Matlab习题.docx
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Matlab习题
习题1
1.执行下列指令，观察其运算结果,理解其意义：
（1）[12;34]+10-2i
（2）[12;34].*[0.10.2;0.30.4]
（3）[12;34].\[2010;92]
（4）[12;34].^2
（5）exp（[12;34]）
（6）log（[110100]）
（7）prod（[12;34]）
（8）[a,b]=min（[1020;3040]）
（9）abs（[12;34]-pi）
（10）[12;34]>=[4,3;21]
（11）find（[1020;3040]>=[40,30;2010]）
（12）[a,b]=find（[1020;3040]>=[40,30;2010]）（提示：
a为行号，b为列号）
（13）all（[12;34]>1）
（14）any（[12;34]>1）
（15）linspace（3,4,5）
（16）A=[12;34];A（:
2）
2.执行下列指令，观察其运算结果、变量类型和字节数，理解其意义：
（1）clear;a=1,b=num2str（a）,c=a>0,a==b,a==c,b==c
（2）clear;fun='abs（x）',x=-2,eval（fun）,double（fun）
3.本金K以每年n次，每次p%的增值率（n与p的乘积为每年增值额的百分比）增加，当增加到rK时所花费的时间为
（单位：
年）
用MATLAB表达式写出该公式并用下列数据计算：
r=2,p=0.5,n=12.
4．已知函数f（x）=x42x在（-2,2）内有两个根。
取步长h=0.05,通过计算函数值求得函数的最小值点和两个根的近似解。
（提示：
求近似根等价于求函数绝对值的最小值点）
5.
（1）用z=magic（10）得到10阶魔方矩阵；
（2）求z的各列元素之和；
（3）求z的对角线元素之和（提示：
先用diag（z）提取z的对角线）；
（4）将z的第二列除以
;
（5）将z的第3行元素加到第8行。
6.先不用MATLAB判断下面语句将显示什么结果？
size（B）又得出什么结果?
B1={1:
9;'DavidBeckham'};
B2={180:
-10:
100;[100,80,75,;77,60,92;672890;1008978]};
B=[B1,B2];
B{1,2}（8）
D=cell2struct（B,{'f1','f2'},2）;
[a,b]=D.f1
然后用MATLAB验证你的判断。
进一步，察看变量类型和字节数，并用Workspace工具栏显示B和D的具体内容。
习题2
1.设x为一个长度为n的数组，编程求下列均值和标准差
n>1
2.求满足
>100的最小m值。
3.用循环语句形成Fibonacci数列F1=F2=1,Fk=Fk-1+Fk-2,k=3,4,…。
并验证极限
.（提示：
计算至两边误差小于精度10-8）
4.分别用for和while循环结构编写程序，求出
。
并考虑一种避免循环语句的程序设计，比较不同算法的运行时间。
5．假定某天的气温变化记录如下表，试作图描述这一天的气温变化规律。
时刻t（h）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
温度oC（t）
15o
14o
14o
14o
14o
15o
16o
18o
20o
22o
23o
25o
28o
时刻t（h）
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
温度oC（t）
31o
32o
31o
29o
27o
25o
24o
22o
20o
18o
17o
16o
6.作出下列函数图象
（i）曲线y=x2sin（x2-x-2）,-2x2（要求分别使用plot或fplot完成）
（ii）椭圆x2/4+y2/9=1
（iii）抛物面z=x2+y2,x<3,y<3
（iv）曲面z=x4+3x2+y2-2x-2y-2x2y+6,|x|<3,-3（v）空间曲线x=sint,y=cost,z=cos（2t）,0（vi）半球面x=2sincos,y=2sinsin,z=2cos,03600,0900
（vii）三条曲线合成图y1=sinx,y2=sinxsin（10x）,y3=sinx,07．作下列分段函数图
8.查询trapz的功能和用法：
查找trapz.m文件所在目录，查看trapz.m的程序结构，查看trapz.m文件所在目录还有哪些文件？
9.用MATLAB函数表示下列函数，并作图。
10.已知连续时间Lyapunov方程为
AX+XA’=C
其中A=
C=
.试通过lookfor和help的帮助用MATLAB求解。
习题3
1.设a=（1,2,3）,b=（2,4,3）,分别计算a./b,a.\b,a/b,a\b,分析结果的意义。
2.用矩阵除法解下列线性方程组，并判断解的意义
（1）
（2）
（3）
（4）
3.求第2题第（4）小题的通解。
4.（人口流动趋势）对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势，每年农村居民的5%移居城镇而城镇居民的1%迁出，现在总人口的20%位于城镇。
假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么
（1）一年以后住在城镇人口所占比例是多少？
两年以后呢？
十年以后呢？
（2）很多年以后呢？
（3）如果现在总人口70%位于城镇，很多年以后城镇人口所占比例是多少？
（4）计算转移矩阵的最大特征值及对应的特征向量，与问题
（2）（3）有何关系？
5.（经济预测）在某经济年度内，各经济部门的投入产出表如下表3.5（单位：
亿元）
消耗部门
最后需求
总产值
工业
农业
第三产业
生
产
部
门
工业
6
2
1
16
25
农业
2.25
1
0.2
1.55
5
第三产业
3
0.2
1.8
15
20
假设某经济年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业，农业及第三产业的产出（提示：
对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和Leontief矩阵可视作不变）。
6.求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量
（1）
（2）
（3）
（4）
n分别为5,50,和500.
7.判断第6题各小题是否可以相似对角化，如果是，求出对角矩阵和对应的相似变换矩阵。
8.判断第6题各小题是否为正定矩阵。
9.求下列向量组的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。
1=（4,-3,1,3）,2=（2,-1,3,5）,3=（1,-1,-1,-1）,4=（3,-2,3,4）,5=（7,-6,-7,0）
10．（二次型标准化）用正交变换化下列二次型为标准形
f（x1,x2,x3）=x12-4x1x2+4x1x3-2x22+8x2x3-2x32
11.（电路网）图3.1是连接三个电压已知终端的电路网，求a,b,c点的电压。
12.（Hamilton-Carley定理）就矩阵A=
验证下列性质
（i）设1,2,…,n为n阶方阵A的特征值，则=（A的迹）,
=（-1）n÷Aê;
（ii）设f（x）为A的特征多项式,则f（A）=0。
习题4
1求下列多项式的所有根,并进行验算。
（1）x2+x+1;
（2）3x5-4x3+2x-1;
（3）5x23-6x7+8x6-5x2;
（4）（2x+3）3-4（提示：
先用conv展开）
2求方程
的正根。
3用MATLAB指令求解第一章习题4。
4（超越方程）超越方程的解有时是很复杂的，作出
f（x）=xsin（1/x）
在[-0.1,0.1]内的图，可见在x=0附近f（x）=0有无穷多个解，并设法求出它们的近似解，使计算结果误差不超过0.01。
5求解下列非线性方程组在原点附近的根
6求解下列方程组在区域0<,<1内的解
7（椭园的交点）两个椭圆可能具有0～4个交点，求下列两个椭园的所有交点坐标
（x-2）2+（y-3+2x）2=5
2（x-3）2+（y/3）2=4
8作出下列函数图形，观察所有的局部极大,局部极小和全局最大,全局最小值点的粗略位置;并用MATLAB函数fminbnd和fminsearch求各极值点的确切位置
（1）f（x）=x2sin（x2-x-2）,[-2,2];
（2）f（x）=3x5-20x3+10,[-3,3];
（3）f（x）=÷x3-x2-x-2ê[0,3].
9考虑函数
f（x,y）=y3/9+3x2y+9x2+y2+xy+9
（1）作出f（x,y）在-2（2）用MATLAB函数fminsearch求极值点和极值。
10.假定某天的气温变化记录如第二章习题5，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。
考虑下列类型函数,作图比较效果，并计算均方误差。
（1）二次函数；
（2）三次函数；
（3）钟形函数
；
（4）函数
.
11（化学反应平衡）一等克分子数一氧化碳（CO）和氧气（O2）的混合物在300K和5bar压力下达到平衡，理论反应方程式为
CO+0.5O2®CO2
实际反应方程式为
CO+N2®xCO+0.5（1+x）O2+（1-x）CO2
剩余CO比值x满足化学平衡方程式
这里Kp=3.06,p=5bar求x.
12（月还款额）作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。
现在有个客户看中了你公司一套建筑面积为180平方米，每平方单价7500元的房子。
他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率5.04%）。
请你提供下列信息：
房屋总价格、首付款额、月付还款额。
如果其中10万元为公积金贷款（贷款年利率4.05%）呢？
13（栓牛鼻的绳子）农夫老李有一个半径10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛栓在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，他想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？
14（弦截法）牛顿迭代法是一种速度很快的迭代方法，但是它需要预先求得导函数。
若用差商代替导数，可得下列弦截法
这一迭代法需要两个初值x0,x1，编写一个通用的弦截法计算机程序并用以解习题2。
（提示:
函数参数求值用MATLAB函数feval）
15（线性迭代）迭代过程
xk+1=g（xk）
的收敛性主要条件是在根的附近满足÷g‘（x）ê<1。
从理论上证明线性迭代
xk+1=axk+1
只有两种极限形态：
不动点或无穷大。
分别就a=0.9,-0.9,1.1,-1.1（取x0=1,迭代20步）用图形显示迭代过程的不同表现（提示：
用subplot将4个子图放在一个图形窗口比较）
16（通道中的细杆）要运送一根细杆子通过由宽5cm和宽10cm的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持杆子是水平的（如图4.6），问这根细杆至多可有多长？
又通道为园柱形的且细杆不必保持水平，细杆至多可有多长？
17证明当且仅当3Logistic映射有稳定的周期2轨道。
18作出习题15的蛛网图。
19（Henon吸引子）混沌和分形的著名例子，迭代模型为
取初值x0=0,y0=0,进行3000次迭代，对于k>1000,在（xk,yk）处亮一点（注意不要连线）可得所谓Henon引力线图.
习题5
1．某河床的横断面如图5.8所示，为了计算最大的排洪量，需要计算它的断面积，试根据图示测量数据（单位：
米）用梯形法计算其断面积。
2．求图5.8各测量点的坡度。
图5.8
3．作图表示函数
（-14.已知参数方程
0和
的数值解。
5.求下列积分的数值解
（1）
（2）
，
（3）
（4）,（5）,
（6）
，（7）
D为x2+y2£2x
6（椭园的周长）用积分法计算下列椭园的周长
7.（曲面的面积）求函数
（-18（假奇异积分）试求下列积分,出现什么问题？
分析原因，设法求出正确的解。
I=
9考虑积分I（k）==2k,试分别用trapz（取步长h=0.1或p）,quad和quadl求解I（8）和I（32）。
发现什么问题？
10.
（1）用程序deriv.m求f（x）=x2sin（x2+3x-4）在x=1.3和x=1.5的导数，使精度达到10-3。
（2）编写用公式（5.21）求函数在某一点二阶导数达到指定精度的算法程序，并用此程序求f（x）=x2sin（x2-x-2）在x=1.4的二阶导数，使精度达到10-3。
11图5.9a和图5.9b中各有两条曲线（粗线为x轴），辨认每幅图中哪条是f（x）哪条是f（x）的导函数?
为什么？
12（辛普生积分法）编制一个定步长辛普生法数值积分程序。
计算公式为
I»Sn=（f1+4f2+2f3+4f4+…+2fn-1+4fn+fn+1）
其中n为偶数，h=（b-a）/n,fi=f（a+（i-1）h）.并取n=5，应用于解习题5
（1）。
13（摩托车）一个重5400kg的摩托车在以速度v=30m/s行驶时突然熄火，设滑行方程为
5400v
=-8.276v2-2000
x为滑行距离，计算要滑行多长距离后,速度可降至15m/s。
图5.9
14一条长凳被牢牢固定在地上，凳面水平。
考虑若干块砖在长凳一端叠成阶梯状而尽量向外延伸。
一块砖放在长凳右端极端位置是砖的一半在外，但第二块砖若仍放一半（如图5.9）必会倒下。
应如何放置这两块砖。
n块呢？
15（电视机价格）由于市场竞争的影响，电视机售价p越高，销售量x就会越低，
x=Me-ap（M,a>0）
其中M为最大需求量，a为价格系数。
另一方面销售量越大，每台电视机成本c就会越低，c=c0-klnx（c0,k>0）
其中c0是只生产一台电视机时的成本，k为规模系数。
应如何确定电视机售价才能获得最大利润？
16（水箱压力）洒水车上水箱是一个横放的椭园柱体，尺寸如图5.11所示，当水箱盛满水时，计算两个端面所受的压力。
17（停产时间）某公司投资2000万元建成一条生产线。
投产后，在时刻t的追加成本和追加收益分别为G（t）=（百万元/年）,H（t）=（百万元/年）。
试确定该生产线在何时停产可获最大利润？
最大利润是多少？
18（教堂顶部曲面面积）某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。
因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。
据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m。
考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多1.5%。
据此，国王的财政大臣拨出了可制造5800m2有规定厚度金箔的黄金。
建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。
于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程。
但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭球面，其半立轴恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m。
这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？
甚至可能短缺。
最后的结果究竟如何呢？
习题6
1解下列微分方程。
（1）y’=x+y,y（0）=1,0（2）x’=2x+3y,y’=2x+y,x（0）=-2.7,y（0）=2.8,0（3）y’’－0.01（y’）2+2y=sin（t）,y（0）=0,y’（0）=1,0（4）2x’’（t）-5x’（t）-3x（t）=45e2t,x（0）=2,x’（0）=1.0（5）Vanderpol方程y’’+（y2-1）y’+y=0,y（0）=2,y’（0）=0,0（6）x’’=（-2/t）x’+（2/t2）x+（10cos（ln（t）））/t2,x
（1）=1,x（3）=3.输出t=1.5,2,2.5时x的值,并作x的图。
2.求下列常系数齐次微分方程的通解。
y（5）（t）+10y（4）（t）+54y（3）（t）+132y’’（t）+137y’（t）+50y（t）=0,
3.求解刚性方程组
04.已知Appolo卫星的运动轨迹（x,y）满足下面的方程
其中m=1/82.45,l=1-m,
试在初值x（0）=1.2,x’（0）=0,y（0）=0,y’（0）=-1.04935371下求解，并绘制Appolo卫星轨迹图。
5（解的“爆炸”）求一通过原点的曲线，它在（x,y）处的切线斜率等于2x+y2,0若x上界增为1.58,1.60会发生什么？
6试求解
dx/dt=ax+b,x（0）=x0
并分别对a,b,x0取正负值的8种不同情况，讨论解曲线的单调性及t®¥时的行为。
用MATLAB画出解曲线图形。
将它们合理分类。
7（温度过程）夏天把开有空调的室内一支读数为20℃的温度计放到户外，10分钟后读25.2℃,再过10分钟后读数28.32℃。
建立一个较合理的模型来推算户外温度。
8（广告效应）某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：
单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。
（1）建立该问题的数学模型，分别求其解析解和数值解，并作比较；
（2）厂家问：
要做多少时间广告，可使市场购买率达到80%？
9（肿瘤生长）肿瘤大小V生长的速率与V的a次方成正比，其中a为形状参数，0£a£1;而其比例系数K随时间减小，减小速率又与当时的K值成正比，比例系数为环境参数b。
设某肿瘤参数a=1,b=0.1,K的初始值为2，V的初始值为1。
问
（1）此肿瘤生长不会超过多大？
（2）过多长时间肿瘤大小翻一倍？
（3）何时肿瘤生长速率由递增转为递减？
（4）若参数a=2/3呢？
10.（Lorez混沌）Lorez系统是一类典型的混沌系统，具有强烈的初值依赖性和长期不可预测性。
Lorenz系统的状态方程是
设=10,r=28,b=8/3,取初值x1=10,x2=-10,x3=-10,求t=20的解，并作出在0若将x1改为10.001或-10,比较结果,可以发现解总是被一个蝶形所吸引（称为Lorez吸引子）,但t=20时的解相差缺很大,说明解对初值的变化十分敏感.
11（RLC电路）在RLC含源串联电路中，电动势为E的电源对电容器C充电。
已知电阻R=100欧，电感L=0.1亨，C=0.2微法，E=20伏，试求合上开关K后的电压uc（t）。
12（生态系统的振荡现象）第一次世界大战中，因为战争很少捕鱼，按理战后应能捕到最多的鱼才是。
可是大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民大惑不解。
令x1为鱼饵的数量，x2为鲨鱼的数量，t为时间。
微分方程为
式中a1,a2,b1,b2都是正常数。
第一式鱼饵x1的增长速度大体上与x1成正比，即按a1x1比率增加,而被鲨鱼吃掉的部分按b1x1x2的比率减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然死亡或互相咬食按a2x2的比率减少，但又根据鱼饵的量的变化按b2x1x2的比率增加。
对a1=3,b1=2,a2=2.5,b2=1,x1（0）=x2（0）=1求解。
画出解曲线图和相轨线图，可以观察到鱼饵和鲨鱼数量的周期振荡现象。
13解微分方程初值问题（6.5）的四阶Runge-Kutta格式为
它具有四阶收敛精度。
编写四阶Runge-Kutta法程序并解习题1
（1）。
14一个蹦极爱好者准备从一高空热气球跳下，所用橡皮带长为L.为保证安全，必须要预知最大加速度、速度和总下落高度，确保使力不会太大而且气球足够高以保证蹦极者不会撞到地面。
考虑空气动力学阻力，控制方程为
其中g=9.8m/s2为重力加速度；c0和阻力系数成比例，单位为m-1;k为橡皮带的弹性系数，单位为N/m;mJ为蹦极者的质量；sign（z）为符号函数，u（z）为单位阶跃函数，即
sign（z）=
u（z）=
如果L=150m,mJ=70kg,k=10N/m,c0=0.00324m-1,初始条件为零。
试验证
（1）11.47s时，最大下落高度-308.47m;
（2）5.988s时，下落150m,速度为-43.48m/s;
（3）11.18s,最大加速度-12.82m/s2
画出位移，速度，加速度曲线。
习题7
1.用MATLAB符号计算验证三角等式sincoscossin=sin（）.
2.作因式分解f（x）=x4-5x3+5x2+5x-6.
3.求矩阵A=
的逆和特征值。
4.计算极限
，
5.计算
，
和
6.求
|x=1,y=1,z=3.
7.（Taylor展开）求下列函数在x=0的Taylor幂级数展开式（n=8）
ex,ln（1+x）,sin（x）,
8.试结合diff和解方程求解第四章习题8及习题9.
9.（不定积分）用int计算下列不定积分，并用diff验证
,
10.计算积分
。
11.试用int求解第五章习题5.
12.试用solve求解第四章习题1,2,5,6,7.
13.试用dsolve求解第六章习题1,2,3。
14.试用简捷作图指令解第二章习题6。
15.调用Maple求函数
在x=0,y=a的
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