贝叶斯统计老师划的课后习题.doc

贝叶斯统计老师划的课后习题.doc

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1.1设θ是一批产品的不合格率，已知它不是0.1就是0.2，且其先验分布为

（0.1）=0.7π（0.2）=0.3.假如从这批产品中随机抽取8个进行检查，发现有两个不合格品。

求θ的后验分布。

解：

令

设A为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则

从而有

1.2设一卷磁带上的缺陷数服从泊松分布P（λ），其中λ可取1和1.5中的一个，又设λ的先验分布为π

（1）=0.4π（1.5）=0.6.假如检查一卷磁带发现了3个缺陷，求λ的后验分布。

解：

令

设X为一卷磁带上的缺陷数，则

从而有

1.3设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为

（1）θ～u（0,1）

（2）θ~π（θ）=

解：

设A为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则

（1）由题意知

从而有

（2）

1.10从正态总体N（0，4）中随机抽取容量为100的样本，又设θ的先验分布为正态分布。

证明；不管先验标准差为多少，后验标准差一定小于1/5.

证明：

设

又由于是的充分统计量，从而有

因此

又由于

所以的后验标准差一定小于

2.1设随机变量x服从几何分布

P（X=x）=θ（1-θ）,x=0,1,…

其中参数θ的先验分布为均匀分布U（0，1）

（1）若只对X作一次观察，观察值为3，求θ的后验期望估值。

（2）若对X作三次观察，观察值为3，2，5，求θ的后验期望估值。

解：

由题意可知

设是从随机变量X中抽取的随机样本，则

从而有

所以

（1）由题意可知n=1,x=3

（2）由题意可知

2.5.设x,…,x是来自正态分布N（θ，4）的一个样本，又设θ的先验也是正态分布，且其标准差为1，若要使后验方差不超过0.1，最少要取多少样本量。

解:

设，则

令

设，则，且

其中

2.10.对正态分布N（θ，1）作观察，获得三个观察值；2，4，3，若θ的先验分布为N（3，1），求θ的0.95可信区间。

解：

已知

设的后验分布为

可得：

由已知得：

，

所以的95％的可信区间为：

即为.

3.8.对以下的每个分布中的未知参数使用fisher信息量决定jeffreys先验。

（1）泊松分布P（θ）

（2）二项分布b（n,θ）（n已知）

（3）负二项分布Nb（m,θ）（m已知）

（4）伽玛分布Ga（α,λ）（λ已知）

（5））伽玛分布Ga（α,λ）（α已知）

（6）伽玛分布Ga（α,λ）

解：

（1）由题意可知

设是来自X的简单随机样本，则

对上式分别求一阶导、二阶导得

（2）由题意可知

设是来自X的简单随机样本，则

对上式分别求一阶导、二阶导得

（3）由题意可知

设是来自X的简单随机样本，则

对上式分别求一阶导、二阶导得

（4）由题意可知

设是来自X的简单随机样本，则

对上式分别关于求一阶导、二阶导得

（5）由题意可知

设是来自X的简单随机样本，则

对上式分别关于求一阶导、二阶导得

（6）由题意可知

设是来自X的简单随机样本，则

对上式分别关于求导得

令，则

3.9.设X～p（x|）,的jeffreys先验为,i=1,2,…,k.若诸X相互独立,证明;…）的jeffreys先验为。

证明：

由题意可知

由于各独立，因此有

由上式可得出

因此有

所以

4.1某公司准备经营一种新产品，可采取的行动有：

大批，中批和小批生产。

市场可能出现的销售状态有：

畅销，一般和滞销。

如大批生产，在畅销时可获利100万，一般时可获利30万，滞销时亏损60万；如中批生产，在三种市场情况下可获利50万，40万和亏损20万；如小批生产，在三种市场情况下可获利10万，9万和亏损6万。

（1）写出收益矩阵。

（2）在悲观准则下，该公司的最优行动是什么？

（3）在乐观准则下，该公司的最优行动是什么？

（4）若乐观系数α=0.8，该公司的最优行动是什么？

解：

令；

（1）

（2）

因此，在悲观准则下，最优行动为

（3）

因此，在乐观准则下，最优行动为

（4）

因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为

4.2某作家准备写一本书，为此要与出版社签署一项合同，合同书上规定每千字稿酬与发行量挂钩，如今有二种合同书a与a,发行量也分三种：

5万册以上（），2万册到5万册之间（），1万册以下（），两种合同书上对稿酬（单位：

元/千字）规定如下：

aa

Q=

（1）若该作家对自己的创作充满信心，在乐观准则下的最优行动是什么?

（2）若该作家对自己的创作把握不大，在悲观准则下的最优行动是什么？

（3）若该作家对自己的创作有七成把握，愿以α=0.7作为乐观系数，在折中准则下的最优行动是什么？

（1）

因此，在乐观准则下，最优行动为

（2）

因此，在悲观准则下，最优行动为

（3）

因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为

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