基于秩次的非参数检验.docx
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基于秩次的非参数检验
第七章基于秩次的非参数检验
前言：
1.问题的提出：
前面学习了连续型资料两组样本均数差异的假设检验方法：
★小样本用t检验，条件是变量服从正态分布和方差齐。
★大样本用Z检验（中心极限定理）。
如果是小样本，变量的分布不清、已知不服从正态分布或经数学转换后仍不服从正态分布时，如何检验两个样本或多个样本均数差异的统计学意义呢？
★需要一种不依赖于分布假定的检验方法，即非参数检验。
2.基本概念：
前面介绍的检验方法首先假定变量服从特定的已知分布（如正态分布），然后对分布的参数（如均数）作检验。
这类检验方法称为参数检验。
今天介绍的检验方法不对变量的分布作严格假定，检验不针对特定的参数，而是模糊地对变量分布的中心位置或分布形态作检验。
这类检验称非参数检验，由于其对总体分布不作严格假定，所以又称任意分布检验。
（1）非参数检验的优点：
a.不受总体分布的限制，适用范围广。
b.适宜定量模糊的变量和等级变量。
c.方法简便易学。
（2）缺点：
对于适合用参数检验的资料，如用非参数检验会造成信息的丢失，犯第Ⅱ类错误的概率增大，造成检验功效下降。
（3）基于秩次的非参数检验（秩和检验）的基本思想：
例：
假设有一组观察值为1.1,1.3,1.7,4.3,11.4。
显然这一变量不服从正态分布，观察值间差异较大，既不对称，标准差也较大。
如果将变量作转换，变成秩变量Y=1，2，3，4，5，则分布对称了，观察值间的差异也均匀了，标准差也减小了。
对秩和分布的中心位置（平均秩和）作检验，这就是秩和检验。
一．配对样本的符号秩检验（Wilcoxonsignedranktest）：
例7.1：
研究出生先后的孪生兄弟智力是否存在差异？
表7.312对孪生兄弟智力测试结果
对子号
兄的得分
弟的得分
兄弟得分差
秩次
1
86
88
2
3
2
71
77
6
7
3
77
76
-1
-1.5
4
68
64
-4
-4
5
91
96
5
5.5
6
72
72
0
-
7
77
65
-12
-10
8
91
90
-1
-1.5
9
70
65
-5
-5.5
10
71
80
9
9
11
88
81
-7
-8
12
87
72
-15
-11
差值一般在5左右，但个别较大，如15，可能不服从正态分布。
而且样本较小，不能利用中心极限定理作正态假定。
因此考虑使用非参数检验---符号秩检验。
1．符号秩检验的分布理论：
假定有四对观察值，如果H0成立时，这四个值有同等的概率取正值或负值，即每个值取正值的概率等于二分之一。
四个值共有24=16种组合，每种组合发生的可能性就是：
。
再考虑秩和，可能的结果数减少到11种，概率分布见表7.1。
表7.1n＝4时所有可能秩和情况和T*的分布
正差数
的秩次
负差值
的秩次
正秩和
T+
负秩和
T-
概率
P
1,2,3,4
--
10
0
0.0625
2,3,4
1
9
1
0.0625
1,3,4
2
8
2
0.0625
1,2,4
3
7
3
0.1250
3,4
1,2
7
3
1,2,3
4
6
4
0.1250
2,4
1,3
6
4
1,4
2,3
5
5
0.1250
2,3
1,4
5
5
1,3
2,4
4
6
0.1250
4
1,2,3
4
6
1,2
3,4
3
7
0.1250
3
1,2,4
3
7
2
1,3,4
2
8
0.0625
1
2,3,4
1
9
0.0625
-
1,2,3,4
0
10
0.0625
如果零假设成立，观察的结果应该服从此分布，即出现极端的可能性很小。
如果真是出现小概率，那么我们对零假设的真实性产生怀疑，拒绝零假设。
2．具体计算步骤：
（1）检验假设：
H0：
差值的总体中位数为零。
Md=0
H1：
差值的总体中位数不等于零。
Md≠0
α=0.05。
（2）编秩和计算秩和：
求差值，差值的绝对值由小到大编秩，●差数为零不参加编秩，相同差值求平均秩。
分别求正号和负号的秩和，取绝对值小的为T。
（3）确定概率，下结论：
查附表10，在n=11时，T0.05=11。
现T=24.5>11，故P>0.05，按α=0.05的水准，不拒绝H0。
（★T小，P小）。
3．正态近似：
当研究例数较大时（n>50），秩和T的分布近似正态分布，可以用正态分布理论作假设检验：
这时正态分布的均数和标准差分别等于：
检验的公式为：
二．两独立样本的秩和检验（Wilcoxonranksumtest）：
表7.5缺氧条件下猫与兔的生存时间（分）比较
猫
兔
生存时间
秩次
生存时间
秩次
生存时间
秩次
生存时间
秩次
25
9.5
15
1
21
6
28
12
34
15
15
2
21
7
28
13
44
17
16
3
23
8
30
14
46
18
17
4
25
9.5
35
16
46
19
19
5
27
11
n1=5
T1=78.5
n2=14T2=111.5
这是生存时间资料，一般不服从正态分布，个别寿命长的为特大值，样本也较小，需考虑用非参数检验---秩和检验。
1．具体计算步骤：
（1）检验假设：
H0：
两总体生存时间的中位数相等；
H1：
两总体生存时间的中位数不等；α=0.05。
（2）编秩和计算秩和：
两组由小到大混合编秩，有相同值求平均秩（同组相同值可不求平均秩），求例数较少组的秩和（T）。
（数值为零应编秩。
）
（3）确定概率，下结论：
T值在表中两数值之间时，p值大于相应界值，T位于区间之外，P＜相应界值。
本例T=T1=78.5，查附表11，T=78.5>78，P<0.01，拒绝H0，可认为猫、兔在缺氧的条件下生存时间不等。
2．正态近似：
当样本较大时，秩和的分布近似正态分布，可以用正态分布理论作假设检验。
这时正态分布的均数和标准差分别等于：
检验公式为：
三．多个样本分布位置相同的假设检验：
完全随机化设计资料分布位置的假设检验（Kruskal-Wallistest）
表7.7不同吸烟习惯母亲的新生儿体重（秩次）（kg）
A
B
C
D
2.7（3）
2.9（4）
3.3（7）
3.5（11）
2.4
（2）
3.2（5）
3.6（12.5）
3.6（12.5）
2.2
（1）
3.2（6）
3.4（9）
3.7（14）
3.4（9）
3.4（9）
4（n）
3
4
3
15（R）
15
37.5
37.5
计算步骤：
1.检验假设：
H0：
k个总体中心位置相等
H1：
k个总体中心位置不全相等
α=0.05
2.计算统计量：
各组由小到大混合编秩；如不同组间出现相同值，求平均秩；计算各组的秩和。
当H0成立时，该检验统计量近似服从自由度为（k-1）的2分布。
校正公式：
tp为相同值的个数。
3.确定概率和判断结果：
自由度=k-1=4-1=3，查χ2值表得χ20.05（3）=7.815，p<0.05，故拒绝零假设，说明不同吸烟习惯对新生儿体重不同。
秩和检验的重点：
秩和检验的优缺点。
不同设计类型资料秩和检验的编秩方法。
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