内江中考数学试题 及答案解析.docx
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内江中考数学试题及答案解析
内江市2015年中考数学试卷及答案解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2015•内江）9的算术平方根是（ ）
A．
﹣3
B．
±3
C．
3
D．
考点：
算术平方根．
分析：
算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．依此即可求解．
解答：
解：
9的算术平方根是3．
故选：
C．
点评：
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．（3分）（2015•内江）用科学记数法表示，结果是（ ）
A．
×10﹣5
B．
×10﹣6
C．
×10﹣5
D．
61×10﹣7
考点：
科学记数法—表示较小的数．
分析：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：
解：
用科学记数法表示，结果是×10﹣6．
故选：
B．
点评：
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2015•内江）如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
简单组合体的三视图．
分析：
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：
解：
从上面看易得俯视图为．
故选C．
点评：
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）（2015•内江）有一组数据如下：
3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A．
10
B．
C．
D．
2
考点：
方差；算术平均数．
分析：
首先根据算术平均数的概念求出a的值，然后把数据代入方差公式求出数值．
解答：
解：
∵3，a，4，6，7，它们的平均数是5，
∴=5，
∴a=5，
∴s2=[（5﹣3）2+（5﹣5）2+（5﹣4）2+（5﹣6）2+（5﹣7）2]=2．
故选D．
点评：
本题主要考查了方差以及算术平均数的知识，解答本题的关键是根据算术平均数的概念求出a的值，此题难度不大．
5．（3分）（2015•内江）函数y=+中自变量x的取值范围是（ ）
A．
x≤2
B．
x≤2且x≠1
C．
x＜2且x≠1
D．
x≠1
考点：
函数自变量的取值范围．
分析：
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答：
解：
根据二次根式有意义，分式有意义得：
2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得：
x≤2且x≠1．
故选：
B．
点评：
本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：
分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
6．（3分）（2015•内江）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
概率公式．
分析：
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即可．
解答：
解：
抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：
5÷（30+25+5）
=5÷60
=
故选：
A．
点评：
此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．
7．（3分）（2015•内江）下列运算中，正确的是（ ）
A．
a2+a3=a5
B．
a3•a4=a12
C．
a6÷a3=a2
D．
4a﹣a=3a
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
分析：
根据同类项的定义及合并同类相法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：
A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、应为a3•a4=a3+4=a7，故本选项错误；
C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；
D、4a﹣a=（4﹣1）a=3a，正确．
故选D．
点评：
本题主要考查了合并同类项及同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
8．（3分）（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．
40°
B．
45°
C．
60°
D．
70°
考点：
等腰三角形的性质；平行线的性质．
分析：
根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解答：
解：
∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：
A．
点评：
考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．
9．（3分）（2015•内江）植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
由实际问题抽象出二元一次方程组．
分析：
设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．
解答：
解：
设男生有x人，女生有y人，
根据题意可得：
，
故选D．
点评：
此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
10．（3分）（2015•内江）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．
40°
B．
35°
C．
30°
D．
45°
考点：
切线的性质．
分析：
连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
解答：
解：
连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，故选：
C．
点评：
本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．
11．（3分）（2015•内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A．
B．
2
C．
2
D．
考点：
轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析：
由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
解答：
解：
由题意，可得BE与AC交于点P．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故选B．
点评：
此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．
12．（3分）（2015•内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．
1＜k＜9
B．
2≤k≤34
C．
1≤k≤16
D．
4≤k＜16
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=BC=3，AB、BC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y=（k≠0）分别经过A、C两点时k的取值范围即可．
解答：
解：
点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），
∵AB=BC=3，
∴C点的坐标是（4，4），
∴当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；
当双曲线y=经过点（4，4）时，k=16，
因而1≤k≤16．
故选：
C．
点评：
本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是理解题意进而求出k的值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2015•内江）分解因式：
2x2y﹣8y= 2y（x+2）（x﹣2） ．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
专题：
常规题型．
分析：
先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：
解：
2x2y﹣8y，
=2y（x2﹣4），
=2y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：
2y（x+2）（x﹣2）．
点评：
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（5分）（2015•内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
考点：
翻折变换（折叠问题）．
分析：
先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．
解答：
解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，
∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，
∴DC=2EF，AB=5，
作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，
在Rt△ABH中，AH==2，
∴EF=．
故答案为：
．
点评：
本题考查了折叠的性质：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
15．（5分）（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是 2 ．
考点：
根与系数的关系．
分析：
找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
解答：
解：
∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2=6，x1x2=k，
+===3，
解得：
k=2，
故答案为：
2．
点评：
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．
16．（5分）（2015•内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有 2n（n+1） 根火柴棒．（用含n的代数式表示）
考点：
规律型：
图形的变化类．
专题：
压轴题．
分析：
本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．
解答：
解：
依题意得：
n=1，根数为：
4=2×1×（1+1）；
n=2，根数为：
12=2×2×（2+1）；
n=3，根数为：
24=2×3×（3+1）；
…
n=n时，根数为：
2n（n+1）．
点评：
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推算步骤）
17．（7分）（2015•内江）计算：
|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+．
考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：
本题涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：
|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+
=2﹣1+2﹣+2
=3+．
点评：
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简等考点的运算．
18．（9分）（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：
△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：
四边形BECD是矩形．
考点：
矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；
（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．
解答：
证明：
（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由
（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
19．（9分）（2015•内江）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：
第一组85～10；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？
并将频数分布直方图补充完整；
（2）若将得分转化为等级，规定：
得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？
（3）如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
考点：
列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图．
分析：
（1）首先根据题意得：
本次调查共随机抽取了该年级学生数为：
20÷40%=50（名）；则可求得第五组人数为：
50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；即可补全统计图；
（2）由题意可求得：
考试成绩评为“B”的学生大约有：
×1500=420（名）；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：
（1）根据题意得：
本次调查共随机抽取了该年级学生数为：
20÷40%=50（名）；
则第五组人数为：
50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；
如图：
（2）根据题意得：
考试成绩评为“B”的学生大约有：
×1500=420（名）；
（3）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的有10种情况，
∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为：
=．
点评：
此题考查了树状图法与列表法求概率的知识以及直方图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）（2015•内江）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？
（参考数据：
≈，≈）
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：
根据题意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，是否搬迁看P点到MN的距离与的大小关系，若距离大于千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．
解答：
解：
过点P作PD⊥MN于D
∴MD=PD•cot45°=PD，
ND=PD•cot30°=PD，
∵MD+ND=MN=2，
即PD+PD=2，
∴PD==﹣1≈﹣1=＞．
答：
修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．
点评：
考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．
21．（10分）（2015•内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？
并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及
（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
考点：
一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
分析：
（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：
，得到，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：
当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．
解答：
解：
（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得：
，
解得：
x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：
每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，
根据题意得：
，
解得：
，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：
﹣50×34+15000=13300（元），
答：
当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：
当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；
当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．
点评：
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）（2015•内江）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= 6 ．
考点：
含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：
由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出
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