北师大版八年级数学下册第六章平行四边形易错题专题突破训练1附答案.docx

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北师大版八年级数学下册第六章平行四边形易错题专题突破训练1附答案

2021年北师大版八年级数学下册第六章平行四边形易错题专题突破训练1（附答案）

1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（　　）

A．30B．25C．22.5D．20

2．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：

S四边形ANME等于（　　）

A．1：

5B．1：

4C．2：

5D．2：

7

3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）

A．10°B．15°C．30°D．40°

4．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　）

A．360°B．540°

C．180°或360°D．540°或360°或180°

5．如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE，CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）

①△CDF≌△EBC；②∠ADC＝∠EAF；③CG⊥AE④△ECF是等边三角形．

A．只有①②B．只有①④C．只有①②③D．①②③④

6．▱ABCD按如图方式分割成9个小平行四边形，若知道其中n个小平行四边形的周长就能求出▱ABCD的周长，那么n的最小值是（　　）

A．2B．3C．4D．5

7．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中

（1）AB＝CD，

（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（　　）

A．3种B．4种C．5种D．6种

8．点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个条件，不能使四边形ABCD是平行四边形的组合是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．③④

9．已知：

如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：

①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．下列说法中正确的是（　　）

A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等

C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴

11．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为　　．

12．在一个n边形内加1个点（点不在边上），可以把这个n边形分成　　个三角形？

加2个点，最多可以把这个n边形分成　　个三角形？

如果加m个点，最多可以把这个n边形分成　　个三角形？

13．某数学学习小组发现：

通过连多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有3条，那么该多边形的内角和是　　度．

14．如图，设∠CGE＝α，用含α的代数式表示∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　　．

15．正六边形的内角和等于　　°，每个内角等于　　°，共有　　条对角线．

16．如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果AB＝4，OE＝3，则平行四边形ABCD的周长为　　．

17．如图，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE，CF分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交AD于点E、F，则线段EF的长为　　．

18．在▱ABCD中，对角线相交于点O，给出下列条件：

①AB＝CD，AD＝BC，②AD＝AB，AD∥BC，③AB∥CD，AD∥BC，④AO＝CO，BO＝DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有　　．

19．平面内任意一个凸四边形ABCD，现有以下六个关系式：

（1）AB∥CD；

（2）AD∥BC；（3）AD＝BC；（4）AB＝CD；（5）∠A＝∠C；（6）∠B＝∠D．从中任取两个作为条件，能够得出这个凸四边形ABCD是平行四边形的概率是　　．

20．已知：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．

求证：

（1）∠AHF＝∠BGF；

（2）若AD和BC所在直线互相垂直，求

的值．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．

（1）求证：

FG＝FH；

（2）若∠A＝90°，求证：

FG⊥FH；

（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．

22．

（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：

FG＝

（AB+BC+AC）．[提示：

分别延长AF、AG与直线BC相交]

（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，且∠1与∠2互余，∠A与∠C有怎样的数量关系？

为什么？

24．已知：

在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？

（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：

BE∥DF．

25．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，判断四边形ABFC的形状，并说明理由．

26．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．

①求证：

AB＝DE；

②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．

27．如图，已知△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，点E、C、F不在同一直线上．你能说明四边形CFDE是平行四边形吗？

28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：

AD＝BE．

29．如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）证明：

四边形AECF是平行四边形．

参考答案

1．解：

∵D、E分别是AB、AC边上的中点，

∴DE∥BC，DE＝

BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴

＝（

）2＝

，

∴S△ADE：

S四边形BCED＝1：

3，

即S△ADE：

15＝1：

3，

∴S△ADE＝5，

∴S△ABC＝5+15＝20．

故选：

D．

2．解：

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE＝

BC，

若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，

∴S△ADE＝

，

连接AM，根据题意，得S△ADM＝

S△ADE＝

S△ABC＝

，

∵DE∥BC，DM＝

BC，

∴DN＝

BN，

∴DN＝

BD＝

AD．

∴S△DNM＝

S△ADM＝

，

∴S四边形ANME＝

＝

，

∴S△DMN：

S四边形ANME＝

：

＝1：

5．

故选：

A．

3．解：

如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，

∴∠DAB+∠ABC＝150°．

又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，

∴∠PAB+∠ABP＝

∠DAB+∠ABC+

（180°﹣∠ABC）＝90°+

（∠DAB+∠ABC）＝165°，

∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．

故选：

B．

4．解：

n边形的内角和是（n﹣2）•180°，

边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，

所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，

所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，

因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．

故选：

D．

5．解：

∵ABCD为平行四边形，△ABE、△ADF是等边三角形，

∴AB＝CD＝AE＝BE，AD＝BC＝AF＝DF，

∵∠ADC＝∠ABC，∠ADF＝∠ABE＝60°，

∴∠FDC＝∠CBE，

∴△CDF≌△EBC（SAS），

∴①正确；

②∵∠FAE＝∠FAD+∠DAB+∠BAE＝60°+180°﹣∠ADC+60°＝300°﹣∠ADC，

∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠ADC，

∴∠FAE＝∠FDC，

∵∠ADC≠∠FDC，

∴②不正确；

③无特殊角度条件，无法证③，

∴③不正确；

④同理，∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，

∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，

∴△EAF≌△EBC（SAS），

∴∠AEF＝∠BEC，

∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，

∴∠FEC＝60°，

∵CF＝CE，

∴△ECF等边三角形，

∴④正确．

∴一定正确的是①④．

故选：

B．

6．解：

如图，设平行四边形①的周长为a，平行四边形②的周长为b，平行四边形③的周长为c．

由题意易知大平行四边形的周长＝a+b+c，

∴知道九个小平行四边形中小平行四边形①②③的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，

∴n的最小值为3．

故选：

B．

7．解：

任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有

（1）

（2）；（3）（4）；

（1）（3）；

（2）（4）共四种．

故选：

B．

8．解：

A、∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；

B、②③不能判断四边形ABCD是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项正确；

C、∵AB∥CD，BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；

D、∵BC＝AD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；

故选：

B．

9．解：

根据四边形ABCD是等腰梯形，可得出的条件有：

AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通过全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．

①要证BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此结论成立；

②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此结论成立．

③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位线，那么D就是AF的中点，因此此结论也成立．

④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此结论也成立．

故选：

D．

10．解：

A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；

B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；

C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；

D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；

故选：

C．

11．△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的

，所以：

第2个三角形对应周长为

；

第3个三角形对应的周长为

；

第4个三角形对应的周长为

；

以此类推，第N个三角形对应的周长为

；

所以第10个三角形对应的周长为

．

故答案为：

．

12．解；一个n边形内加1个点（点不在边上），可以把这个n边形分成n个三角形；

加2个点，最多可以把这个n边形分成2n个三角形；

如果加m个点，最多可以把这个n边形分成mn个三角形．

故答案为：

n，2n，mn．

13．解：

∵多边形的一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条，

∴n﹣3＝3，

∴n＝6，

∴内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，

故答案是：

720．

14．解：

如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，

∵∠3＝180°﹣∠CGE＝180°﹣α，

∴∠1+∠F+180°﹣α＝180°，

∴∠A+∠B+∠F＝α，

同理：

∠2+∠C+180°﹣α＝180°，

∴∠D+∠E+∠C＝α，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α．

故答案为：

2α．

15．解：

正六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，

每个内角度数＝720°÷6＝120°，

对角线的条数为

×6×（6﹣3）＝9，

故答案为：

720，120，9．

16．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，OA＝OC，

又∵点E是CD边中点

∴AD＝2OE，即AD＝6，

∴▱ABCD的周长为（6+4）×2＝20．

故答案为：

20．

17．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE＝3cm，

同理可得：

DF＝DC＝3cm，

∴EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1（cm）．

故答案为：

1cm．

18．解：

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴①正确；

根据AD＝AB，AD∥BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，∴②错误；

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴③正确；

∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴④正确；

即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①③④，

故答案为：

①③④．

19．解：

根据题意可得：

从所给的六个关系式中任取两个作为条件，共15种取法；

其中①AB∥CD，AD∥BC；②AD＝BC，AB＝CD；③∠A＝∠C，∠B＝∠D；

④AB∥CD，AB＝CD；⑤AD∥BC，AD＝BC；

⑥AB∥CD，∠A＝∠C；⑦AB∥CD，∠B＝∠D；⑧AD∥BC，∠A＝∠C；⑨AD∥BC，∠B＝∠D，

共9种能得出这个四边形ABCD是平行四边形，

故其概率为

＝

．

故答案为：

．

20．解：

（1）如图所示，连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，

∵E、F分别是DC、AB边的中点，

∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，

∴PF＝

AD，PF∥AD，EP＝

BC，EP∥BC，

∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，

又∵AD＝BC，

∴PE＝PF，

∴∠PEF＝∠PFE，

∴∠AHF＝∠BGF；

（2）若AD和BC所在直线互相垂直，则PF与PE互相垂直，

∴∠EPF＝90°，

又∵PE＝PF，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴

＝

，

又∵AD＝2PF，

∴

，即

＝

．

21．

（1）证明：

∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点

∴BD＝EC

∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点

∴FG∥BD，GF＝

FH∥EC，FH＝

∴FG＝FH；

（2）证明：

由

（1）FG∥BD

又∵∠A＝90°

∴FG⊥AC

∵FH∥EC

∴FG⊥FH；

（3）解：

延长FG交AC于点K，

∵FG∥BD，∠A＝80°

∴∠FKC＝∠A＝80°

∵FH∥EC

∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°

22．解：

（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，

∴∠BAF＝∠BMF，

在△ABF和△MBF中，

，

∴△ABF≌△MBF（ASA），

∴MB＝AB，

∴AF＝MF，

同理：

CN＝AC，AG＝NG，

∴FG是△AMN的中位线，

∴FG＝

MN，

＝

（MB+BC+CN），

＝

（AB+BC+AC）．

（2）猜想：

FG＝

（AB+AC﹣BC），

证明：

如图2，延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，

∵由

（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，

∴NB＝AB，AF＝NF，

同理CM＝AC，AG＝MG，

∴FG＝

MN，

∴MN＝2FG，

∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，

∴FG＝

（AB+AC﹣BC）．

23．解：

∠A+∠C＝180°，理由如下：

∵∠1与∠2互余，

∴∠1+∠2＝90°，

∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，

∴∠ABC＝2∠2，∠ADC＝2∠1，

∴∠ABC+∠ADC＝2（∠1+∠2）＝2×90°＝180°，

∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，

∴∠A+∠C＝180°．

24．

（1）解：

∵∠A＝∠C＝90°，

∴∠B+∠D+∠A+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°，

∴∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°；

即∠B与∠D的和为180度；

（2）证明：

∵∠A＝∠C＝90°，

∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE+∠EDF＝90°，

∵∠ABE+∠AEB＝90°，

∴∠AEB＝∠ADF，

∴BE∥DF．

25．解：

四边形ABFC是矩形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，

∵E为BC的中点，

∴EB＝EC，

在△ABE和△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB＝CF．

∵AB∥CF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AD＝BC，AD＝AF，

∴BC＝AF，

∴四边形ABFC是矩形．

26．解：

①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，

∵AF＝DF，

∴△ABF≌△DEF，

∴AB＝DE；

②∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵AD∥BC，

∴∠CBF＝∠AFB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AF＝AB＝3，

∴AD＝2AF＝6

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，

∵△ABF≌△DEF，

∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，

∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，

∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．

27．证明：

∵△ABD、△ACE都是等边三角形，

∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴△BAC≌△DAE（SAS），

∴DE＝BC，

又∵等边三角形BCF中，CF＝BC，

∴DE＝CF，

同理可得，DF＝EC，

∴四边形DECF是平行四边形．

28．证明：

∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠C．

∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠DEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD＝BE．

29．解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，AB∥CD．

∴∠E＝∠F．

∵在△AOE与△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS）；

（2）如图，连接EC、AF，

由

（1）可知△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∵AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形