小学数学总复习.docx

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小学数学总复习

专题一，数与计算

整数及其运算

一、整数的认识

1、自然数：

用来表示物体的个数和0、1、2、3、4、……叫自然数。

0是最小的自然数，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

2、整数：

自然数都是整数。

整数不只包含自然数，整数还包括负整数。

3、十进制计数法：

逢十进一

4、计数单位：

个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、……

5、数位：

计数时，计数单位按一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

例：

9357中“5”所在的数位是十位。

6、位数：

位数是指一个数用几个数字写出来，有几个数字就是几位数。

例：

最小的两位数是？

10。

最大的两位数是？

99。

最大的三位数是？

999。

7、高位和低位

在一个数里，某一位左边的数位，就是这一位以及它右边数位的高位。

一个数左起的第一位，是这个数的最高位。

某一位右边的数位，是这一位以及它左边数位的低位。

一个数右起的第一位，是这个数的最低位。

注意：

一个数的最高位不能是0。

8、整数的读法：

四位分级法。

万以内的数：

例如：

4321，4001，4020，365

万以上的数：

例如：

5030010005读作五十亿三千零一万零五，410053000读作四亿一千零五万三千

9、整数的写法

例：

“八十万三千二百”写作803200，“四十二亿三千万零三十”写作4230000030

10、整数的改写和近似数

（1）用“万”、“亿”作单位改写整数，划去4个0或8个0，同时加上“万”或“亿”字。

例：

100000＝10万，30200000000＝302亿，43580＝4.358万，1350000000＝13.5亿

（2）近似数

①四舍五入法：

732890≈73万，1970084000≈20亿

②进一法：

例：

一个油桶装油100千克，425千克需要多少个油桶？

（≈5桶）

③去尾法：

例：

制一台机器用1.2吨钢材，现有39吨钢材，可以制作多少台机器？

（≈32台）

11、整数大小的比较

二、整数四则运算

1、整数加法：

a＋b＝c

性质：

加法交换律（a＋b＝b＋a）、加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

2、整数减法：

a－b＝c,则a＝b＋c,b＝a－c,c＝a－b

性质：

a＋b－c＝a－c＋b，a－b－c＝a－c－b，a＋（b－c）＝a＋b－c,

a－（b＋c）＝a－b－c（a>b＋c）,a－b－c＝a－（b＋c）（a>b＋c）

3、整数乘法：

a×b＝c

性质：

乘法交换律（a×b＝b×a）、乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）、

乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c

4、整数除法：

a÷b＝c（b≠0）

0不能做除数，有余数除法（a÷b＝c……d，余数一定小于除数）

性质：

a÷b÷c=a÷c÷b，a×b÷c=a÷c×b，a÷（b×c）=a÷b÷c，a÷（b÷c）=a÷b×c

（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c，（a－b）÷c=a÷c－b÷c

5、整数四则混合运算：

加法和减法被称为第一级运算，乘法和除法被称为第二级运算。

先乘除，后加减，同级运算从左到右的顺序进行计算。

三、整数的整除性

整除：

在自然数范围内两个数相除，除得的商是整数而没有余数。

除尽：

两个数相除，所得的商是整数或有限小数，而没有余数。

整除只是除尽的一种特殊情况。

1、约数和倍数

数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

2、能被2、3、4、5、11等整除的数的特征

（1）一个数的个位上的数字能被2整除，那么这个数  能被2整除。

（2）一个数各位上的数字相加之和，如果能被3或9整除，则这个数也  能被3或9整除。

例：

35690124（弃3或弃9法，把数中3的倍数或0先划去）

（3）一个数的个位数能被5整除，那么这个数一定  能被5整除。

（4）一个数的末两位数字所表示的数，能被4或25整除，那么这个数也  能被4或25整除。

既能被4整除，又能被25整除的数，末两位必定是00，如600，2800。

例：

4736，7650，95000

（5）一个数的末三位数字所表示的数，能被8或125整除，那么这个数也  能被8或125整除。

例：

78375，57192

（6）一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字组成的数的差能被7或11或13整除，那么这个数也  能被7或11或13整除。

例：

4172

3、奇数和偶数

能被2整除的数叫偶数（双数），不能被2整除的叫奇数（单数）。

性质：

（1）任意两个奇数的和或差，一定是偶数。

（2）任意两个奇数的积一定是奇数。

（3）任意两个偶数的和或差，一定是偶数。

（4）任意两个偶数的积，一定是偶数。

（5）一个奇数与偶数的和或差，一定是奇数。

（6）一个奇数与一个偶数的积，一定是偶数。

4、质数、合数与分解质因数

质数：

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫质数，质数也叫素数。

合数：

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫合数。

注意：

0和1既不是质数，也不是合数。

在自然数中，最小的质数是2，最小的合数是4。

质因数：

如果一个整数的约数是质数，这个约数就被称作这个整数的一个质因数。

每一个合数都可以写作几个质数相乘的形式，这个质数叫做这个合数的质因数。

分解质因数：

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。

5、最大公约数与最小公倍数

（1）几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：

12和30的公约数有：

1、2、3、6；12和30的最大公约数是6。

求最大公约数的一般方法：

分解质因数法。

例如18和24，18=2×3×3，24=2×2×2×3，共有的质因数2和3，所以它们的最大公约数2×3=6

最大公约数性质：

两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

例如：

36和24的最大公约数是12

两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

例如36和48的最大公约数是12

互质数：

如果两个数的公约数只有1，那么这两个数叫做互质数（或互素数），或者说这两个数互质。

注意：

区分质数、质因数和互质数的含义。

①两个质数一定是互质数。

例如，2与7、13与19。

②一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。

例如，3与10、5与26。

③1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。

如1和9908。

④相邻的两个自然数是互质数。

如15与16。

⑤相邻的两个奇数是互质数。

如49与51。

⑥大数是质数的两个数是互质数。

如97与88。

⑦小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。

如7和16。

⑧两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。

如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。

⑨两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。

如85和78。

85－78＝7，7不是78的约数，这两个数是互质数。

⑩两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。

如462与221，462÷221＝2……20。

（2）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：

12和8

12的倍数有12、24、36、48、60、72……，8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64、72……

可知，12和8的公倍数有24、48、72……，12和8的最小公倍数是24。

两个数的公倍数的个数是无限的，最小的一个被称为它们的最小公倍数，两个数没有最大公倍数。

求最小公倍数的一般方法：

分解质因数法。

例如15和21，15=5×3，21=3×7，共有的质因数3，21独有的质因数是7、15独有的质因数是5，所以它们的最小公倍数3×5×7=105。

最小公倍数的性质：

两个数的最小公倍数和最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

例如：

4和10

两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

例如：

150是15和25的一个公倍数。

分数及其运算

一、分数的认识

1、分数：

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数（单位“1”可以表示一个数、一个图形、一件物品、一个计量单位、也可以表示一个整体）。

在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示有多少份的数，叫做分数的分子；表示其中的一份的数叫做分数单位。

2、分数的种类：

真分数：

分子比分母小的分数。

假分数：

分子大于分母的分数。

带分数：

一个自然数和一个真分数合并而成的分数。

一个假分数，当分子是分母的倍数时，假分数可化为自然数。

当分母不能整除分子时，可以化为带分数。

3、最简分数：

分子、分母互质的分数。

4、分数的性质：

（1）分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

（2）分数的分子扩大（或缩小）若干倍，分母不变，那么分数值也扩大（或缩小）相同的倍数。

（3）分数的分母扩大（或缩小）若干倍，分子不变，那么分数值就缩小（或扩大）相同的倍数。

5、约分和通分：

（1）约分：

把一个分数化成同它相等的，但分子、分母都比较小的分数。

通常约分后应得到最简分数。

约分的方法：

①逐步约分：

用分子和分母的公约数（1除外）去除分子和分母，直到最简。

②一次约分：

用分子和分母的最大公约数去除分子和分母，直接得到最简分数。

说明：

分母是分子的倍数，约分后是几分之一。

分子分母末尾有0的，先划去同样多的0，再约分。

对假分数，可约分后化为带分数，或化成带分数后再约分，但注意不要漏写整数部分的数。

注意，约分时，不要把作为除数的公约数与约简的结果相混。

（2）通分：

分母相同的几个分数叫同分母分数。

分母不同的几个分数叫异分母分数。

通分就是不改变分数的大小，把几个异分母分数化成分母相同的分数，通分时所化成的相同的分母叫公分母，其中一个最小的叫做这几个异分母分数的最小公分母。

通分的方法：

先求出几个分数的分母的最小公倍数，用它作为这几个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数化成以公分母为分母的分数。

6、分数大小的比较：

（1）整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。

（2）整数部分相同，分子也相同，分母小的分数比较大。

（3）分子、分母都不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数分别化成小数再比较。

（4）比较假分数的大小，可以把假分数化成带分数或整数后再比较。

二、分数四则运算

1、分数的加法和减法：

①同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。

②异分母分数相加减，先通分转化成同分母分数，再计算。

注意：

分数加减法的最后计算结果要约成最简分数。

如果是假分数的要化成带分数或整数。

整数加减法的运算定律和运算性质同样适用于分数加减法。

2、分数的乘法和除法：

①分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

②分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

③带分数乘法，先把带分数化成假分数，再计算。

注意：

计算分数乘法时，能约分的要先约分，然后再计算。

计算结果是假分数的要化成带分数或整数。

倒数：

乘积是1的两个数叫做互为倒数，a×b＝1（a≠0,b≠0）,a叫做b的倒数，b叫做a的倒数。

④分数除法，甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

3、分数的四则运算：

运算顺序和整数四则运算顺序相同。

（1）整数运算定律对分数同样适用，它可以使一些分数四则混合运算变得简便。

（2）计算过程中，有时保留假分数计算比较简便，但最终的结果要化成最简分数。

小数及其运算

一、小数的认识

1、小数：

分母是10、100、1000、……的分数可以仿照整数的写法，写在整数个位的右面，用圆点隔开，用来表示十分之几、百分之几、千分之几…的数叫做小数。

2、小数的分类：

（1）按小数的整数部分是否为0，小数可分为纯小数和带小数。

一个整数部分是0的小数叫纯小数。

一个整数部分不是0的小数叫带小数。

（2）根据小数部分的位数是否是有限的，小数可分为有限小数和无限小数。

小数部分的位数是有限的小数叫有限小数。

小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。

小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫无限循环小数。

一个无限小数，小数部分各数位上的数字不是循环的，这样的小数叫无限不循环小数。

3、小数的性质：

小数点移动引起小数大小变化。

小数点向右移动，原数扩大。

反过来讲，把原数扩大，小数点向右移动。

数位不足，补0。

小数点向左移动，原数缩小。

反过来讲，把原数缩小，小数点向左移动。

数位不足，补0。

4、小数大小的比较：

5、分数和小数的互化：

（1）分数化小数

①分母是10、100、1000……的分数，可以直接写成小数。

②把某些分数化成分母是10、100、1000……的分数。

③分数不能化成有限小数，可以用循环小数表示，也可以按精确度的要求，取近似值。

如三分之一。

说明：

辨别分数能否化成有限小数，看最简分数的分母除了2和5以外，不含有其它质因数，即可。

（2）有限小数化分数

根据小数的意义，可直接写成分母是10、100、1000……的分数，去掉小数点得到的数作分子。

（3）循环小数化分数

①纯循环小数化分数：

分子就是一个循环节的数字所组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节数字的个数，能约分的要约分。

②混循环小数化分数：

第二个循环节以前的数字组成的数，减去不循环的数字组成的数之差作分子；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同，最后化为最简分数。

二、小数四则运算

小数的加、减、乘、除运算的意义与整数相同。

三、整数、分数、小数四则混合运算

运算顺序与整数四则混合运算顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律适用分数、小数。

一般地，分数、小数的加减混合运算，通常把分数化为小数计算，当题目中的分数不能都化成有限小数，则把小数化为分数计算；分数、小数的乘除混合运算，可以直接按分数乘除混合运算进行，当除数是小数时，把它化成分数通常可使计算简便。

计算方法

一、常用的速算方法

1、分组法：

根据运算定律，运算性质，以及和差积商的一些性质，对算式中的运算进行重新整合，使之便于计算。

2、补数凑整法：

对于算式中接近整十、百……的数，通过补数，使其变成整十、百……的数，可简化计算。

3、基准数法：

若干个数都接近某数的数相加，可把某数作基准数，然后把基准数与相加数的个数相乘，再加上个数与基准数的差，就得到计算结果。

4、分解法：

5、转化法：

6、公式法：

二、常用的算式

25×4＝100，25×6＝150，125×8＝1000，1÷2＝0.5，1÷4＝0.25，1÷8＝0.125

三、审题分析的常用方法

认真审题，弄清数学名词、术语的含义，确认问题是什么（求什么），在理清题目中叙述的数量关系的基础上，正确列式解答。

有些题目没有直接给出数字，通过叙述的形式出现在题目中，如“最小的自然数与最小的合数乘积是多少？

”由自然数和合数的含义可知，最小的自然数是0，最小的合数是4。

1、综合法：

由已知的条件逐步推导出所求问题的分析方法，即“从已知，看未知，逐步推向问题”。

2、分析法：

从问题出发，逆向分析，逐步找出解决问题的条件，即“从问题，看需知，逐步推向已知”。

专题二，常用计量单位

常用计量单位

量：

是事物存在的规模和发展的程度，如事物的多少、大小、轻重、高低、速度的快慢等。

计量：

把一个未知的量和另一个作为标准的同类量进行比较的过程，称为计量。

计量是一种特殊形式的测量，是以保证单位统一、量值准确一致为目的的测量。

计量单位：

用来作为计量标准的量叫做计量单位。

例如：

用米作为计量单位去测量操场的长和宽的过程就是计量。

一、长度单位

1、长度：

两点之间的距离叫做长度。

2、长度单位：

测定物体长度的计量单位，称为长度单位。

常用的长度单位有千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）等。

长度单位的主单位是米。

1km=1000m，1m=10dm，1dm=10cm，1cm=10mm

二、质量单位

要知道物体的轻重，必须要用质量单位来计量。

常用的质量单位有吨（t）、千克（kg）、克（g）。

质量单位的主单位是千克。

1t=1000kg，1kg=1000g

三、时间单位

1、时间：

一般把地球自转一周的时间叫做一天。

一天分为24小时，规定子夜零点作为一天的起算时刻。

地球绕太阳公转一周的时间叫做一年。

2、时间单位：

世纪、年（平年、闰年）、季度、月（大月、小月、二月）、周、日、时、刻、分、秒。

3、判断平、闰年的方法：

根据精确测定，地球绕太阳一周约为365天5小时48分46秒。

把一年定为365天，叫做平年，这样4年就相关23小时15分4秒，接近一天，把这一天加在2月里，这一年就是366天，叫做闰年。

这样算起来，每4年又多算了44分56秒，每400年多算了3天，为了便于计算，就规定为“四年一闰，百年不闰”。

判断某一年是闰年，用这一年的年份除以4，公历年份是整百的，要除以400，刚好能整除的是闰年。

例：

1980、1984、1996、2000是闰年，1995、1800、1900不是闰年。

四、面积单位

1、面积：

物体表面或围成的平面图形的大小，叫做它的面积。

2、面积单位：

测定图形面积时所选定的标准面积，叫做面积单位。

常用的面积单位有平方米（m2）、平方分米（dm2）、平方厘米（cm2）、平方毫米（mm2）等。

面积单位的主单位是平方米（m2）。

1m2=100dm2，1dm2=100cm2，1cm2=100mm2

五、体积单位

1、体积：

物体所占空间的大小，叫做体积。

2、体积单位：

计量物体体积的单位，叫做体积单位。

常用的体积单位有立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）、立方毫米（mm3）等。

在计量液体如药水、汽油的体积时，常用升和毫升做单位。

1m3=1000dm3，1dm3=1000cm3，1cm3=1000mm3

1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米

3、容积：

箱子、油桶、仓库等所能容纳的物体的体积，通常叫做它们的容积。

计量容积，用体积单位。

常用的长度、面积、体积单位之间的进率

单位

单位名称

相邻单位间进率

长度

米、分米、厘米、毫米等

10

面积

平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米等

100

体积

立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米等

1000

六、人民币的认识

基本单位是元，辅助单位是角、分。

人民币有多大面值的？

专题三，百分数、比和比例

百分数

一、百分数的意义和写法

1、百分数：

表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。

百分数也叫百分率或百分比。

百分数的单位是1﹪。

百分数是分数的一种特殊情况。

百分数后面不能带计量单位。

2、百分数与分数的区别：

分母是100的分数有两种情况：

①当某个分数后面带上计量单位时，表示一个具体量，如长为（100分之17）米；②当某个分数后面不带计量单位，表示两个数的倍比关系，例如长是宽的（100分之17）。

百分数只能是上述后一种情况，它的后面不能带计量单位。

二、百分数和分数、小数的互化

1、百分数和小数互化：

①小数化成百分数：

把小数点向右移动两位，后面添上百分号﹪。

例如：

0.15=15﹪，0.8=80﹪

②百分数化成小数：

去掉百分号﹪，同时把小数点向左移动两位，位数不足补0。

例如：

120﹪=1.2

2、百分数和分数互化：

①分数化成百分数：

通常把分数化成小数，除不尽的按要求保留相应位数小数（如无要求，一般保留三位小数），再把小数化成百分数（4分之1）=0.25=25﹪，（3分之1）≈0.333=33.3﹪

②百分数化成分数：

先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。

60﹪=（100分之60），2.5﹪=（100分之2.5）=（40分之1）

三、税率和利率

1、税率：

应纳税率与各种收入的比率叫税率。

例如：

光明饭店七月份营业额400万元。

如果按营业额的5﹪缴纳营业税，这个饭店七月份应缴纳营业税400×5﹪=20（万元）。

2、利率：

存入银行的钱叫本金，取款时银行多付的钱叫做利息。

国家规定存款的利息要把20﹪的利息纳税。

国债的利息不纳税。

利息与本金的百分比叫做利率。

利率常用百分数来表示。

例如：

1999年6月10日中国人民银行公布的整存整取一年期的年利率是2.25﹪,二年期的年利率是2.43﹪，三年期的年利率是2.70﹪。

（利息的计算公式：

利息=本金×利率×时间）小红1999年10月10日把10000存入银行，存定期三年。

到2002年10月10日，小红可以取回存入的10000元本金，到期时：

利息是10000×2.70﹪×3=810（元），利息的税金是810×20﹪=162（元）

税后利息是810×（1-20﹪）=648（元），小红实得的本金和税后利息是10000+648=10648（元）

四、其它

1、成数：

我国传统算术中，以“成”表示十分之一。

如“三成”就是30﹪，“九成五”就是95﹪。

2、折扣：

折扣是商业用语，打折扣表示按成数低价出售商品。

几折就是百分之几。

“九折”就是90﹪，“八五折”就是85﹪。

比

一、比的意义

两个数相除，又叫做两个数的比。

例如：

课桌面长7分米，宽4分数，问长是宽的几倍，宽是长的几分之几？

我们可以把这两个数量之间的关系说成：

长和宽的比是7比4，宽和长的比是4比7。

二、比的读、写法及各部分的名称

比用比号“﹕”或“－”表示。

例如：

5比4，写作5﹕4或，读作五比四。

在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。

三、比与除法、分数的关系

主要区别在于：

①比表示两个数的倍数关系；②除法是一种运算；③分数是一种数。

比、除数和分数之间的对应关系表

比

前项

比号“﹕”

后项

比值

除法

被除数

除号“÷”

除数

商

分数

分子

分数线“－”

分母

分数值

四、比的性质

  比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

例如：

14﹕21=（14÷7）﹕（21÷7）=2﹕3，

五、比的化简

1、最简整数比和比的化简：

比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比便是最简整数比。

把两个数的比，化成最简整数比，称为比的化简。

2、化简比的方法：

①整数比的化简：

前项和后项都除以它们的最大公约数。

如12﹕32=（12÷4）﹕（32÷4）=3﹕8

②含小数的比的化简：

根据小数点移动规律，把前项、后项都扩大相同倍数，化为整数比。

③含分数的比的化简：

用分母的最小公倍数去乘前项、后项，把分数比化成整数比。

比例

一、比例的意义和基本性质

1、比例的意义：

表示两个比相等的式子叫比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

2、基本性质：

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

3、判断两个比是否成比例：

看它们的比是否相等，或者看两外项的积是否等于两内项的积。

4、比和比例：

比由两个数组成，表示两个数的倍比关系；