求解最值问题的几种思路.docx
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求解最值问题的几种思路
求解最值问题的几种思路
求解最值问题的几种思路
最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用.
本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.
一、利用非负数的性质
在实数范围内，显然有m2n2p_p，当且仅当m=n=O时，等号成立，即m2n2p的最小值为p.
例1形码设a、b为实数，求a2■ab•b2-a-2b的最小值.
解析a2■ab•b2-a-2b=a2•（b-1）a•b2-2b
b—1232
=（a厂）24（b-1）2-1一-1.
当a+^^Ob-A，即a=0b=时，上式等号成立.
故a2abb2-a-2b的最小值为-1.
二、均值代换法
在一些数学问题中，常遇到含有m+w型条件的问题，若用m=^q,^-p-q来代换，往往能获得
简捷的妙法.
例2已知x、y为实数，且x2y^2,求
.（2xy）一（2的最值.
解析由2=x2.y2_2xy得xyw1,易得最小值为3.
设x2=1k,y2=1-k，其中一1一k_1,
■；（2xy）（2-xy）「、4-x2y2-,4-（1-k2）八
又03_k23<1「3
即3乞k23<4
-..（2xy）（2x的最小值是3，最大值是2.
三、局部换元法
例3若a+b+c=1，求a2+b2+c的最小值.
解析设a=3「,b=3「
J，蔦2.j2I：
）2
33
故a2+b2+c2的最小值为1.
四、积化和差法
完全平方公式（a瓦=a2ab；b
222
（a-b）a-2abb.
将这两个公式的左右两边分别相减，得
结论14ab=（ab）2-（a-b）2.①
由于（a-b2一0故由①又可得如下积化和的完全平方不等式.
结论24a^（ab）2，当且仅当a=b时，等号成立.②
结论①、②表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题，方法独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉.
例4设x2+y2=a，av1，求S=G-x2+J1-y2的最大值.
解把S=E,有两边平方得
S2=2-（X2y2）,21乳，
即S2=2-a22一1£1，
.1£,1y2[（S2a22T
由积化和差公式，得
匚X2口=（4匕》）2_（上宁匕『）2
代人上式，得
扌（S2a2-2）=（S）2-（I；1"）2.
--S2
」a21一0,
21
QS0,Sz,4-2a2.又*=目=ga时,
弘大值二4~2a.
注有时将积化和差公式4ab=（a■b）2-（a-b）化为如下形式：
u,a+b\2,a+b\2
ay）r，
用起来比较方便.
五、配方法
解题时把题中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的形式；再根据（a_b）2_0，可求出代数式的最小值，根据~（a-b）2£0，可求出代数式的最大值.
例5求函数y=x4x21的最值.
解析y=（x2）2+x$i=（x+1）+3.
2
Qx-0,
■X2的最小值是0，X最小也是0.当x=0时，y的最小值为：
123
（01厂1.
注本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求y的最值，那就错了.事实上，当
x^-2^=-2时，y取得极小值，这是不可能的。
一般情况下，如果自变量取值范围有一定限制，不
能轻易套用极值公式，而应先通过配方，再求极值，这样做才不会得出错误的答案•
六、增加辅助量
例6若实数a、b、c、d、f满足条件abcd8和Ja2b2cdf2=162，^^f的最值.
角军Qabcd8,=
■abcd=8-f.
设a=口乜，"口+0，*口+丫，d=口代
4'4'4'4）
贝+p+了+5=o,
而'a2b2c2d2二4（—f）22（*亠,-'-•"：
•）8f匕2；.,「，22丄眉2
44
2
二（8-f）
-4'
2
16-f2_d°，即5f2-16f^0.
47
故f的最大值为半，最小值为。
・
5
七、数形结合法
例7已知a、b都是小于1的正数，求
、、.a?
—b^,a2（1_b）2（1—a）2（1—b）2
’—a）2—b2的最小值.
解对形如、口的问题，不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件，构造相应的几何图形，并根据图形中边与边之间的关系解决问题•
如图1,构造边长为1的正方形ABCD，P是正方形内一点，它到AB、BC的距离分别为a、b，即PG=a，PH=b，则由勾股定理，易得
图1
BPFa2b2
PD（1—a）2（1—b）2
AP「a2（1-b）2
PC-（1-a）2b2
AC=BD=72.
QAPPC—AC，PBPD_BD,贝UAPPBPCPD—2AC,
.」a^,a~（Cb）^.（Ca）^（Cb）^,（Ca）^b2_^2即所求最小值2、2.
八、构造一元二次方程
例8若2x23xy2y2"，求xyx的最小值.
解将2x23xy2y2.1配方，得
2（xy）2=1■xy①
^设k二xyxy
贝U1xy=k-（xy）1
•••方程①可构造为以xy为主元的一元二次方程：
2（xy）2（xy）-k-1=0
Qxy是实数，V0
即12-42（-k-1）0
解之得k_一9
8
即xyxy的最小值*
8
点评此题巧妙运用了构造方程的思想，并
利用一元二次方程根的判别式求得k的最值.
九、构造函数
由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此解决最值问题离不开函数，我们常利用构造函数法使问题得到解决.
例9求代数式：
xC2的最值.解设Q=x1—2x（—1_x,）
Q=x,1—x2=sin:
J-sin2:
■
=sin：
cos：
=-sin2：
2
Q-1_sin2_1
Q最小值为-2，最大值为2
十、零点分段讨论法
例10当x1£6时，求函数y=xx-2x1的最大值.
分析先由条件x+1W6，求出x的取值范围，再用“零点分段讨论法”去掉函数y中的绝对值符号，然后求出y在各个区段上的最大值并加以比较，从中确定出在取值范围内的最大值.
解由|x+1|《66,知-7MXM5.
当-7^x=：
0时，
22
y=-x-2x1=-（x1）2
当0乞x乞5时,
y=x2-2x1=（xT）2
故当x=5时，函数y有最大值16.
对于最值问题，还有更多的方法（如消元法、共轭配对法、数形结合法、和差代换法、判别式法、参数法、等式变形法、待定系数法、平均值不等式法等），这里不再赘述.
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