整式中的因式分解试题含答案2.docx
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整式中的因式分解试题含答案2
因式分解
1．运用公式法
即为因式分解中常用的公式，
（1）a2－b2=（a+b）（a－b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）；
（4）a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2）．
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3－3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）；
（7）an－bn=（a－b）（an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1）其中n为正整数；
（8）an－bn=（a+b）（an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1），其中n为偶数；
（9）an+bn=（a+b）（an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1），其中n为奇数．
例1分解因式：
（1）－2x5n+1yn+4x3n+1yn+2－2xn+1yn+4；
（2）x3－8y3－z3－6xyz；
（3）a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；
（4）a7－a5b2+a2b5－b7．
例2分解因式：
a3+b3+c3－3abc．
解原式=（a+b）3－3ab（a+b）+c3－3abc
=［（a+b）3+c3］－3ab（a+b+c）
=（a+b+c）［（a+b）2－c（a+b）+c2]－3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）．
说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：
我们将公式（6）变形为 a3+b3+c3－3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3－3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3分解因式：
x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析这个多项式的特点是：
有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an－bn来分解．
解因为
x16－1=（x－1）（x15+x14+x13+…x2+x+1），
所以
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4分解因式：
x3－9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1将常数项8拆成－1+9．
原式=x3－9x－1+9
=（x3－1）－9x+9
=（x－1）（x2+x+1）－9（x－1）
=（x－1）（x2+x－8）．
解法2将一次项－9x拆成－x－8x．
原式=x3－x－8x+8
=（x3－x）+（－8x+8）
=x（x+1）（x－1）－8（x－1）
=（x－1）（x2+x－8）．
解法3将三次项x3拆成9x3－8x3．
原式=9x3－8x3－9x+8
=（9x3－9x）+（－8x3+8）
=9x（x+1）（x－1）－8（x－1）（x2+x+1）
=（x－1）（x2+x－8）．
解法4添加两项－x2+x2．
原式=x3－9x+8
=x3－x2+x2－9x+8
=x2（x－1）+（x－8）（x－1）
=（x－1）（x2+x－8）．
例5分解因式：
（1）x9+x6+x3－3；
（2）（m2－1）（n2－1）+4mn；
（3）（x+1）4+（x2－1）2+（x－1）4；
（4）a3b－ab3+a2+b2+1．
课内练习
1.若a+b=3,a2b+ab2=－30,则a3+b3的值是（）
（A）117（B）133（C）－90（D）143
2.已知
，那么
等于_____________
3.把代数式
分解成因式的乘积，应当是。
4.
5．分解因式
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例1分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）－12．
例2分解因式：
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）－90．
例3分解因式：
（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．
解设x2+4x+8=y，则
原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）
=（x2+6x+8）（x2+5x+8）
=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．
说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
例4分解因式：
6x4+7x3－36x2－7x+6．
解法1原式=6（x4+1）＋7x（x2－1）－36x2
=6［（x4－2x2+1）+2x2］+7x（x2－1）－36x2
=6[（x2－1）2+2x2]+7x（x2－1）－36x2
=6（x2－1）2+7x（x2－1）－24x2
=[2（x2－1）－3x］［3（x2－1）+8x]
=（2x2－3x－2）（3x2+8x－3）
=（2x+1）（x－2）（3x－1）（x+3）．
说明本解法实际上是将x2－1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．
解法2
原式=x2[6（t2+2）+7t－36]
=x2（6t2+7t－24）=x2（2t－3）（3t+8）
=x2[2（x－1/x）－3][3（x－1/x）+8]
=（2x2－3x－2）（3x2+8x－3）
=（2x+1）（x－2）（3x－1）（x+3）．
例5分解因式：
（x2+xy+y2）－4xy（x2+y2）．
分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解原式=[（x+y）2－xy]2－4xy[（x+y）2－2xy]．令x+y=u，xy=v，则
原式=（u2－v）2－4v（u2－2v）
=u4－6u2v+9v2
=（u2－3v）2
=（x2+2xy+y2－3xy）2
=（x2－xy+y2）2．
4．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2－7xy－22y2－5x+35y－3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2－（5+7y）x－（22y2－35y+3），
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即
－22y2+35y－3=（2y－3）（－11y+1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=［x+（2y－3）］［2x+（－11y+1）］
=（x+2y－3）（2x－11y+1）．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
（x+2y）（2x－11y）=2x2－7xy－22y2；
（x－3）（2x+1）=2x2－5x－3；
（2y－3）（－11y+1）=－22y2+35y－3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例6分解因式：
（1）x2－3xy－10y2+x+9y－2；
（2）x2－y2+5x+3y+4；
（3）xy+y2+x－y－2；
（4）6x2－7xy－3y2－xz+7yz－2z2．
解
（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=（y+1）（x+y－2）．
（4）
原式=（2x－3y+z）（3x+y－2z）．
说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．
1.当m=
时，二元二次六项式
可以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积。
2.分解因式：
3.分解因式：
4.分解因式：
5．求根法我们把形如anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如
f（x）=x2－3x+2，g（x）=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）
f
（1）=12－3×1+2=0；
f（－2）=（－2）2－3×（－2）+2=12．
若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．
例1分解因式：
x3－4x2+6x－4．
例2分解因式：
9x4－3x3+7x2－3x－2．
6．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例3分解因式：
x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
例4分解因式：
x4－2x3－27x2－44x+7．
练习
（1）
一、选择题
1.下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）。
（A）（x+1）（x－1）=x2－1（B）（a－b）（m－n）=（b－a）（n－m）
（C）ab－a－b+1=（a－1）（b－1）（D）m2－2m－3=m（m－2－
）
2.x=0,y=－4,是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有（）组。
（A）2（B）6（C）12（D）16
3.当x=6，y=8时，
的值是（）
（A）1200000－254000（B）1020000－250400
（C）1200000－250400（D）1020000－254000
4.把多项式x2－y2－2x－4y－3因此分解之和，正确的结果是（）。
（A）（x+y+3）（x－y－1）（B）（x+y－1）（x－y+3）（C）（x+y－3）（x－y+1）（D）（x+y+1）（x－y－3）
5.已知a3+a2+a+1=0,那么a2008+2a2000+5a1996的值是（ ）。
（A）8 （B）4 （C）6 （D）16
6.将多项式
分解成因式的积，结果是（）。
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题
1.已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是______。
2.已知3x2+4x－7=0,则6x4+11x3－7x2－3x－7=______。
3.分解因式：
x3+2x2y+2xy2+y3=__________。
4.已知
，那么
。
5.多项式18a3－8ab2+27a2c－12b2c分解因式积的形式是__________。
6.分解因式：
的结果是。
7.分解因式：
（a+b－2x）3－（a－x）3－（b－x）3的结果等于_______
三、解答题
1.分解因式：
x2y2+xy－x2－y2+x+y+2
2.分解因式
3.计算
练习
（2）
一、选择题
1.已知多项式x2+mx－12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数m的个数是（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
2.在方程组
中，x、y、z是互不相等的整数，那么此方
程组的解的组数为（）。
（A）6（B）3（C）多于6（D）少于3
3.如果x、y都是小于１００的自然数，则满足x2－1992=y2的数组（x,y）共有（ ）组。
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
4.下列给出5个恒等变形式：
①
②
③
④
⑤
其中属于因式分解的（）。
（A）都是（B）仅②、③、⑤
（C）仅③、④、⑤（D）仅③、④
二、填空题
1..因式分解：
______________.
2.分解因式：
=______。
3.因式分解：
（a+b－2ab）（a+b－2）+（1－ab）2=___________
4.已知
，那么
______________
5.因式分解：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
6.若x,y均是自然数，且x2=y2+1997,则x=_________
7.将
分解因式，其结果是____________
三、解答题
1.因式分解
2.分解因式：
练习（3）
一、选择题
1.如果（x－4）（x－a）－1能够等于乘积（x+m）（x+n）（m,n均为整数），那么a的值等于（）。
（A）2（B）4（C）6（D）8
2.若x,y均为自然数，且x2=y2+1993.则x的值是（）
（A）994（B）995（C）996（D）997
二、填空题
3.已知（x+2y－1）是二元二次式3x2+axy+by2+x+9y－4的一个因式，则a=______,b=_______。
4.若
，则
。
5.分解因式：
2x2－5xy－3y2+3x+5y－2=__________________
6.因式分解：
x4+2x2－x+2__________。
7.已知x2+2x+5是x4+ax2+b的因式，那么a+b的值是_________。
8.若（x－a）（x－b）－k中含有因式x+b,则k=____________
三、解答题
1.分解因式
2.分解因式
3.因式分解
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