏感的。
因此，在图像变化较平稳的区域要尽量少隐藏或不隐藏信息，应当在变化较复杂的地方多隐藏信息。
3.2变换域隐藏算法
3.2.1变换域算法原理
变换域隐藏技术就是指将秘密的信息嵌入数字图像的某一变换域之中。
比较常用的方法是离散傅立叶变换（DFT）、离散余弦变换（DCT）和离散小波变换（DWT）[20]等，它们主要都是通过修改载体图像某些指定的频域系数来嵌入数据的。
其基本思想是利用扩频通信的原理来提高隐藏系统的鲁棒性的。
考虑到对低频区域的系数的改动可能会影响到载体图像的感知效果，而高频系数又容易被破坏，因此，信息隐藏技术一般选取载体的图像中频区域上的系数来嵌入秘密的数据，从而使之既能满足不可感知性，又能满足对诸如失真压缩等操作的鲁棒性。
3.2.2变换域算法的优点
由于变换域的信息隐藏技术是在频域嵌入信息，所以它有频域所固有的抗攻击和变换的能力，使这一个隐藏方案对比例变化、JPEG压缩、抖动、剪辑、打印/扫描以及合谋攻击都能具有很好的鲁棒性。
它的优点体现在以下几点：
1、在变换域之中嵌入的信号能量可以分布到空间域的所有像素之上，有利于来保证秘密信息的不可见性；
2、在变换域中，人类视觉系统的某些特性（如频率掩蔽效应）可以更方便的结合到秘密的信息编码过程之中，从而提高算法的鲁棒性；
3、变换域方法与大多数国际数据压缩标准都兼容，从而可直接实现压缩域内的隐藏算法，提高效率，同时也能抵抗相应的有损压缩。
3.2.3基于离散傅里叶变换的图像信息隐藏算法
傅里叶（Fourier）变换是一种经典又有效的数学工具，在信号处理中有着广泛的研究，在信息隐藏的领域也同样得到了广泛应用。
它将图像可分割成多个感觉频段，然后选择合适部分来嵌入秘密的信息。
提出基于原始图象的傅立叶变换，将调制后的秘密信息依次加入到某些固定位置的幅值谱之上，利用傅里叶变换的可加性和图象去噪的原理提出了一种基于频域的三维运动盲水印算法。
傅里叶变换具有一些变换无关的完整的特性。
例如：
空间域的平移只会引起频域上的相移，而幅度不变；空间域尺度的缩放可能会引起频域尺度反向的缩放；空间域旋转的角度和所引起的频域的旋转的角度都是一致的。
这些特点可以抵御诸如旋转、尺度、平移等几何攻击的。
3.2.4基于离散余弦变换的图像信息隐藏算法
早在上世纪末，Cox等人较早地提出基于DCT域信息隐藏方法。
基于DCT域的图像信息隐藏算法的一般步骤可为，首先对载体图像分块进行二维DCT的变换，然后用秘密的信息对DCT系数进行调制，最后对新的系数作离散余弦的反变换（IDCT），即可得到隐藏的图像，完成信息隐藏的过程。
基于DCT的信息隐藏算法因其具有比较强的鲁棒性，计算量比较小，且与国际的图像压缩标准（JPEG，MPEG，H.263，H.264等）都相兼容（这些标准中均采用DCT变换），因而具有很多的潜在优势，成为近年来研究最多的一种信息隐藏技术之一，有大量的基于DCT变换域的信息隐藏算法为之涌现，结合DCT和DWT，提出将一幅秘密图像的DCT系数置乱后嵌入到公开图像的DWT系数中而进行秘密信息的隐藏。
3.2.5基于离散小波变换的图像信息隐藏算法
小波分析（WaveletAnalysis）[26]是1986年由Y.Meyer,S.Mattat和L.Daubechies等人奠基工作而发展起来的一门新兴的学科，并迅速应用到图像和语音分析等众多领域的之中数学工具，是继100多年前建立傅立叶（JosephFourier）分析之后的又一个重大突破。
经过近二十多年的努力，由多尺度分析、时频分析、金字塔算法等发展起来的小波理论的基础已经基本建立并成为应用数学的一个新的领域，引起了众多数学家和工程技术人员的极大的关注，成为国际上科技学术界的高度关注的前沿领域。
图像分析和处理领域的专家认为小波分析是数字图像的处理的空间－尺度分析（Space-ScaleAnalysis）和多分辨分析（MultireSolutionAnalysis）的有效工具之一。
当前最新的图像压缩标准JPEG2000和视频的MPEG7压缩标准都采用了小波变换。
3.3基于离散小波变换的图像信息隐藏算法
3.3.1连续小波变换
小波变换的基本原理：
小波变换（WaveletTransform）发展了短时傅里叶变换的局部化的思想，它通过定义平移因子和伸缩因子，使变换窗口随频率高低的变化而变化，即小波变换会对不同的频率分量在时域上的采样步长是可以调节的，高频时变小，可以精确的确定其离频细节，低频时变大，可以充分的利用信号的低频特性。
小波是一种窗口大小不变而形状可变，即时间窗和频率窗[21]都是可改变的时频局部化分析的方法。
小波变换在高频部分具有较高的时间分辨率以及较低的频率分辨率，在低频部分具有较低的时间分辨率以及较高的频率分辨率，因此小波分析被誉为数学界的显微镜。
正是由于这种特性，使它具有对信号的自适应性，因而越来越广泛地被应用于各大领域。
又由于小波分析具有局部分析以及细化的功能，所以小波分析可以提示其他信号的分析方法所丢失的数据信息，如断点、高阶导数不连续性、趋势和自相似性等等。
而且与传统的信号分析技术相比较，小波分析还能在没有明显损失的情况下，对信号进行消噪和压缩处理。
从信号的分析来看，要求有这样一种基函数在不同要求情况下有不同的波形，例如为了孤立信号的不连续性时，希望基函数非常短；但在求细节分析时又需要求基函数非常长。
满足这种要求的基函数被称为子波基函数
，它是在母子波或子波母的基础上而进行平移和伸缩的，从而得到式（3-1）
（3-1）
式中b为平移因子，a为伸缩因子，L2（R）为可测的平方可积空间．对于较大的a，子波母函数可变为伸张型的宽型子波的低频函数，当
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