第六章4生活中的圆周运动.docx
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第六章4生活中的圆周运动
第六章4生活中的圆周运动
问题?
在铁路弯道处，稍微留意一下，就能发现内、外轨道的高度略有不同。
你能解释其中的
原因吗？
圆周运动是一种常见的运动形式，在生活中有着广泛的应用。
火车转弯
火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度。
是什么力使它产生向心加速度?
与汽车轮胎不同的是，火车的车轮上有突出的轮缘（图6.4-1）。
如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源（图6.4-2）。
但是，火车质量太大，靠这种办法得到向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力过大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
图6.4-2如果两轨高度相同，外轨作用在轮缘上的力F提供了向心力
如果在弯道处使外轨略高于内轨（图6.4-3），火车转弯时铁轨对火车的支持力Fn的方
向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了
一部分向心力。
这就减轻了轮缘与外轨间的挤压。
在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定
的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持
力Fn的合力来提供。
FN
l「F
G
图6.4-3重力G与支持力Fn的合力F提供了向心力
从这个例子我们再一次看出，向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，
只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力。
如果认为做匀速圆周运
动的物体除了受到另外物体的作用，还要再受一个向心力，那就不对了。
思考与讨论
高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。
说说这样设计的
原因。
汽车过拱形桥
汽车过拱形桥时的运动也可以看作圆周运动。
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v前
进，设桥面的圆弧半径为r，我们来分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力。
选汽车为研究对象。
分析汽车所受的力（图6.4-4），如果知道了桥对汽车的支持力Fn，
桥所受的压力也就知道了。
图6.4-4汽车通过拱形桥
汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力Fn,它们的合力就是使汽车做圆周运动的向
心力F。
鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为
F=G—Fn
当汽车通过桥的最高点时，根据牛顿第二定律F=ma,有
2
F=m~
r
所以
2
VG—Fn=m"^
由此解出桥对车的支持力
2
VFn=G—mf
汽车对桥的压力Fn与桥对汽车的支持力Fn是一对作用力和反作用力，大小相等。
所以
压力的大小为
Fn'=G—m—
r
由此可以看出，汽车对桥的压力Fn小于汽车所受的重力G,而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小。
试分析，当汽车以越来越大的速度通过拱形桥的最高点时，会发生什么
现象？
汽车在拱形桥上但不在最高点时，又该如何分析汽车所受的向心力？
公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。
汽车通
过凹形路面的最低点时（图6.4-5），车对地面的压力比汽车所受的重力大些还是小些？
同
学们可以仿照上面的方法自己进行分析。
Fn
G
图6.4-5汽车通过凹形路面
思考与讨论
地球可以看作一个巨大的拱形桥（图6.4-6）,桥面的半径就是地球的半径R（约为6400
km）。
地面上有一辆汽车在行驶，所受重力G=mg,地面对它的支持力是Fn。
图6.4-6地球可以看作一个巨大的拱形桥
根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小。
会不会出现这样的情况：
速度大到一定程度时，地面对车的支持力是0?
这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？
驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？
他这时可能有什么感觉？
航天器中的失重现象
上面“思考与讨论”中描述的场景其实已经实现了，不过不是在汽车上，而是在航天器
中。
我们以绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船为例做些说明。
当飞船距地面高度为100〜200
km时，它的轨道半径近似等于地球半径R,航天员受到的地球引力近似等于他在地面受到
的重力mg。
有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，这是错误的。
正
是由于地球引力的存在，才使航天器连同其中的乘员有可能做环绕地球的圆周运动。
除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力Fn。
引力与支持力的合力
为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，即
2
V
mg—Fn=mR
也就是
v2
Fn=m（g—R）
由此可以解出，当v=Rg时座舱对航天员的支持力Fn=0，航天员处于完全失重状态。
这里的分析仅仅针对圆轨道而言。
其实任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器的内部，
都是一个完全失重的环境。
例如向空中任何方向抛出的容器，其中的所有物体都处于完全失
重状态。
离心运动
做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。
但是物体没有飞出去，
这是因为向心力在拉着它，使它与圆心的距离保持不变。
一旦向心力突然消失，物体就会沿
切线方向飞出去。
除了向心力突然消失这种情况外，在合力不足以提供所需的向心力时，物体虽然不会沿
切线飞去，也会逐渐远离圆心（图6.4-7）。
图6.4-7物体的离心运动与受力情况
这里描述的运动叫作离心运动。
离心运动有很多应用。
例如，洗衣机脱水时利用离心运
动把附着在物体上的水分甩掉；纺织厂也用这样的方法使棉纱、毛线、纺织品干燥。
在炼钢
厂中，把熔化的钢水浇入圆柱形模子，模子沿圆柱的中心轴线高速旋转，钢水由于离心运动
趋于周壁，冷却后就形成无缝钢管。
水泥管道和水泥电线杆的制造也可以采用这种离心制管技术。
借助离心机，医务人员可以从血液中分离出血浆和红细胞（图6.4-8）。
图6.4-8医务人员用离心机分离血液
离心运动有时也会带来危害。
在水平公路上行驶的汽车，如果转弯时速度过大，所需向
心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax,汽车将做离心运动而造成事故（图6.4-9）。
因此，
在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。
图6.4-9汽车转弯时速度过大会造成交通事故
高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速。
转速过高时，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需向心力，离心运动会使它们破裂，酿成事故。
练习与应用
1.如果高速转动的飞轮的重心不在转轴上，运行将不稳定，而且轴承会受到很大的作用力，加速磨损。
图6.4-10中飞轮半径r=20cm,00为转动轴。
正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是0。
假想在飞轮的边缘固定一个质量m=0.01kg的小螺丝钉P,当飞
轮转速n=1000r/s时，转动轴00受到多大的力？
2•有一种叫“飞椅”的游乐项目（图6.4-11）。
长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。
转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。
当转盘以角速度3匀
速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为Qo不计钢绳的重力。
分析
转盘转动的角速度3与夹角Q的关系。
3•质量为2.0X103kg的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为1.4
x104N。
汽车经过半径为50m的弯路时，如果车速达到72km/h,这辆车会不会发生侧滑？
4•有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。
（1）汽车到达桥顶时速度为5m/s,汽车对桥的压力是多大？
（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
（3）汽车对地面的压力过小是不安全的。
从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。
对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
（4）如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？
5•质量为25kg的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁2.5m。
秋千摆到最低点时，
如果小孩运动速度的大小是5m/s,他对秋千的压力是多大？
复习与提高
A组
1•请根据加速度的特点，对以下七种运动进行分类，并画出分类的树状结构图：
匀速直线运动；匀变速直线运动；自由落体运动；抛体运动；平抛运动；匀速圆周运动；变速圆周运动。
2•图6-1是一皮带传动装置的示意图，右轮半径为r,A是它边缘上的一点。
左侧是一
轮轴，大轮半径为4r,小轮半径为2r。
B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。
C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。
如果传动过程中皮带不打滑，那么A、B、C、D点的线速
度、角速度、向心加速度之比分别是多少？
3•在空间站中，宇航员长期处于失重状态。
为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图6-2所示。
圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。
已知地球表面的重力加速度为g,圆环的
半径为r，宇航员可视为质点，为达到目的，旋转舱绕其轴线匀速转动的角速度应为多大？
图6-2
4•如图6-3所示，长L的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆中心0有一竖直方向的固定转动轴，小球A、B的质量分别为3m、m。
当轻杆以角速度3绕轴在水平桌面上转动时，求转轴受杆拉力的大小。
图6-3
5.如图6-4所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动。
滚筒上有很多漏水孔，
滚筒转动时，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。
如果认为湿衣服
在竖直平面内做匀速圆周运动，那么，湿衣服上的水是在最低点还是最高点时更容易甩出？
请说明道理。
图6-4
6•波轮洗衣机中的脱水筒（图6-5）在脱水时，衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。
某洗衣机的有关规格如下表所示。
在运行脱水程序时，有一质量m=6g的硬币被甩到桶壁上，
随桶壁一起做匀速圆周运动。
求桶壁对它的静摩擦力和弹力的大小。
在解答本题时可以选择
表格中有用的数据。
重力加速度g取10m/s2。
图6-5
型号―
XX
额定电压、频率
~220V、50Hz
额定脱水功率
225W
质量
31kg
脱水转速
600r/min
脱水筒尺寸
直径300mm，高370mm
外形尺寸
长555mm，宽510mm，高870mm
7•如图6-6所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心0的对称轴00重合。
转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的
小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受
到的摩擦力恰好为0,且它和O点的连线与00之间的夹角B为60°重力加速度为g。
求转台转动的角速度。
图6-6
B组
1.如图6-7所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。
一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后
落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。
图6-7
（1）能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
（2）能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
2.如图6-8所示，做匀速圆周运动的质点在时间t内由A点运动到B点，AB弧所对
的圆心角为0o
tJ
*0
图6-8
（1）若AB弧长为I，求质点向心加速度的大小。
（2）若由A点运动到B点速度改变量的大小为求质点做匀速圆周运动的向心加速度的大小。
3.如图6-9所示，带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速n=20r/s。
在暗室中用每秒闪光21次的频闪光源照射圆盘，求观察到白点转动的方向和转动的周期。
图6-9
4•如图6-10所示，一长为I的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为3的匀速圆周运动，重力加速度为go
川&jB
图6-10
（1）小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
（2）小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力。
5.如图6-11所示，质量为m的小球用细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为go
图6-12
（1）
60m,要使自行车
某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为不受摩擦力作用，其速度应等于多少？
（2）若该运动员骑自行车以18m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是100kg，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少？
方向如何？
（1）若悬挂小球的绳长为I,小球做匀速圆周运动的角速度为3,绳对小球的拉力F有多大？
（2）若保持轨迹圆的圆心0到悬点B的距离h不变，改变绳长I，求小球做匀速圆周运动的角速度3与绳长I的关系。
（3）若保持轨迹圆的圆心0到悬点B的距离h不变，改变绳长I，求绳对A球的拉力F与绳长I的关系。
6.某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。
当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。
已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为4，重力加速度为g,忽略空气阻力。
（1）绳能承受的最大拉力是多少？
（2）保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时
达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？
最大水平距离是多少？
7.图6-12是场地自行车比赛的圆形赛道。
路面与水平面的夹角为15°sin15=0.259,
cos15=0.966，不考虑空气阻力，g取10m/s123。
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