四边形动点最值专题(包含答案).docx

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四边形动点最值专题（包含答案）

四边形动点最值专题（含答案）

【知识点睛】

1.线段最值基本原理（已知轨迹，单线段）

（1）点与点距离

（2）点与线距离

（3）点与圆距离

（4）线与线距离

（5）线与圆距离

2.无轨迹，推断轨迹

常见定弦定角轨迹圆，瓜豆原理等

一、单选题

1．如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD上的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（）

A． B．3

C． D．5

2．如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（）

A． B． C． D．

3．如图，在ΔABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以AD为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为：

（）

A．2 B．2 C．1 D．22

4．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连结，则线段的最小值为（）

A． B． C． D．

5．如图所示，四边形OABC是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上一动点，则PA＋PD的最小值为（）

A.6 B.10 C.210 D.410

6．如图，在菱形中，，，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则的最小值为（）

A．1 B．4 C． D．

7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为BC边的中点，M为对角线BD上的一个动点。

则下列线段的长等于AM+12BM最小值的是（）

A.AD B.AE C.BD D.BE

8．如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）

A． B． C． D．

9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是（）

A．4 B． C． D．

10．如图，菱形的顶点、在轴上（在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于（）

A． B． C． D．

11．如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为（）

A．cm B．3cm C．cm D．4cm

12．如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（　　）

A．4B．2C．7D．8

二、填空题

13．如图，，是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点，连接交于点，若正方形的边长为2，则线段的长度的最小值是______.

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连结EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为___________．　

15．如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为____.

16．如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．

17．如图，将两张一样（长为，宽为）的矩形纸条交叉叠放，重合部分为四边形，则四边形的周长的最大值是_____.

18．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M、N是边AB、BC上的动点，若△DMN为等边三角形，点M、N不与点A、B、C重合，则△BMN面积的最大值是_____．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为_____．

20．已知：

如图，∠MON＝90°，四边形ABCD为矩形，A、B两点分别在射线ON、OM上，AD＝2，AB＝4，A、B两点在ON、OM上滑动时，C、D点随之运动，则线段OD的最大值为___．

21．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是____．

22．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为_____．

23．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CD．连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③四边形CDFE不可能为正方形；④△CDE面积的最大值为8．其中错误的结论是___________．（只填序号）

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参考答案

1．D

【解析】

【分析】

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，根据菱形的性质求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

【详解】

解：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，

即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，

∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，

∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，

∴NQ=BC，P是BD中点，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CP=AC=3，BP=BD=4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：

BC=5，

即NQ=5，

∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

故选：

D．

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．

2．B

【解析】

【分析】

取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的长.

【详解】

取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B

，

此时CE的长就是GB+GC的最小值；

∵MN∥AD，

∴HM=AE，

∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，

∴MB=2，∠HMB=60°，

∴HM=1，

∴AE'=2，

∴E点与E'点重合，

∵∠AEB=∠MHB=90°，

∴∠CBE=90°，

在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，

∴EC=2，

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．

3．B

【解析】

【分析】

设Q是AB的中点,连接DQ,先证得△AQD≌△APF,得出QD=PF,根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时,QD最小,然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值,即可求得线段PF的最小值.

【详解】

设Q是AB的中点,连接DQ,

∵∠BAC=∠DAF=90°,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,

∵AB=AC=4,P为AC中点,

∴AQ=AP,

在△AQD和△APF中,

AQ=AP

∠QAD=∠PAF,

AD=AF

∴△AQD≌△APF（SAS）,

∴QD=PF,

∵点D在直线BC上运动,

∴当QD⊥BC时,QD最小,

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=45°,

∵QD⊥BC,

∴△QBD是等腰直角三角形,

∴QD=22

∵QB=AB=2,

∴QD=2,

∴线段PF的最小值是为2.

故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题，解题的关键是得到QD=PF．

4．C

【解析】

【分析】

连接PC，先证明四边形ECFP是矩形，从而得EF=PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．

【详解】

连接PC，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，

∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，

∴四边形ECFP是矩形，

∴EF=PC，

∴当PC最小时，EF也最小，

即当CP⊥AB时，PC最小，

∵AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴PC的最小值为：

=4.8．

∴线段EF长的最小值为4.8．

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．

5．C

【解析】

【分析】

找到A点关于直线OB的对称点C，连接CD交OB于P点，此时PA＋PD最小，再利用勾股定理即可求解.

【详解】

如图，A点关于直线OB的对称点C，连接CD交OB于P点，此时PA＋PD最小，

∵D（2,0），∴OD=2，∵CO=6

∴PA＋PD最小值为CD=CO2+OD2=210,

故选C.

【点睛】

此题主要考查最小距离的求解，解题的关键是熟知正方形的对称性与勾股定理的运用.

6．C

【解析】

【分析】

根据轴对称确定最短路线问题,作点P关于BD的对称点P',连接与BD的交点即为所求的点K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知⊥CD时的最小值,求解即可.

【详解】

解：

:

如图,∵，，,

∴点P'到CD的距离为2×=,

∴的最小值为.

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键.

7．B

【解析】

【分析】

过点M作PM⊥CB于P，根据菱形和直角三角形的性质可得PM=12BM，从而可得AM+12BM=AM+PM，根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长；

【详解】

过点M作PM⊥CB于P，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠PBM=12∠ABC=30°，AB=BC

∴PM=12BM，

∴AM+12BM=AM+PM，

∵AB=BC,∠ABC=60°

∴∆ABC是等边三角形

∵E为BC边的中点，

∴AE⊥BC；

根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长，

故选：

B．

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

8．A

【解析】

【分析】

连接BP．由正方形的对称性可知PD=PB，则PD+PE=PB+PE，依据两点之间线段最短可知当点B、P、E在一条直线上时，PD+PE有最小值，最小值=BE，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可

【详解】

解：

连接BP．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE．

∴由两点之间线段最短可知当点P为点P′处时，PD+PE有最小值，最小值=BE．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=．

∴PD+PE的最小值为．

故选：

A．

【点睛】

本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，明确当点P、E、B在一条直线上是，PE+PD有最小值是解题的关键．

9．C

【解析】

【分析】

根据翻折的性质和当点D'在对角线AC上时CD′最小解答即可．

【详解】

解：

当点D'在对角线AC上时CD′最小，

∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，

∴AD=AD'=BC=2，

在Rt△ABC中，AC=＝＝4，

∴CD'=AC-AD'=4-4，

故选：

C．

【点睛】

本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，利用勾股定理求出AC的长度是解题的关键．

10．A

【解析】

【分析】

如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．

【详解】

如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．

∵E（-2，0），F（0，6），

∴OE=2，OF=6，

∴EF=，

∵∠FGE=90°，

∴FG≤EF，

∴当点G与E重合时，FG的值最大．

如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．

∵PA=PB，BE=EC=a，

∴PE∥AC，BJ=JH，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BH=DH=，BJ=，

∴PE⊥BD，

∵∠BJE=∠EOF=∠PEF=90°，

∴∠EBJ=∠FEO，

∴△BJE∽△EOF，

∴，

∴，

∴a=，

∴BC=2a=，

故选A．

【点睛】

本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

11．A

【解析】

【分析】

当C、F的距离最大时，C、A、F三点在同一条直线上，即CF的最大值为两个正方形对角线的和，由此得解．

【详解】

由图知：

当F、A、C三点共线时，CF的值最大，且最大值为两个正方形的对角线的和；

那么CFmax＝

故选：

A．

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确的判断出CF最大时F点的位置是解答此题的关键．

12．D

【解析】分析：

如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可．

详解：

如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，

在Rt△PNE中，PN=4，NE=MN=3，

根据勾股定理得：

PE=，

在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，

∴AE=MN=3，

则AP的最大值为AE+EP=5+3=8．

故选D．

点睛：

此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

13．

【解析】

试题分析：

此题先作辅助线，取AB的中点为O，连接OH，OD，由已知条件和勾股定理求出OD=，OH=1，因为△ADG≌△CDG，∠DAG=∠DCG，△ABE≌△DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠ABE＋AEB=90º，∴∠DAG＋∠AEB=90º，∴∠AHE=90º，∴AH⊥BE，∴OH是直角三角形ABH斜边中线，等于斜边AB的一半，所以等于1，根据三角形三边关系当O，H，D三点共线时DH长度最小，为DH=DO-OH=－1．

考点：

1．正方形性质；2．全等三角形的判定性质；3．直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质；4．三角形三边关系．

14．

【解析】

【分析】

根据矩形的性质就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．

【详解】

∵四边形AEPF是矩形，

∴EF，AP互相平分．且EF=AP，

∴EF，AP的交点就是M点．

∵当AP的值最小时，AM的值就最小，

∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．

∵AP．BC=AB．AC，

∴AP．BC=AB．AC．

∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==5，

∴5AP=3×4

∴AP=.

∴AM=.

故答案为：

【点睛】

本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，根据矩形性质求出AP的最小值是解题关键．

15．

【解析】

【分析】

过C点作BD的平行线，以为对称轴作B点的对称点，连接交直线于点，当三点共线时取最小值，再根据勾股定理即可求解.

【详解】

如图，过C点作BD的平行线，以为对称轴作B点的对称点，连接交直线于点

根据平移和对称可知，当三点共线时取最小值，即，又，

根据勾股定理得，，故答案为

【点睛】

此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知平移的性质及勾股定理的应用.

16．

【解析】

【分析】

由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．

【详解】

由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动

将绕点旋转，使与重合，得到，

从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，

作，则即为的最小值，

作，可知四边形为矩形，

则.

故答案为．

【点睛】

本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．

17．17

【解析】

【分析】

当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案.

【详解】

解：

如图，根据题意可知，四边形ABCD是菱形，

此时，菱形ABCD的周长达到最大值，

设AB=BC=x，则BE=8-x，AE=2，

由勾股定理，得：

，

解得：

，

即菱形的最大边长：

AB=cm，

∴菱形ABCD的周长最大值为：

cm.

故答案为：

17.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键.

18．

【解析】

【分析】

先判断出△DMB≌△DNC，进而判断出当△DMN的面积最小时，△BMN的面积最大，即可得出结论．

【详解】

解：

连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD＝CD，DN＝DM，

∵∠BDM＝∠MDN﹣∠BDN，

∵∠CDN＝∠BDC﹣∠BDN，∠MDN＝∠BDC＝60°，

∴∠CDN＝∠BDM，

∴△DMB≌△DNC（SAS），

∴S△DMB＝S△DNC，

∴S四边形DMBN＝S△DBC,

∵S△BMN＝S四边形DMBN﹣S△DMN，

∴当△DMN的面积最小时，△BMN的面积最大，

当DN⊥BC时，△DMN的边长最短，

即：

△DMN的面积最小，此时DN＝，

即：

S△DMN＝，

∴△BMN的面积的最大值为,

故答案为：

.

【点睛】

主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理，判断出△DMB≌△DNC是解本题的关键．

19．4

【解析】

【分析】

连接CD．根据直角三角形斜边中线的性质求出CD=A′B′=2，利用三角形的三边关系即可解决问题．

【详解】

连接CD，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，

∴∠A＝30°，

∴AB＝A′B′＝2BC＝4，

∵DB′＝DA′，

∴CD＝A′B′＝2，

∴BD≤CD+CB＝4，

∴BD的最大值为4，

故答案为4．

【点睛】

本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20．2+2．

【解析】

【分析】

如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，由此求得OD的长即可.

【详解】

如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，

∵OD＜OE+DE，

∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，

此时，∵AB＝4，BC＝1，

∴OE＝AE＝AB＝2，

DE＝＝2，

∴OD的最大值为：

2+2．

故答案为：

2+2．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质、三角形的三边关系、矩形的性质、勾股定理等知识，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．

21．2

【解析】分析：

如下图所示，设AB、CD的中点分别为K、G，连接KG、BD相交于点O，则由题意可知当点E与点B重合时，点Q与点O重合，当点E与点C重合时，点Q与点G重合，即点Q的运动路线是线段OG，根据题中已知条件求出线段OG的长度即可.

详解：

如下图，设AB、CD的中点分别为K、G，连接KG、BD相交于点O，

∵当点E与点B重合时，由题意可知此时点Q与点O重合；而当点E与点C重合时，由题意可知此时点Q与点G重合，

∴随着点M的移动，点Q的移动路线是线段OG，

∵由折叠的性质可知：

BO=DO，DG=CG，

∴线段OG是△DBC的中位线，

∴OG=12BC=4×12=2.

故答案为：

2.

点睛：

理解“折叠的性质和三角形中位线定理”，作出如图所示的辅助线是正确解答本题的关键.

22．5+1

【解析】

如图，取AB的中点E，连接OE、CE，

则BE=12×2=1，

在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE=22+12=5,

∵∠AOB=90°，点E是AB的中点，

∴OE=BE=1，

由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，

∴OC的最大值=5+1．

故答案为：

5+1．

【点睛】运用了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并确定出OC最大时的情况是解题的关键．

23．③．

【解析】

试题分析：

连结CF，如图，∵△ABC为直角三角形，∴∠A=45°，∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS），∴DF=EF，∠3=∠2，∵∠3+∠CFD=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，∴△DEF为等腰直角三角形，所以①正确；

∵△ADF≌△CEF，∴S△ADF=S△CEF，∴四边形CDFE的面积=S△ACF=S△ABC=××8×8=16，所以②正确；当FD⊥AC时，FE⊥BC，则AD=CE=AC，此时四边形CDFE为正方形，所以③正确；

∵S△CDE=S四边形CDFE﹣S△DEF=16﹣S△DEF，而当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD=AC=4，∴S△DEF的最小值为×4×4=8，∴△CDE面积的最大值为16﹣8=8，所以④正确．故答案为③．

考点：

四边形综合题．