联立模型的估计.docx

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联立模型的估计

联立模型的估计

1-2.估计方法、递归模型与OLS

对于由M个方程组成的结构联立模型

BY＋ΓX=U

X为先决变量，个数为K，Y为内生变量，个数为M。

对联立方程模型的估计目前有两种方法：

有限信息即单一方程估计法和系统估计法或完全信息法。

单一方程法或有限信息法是指对系统中的方程逐一进行估计。

由于这种逐一估计只考虑所估计的方程的信息，如出现在这个方程中的内生变量和外生变量等信息，所以称为有限信息法。

若同时估计系统的所有方程，需考虑被某个方程排除的变量（即对这些被排除变量的系数约束为0）而对系统所形成的约束，故称为完全信息法。

但完全信息法计算成本大、对设定误差较为敏感，若某个方程有设定误差，则这种误差就会积累和传递，完全信息法还可能导致参数估计的非线性解。

所以，这种完全信息法并不常用，常用的是有限信息法。

递归模型和OLS.我们知道，联立性是由结构方程中有作为解释变量的内生变量与残差相关所引起，导致OLS是有偏的。

因此，若结构模型的设定在当前的方程中作为解释变量的内生变量只有前面方程中所出现的内生变量，这样的结构模型为递归模型。

以3个内生变量和2个外生变量表述这一问题，即

（1）

（2）

（3）

假定

Cov（u1t,u2t）=Cov（u1t,u3t）=Cov（u2t,u3t）=0（4）

这一假定是指残差u1﹑u2﹑u3同期之间不相关。

将这一方程组用矩阵表示即有B为下三角阵。

注意，我们对残差假定为无相关，这种无相关性是不同方程的残差之间同期没有相关性，即

，取消这一假定，即方程的残差之间同期是相关的，这种模型称为似乎无关回归模型（SUM）。

考察第一个方程，显然符合经典假设的基本条件，即右边为外生变量或右边的变量与残差不相关，且u1为零均值同方差的随机误差项。

第二个方程中的内生变量是否导致联立性？

将第一个方程代入第二个方程，并由假设

，所以第二个方程没有联立性，类似的，第三个方程也没有联立性。

直观地看,Y1影响Y2,但Y2不影响Y1,进一步,Y1和Y2影响Y3,但Y3不影响Y1.因此，从第一个方程开始，由于它不出现其它的内生变量，第二个方程除了它本身外，只有第一个方程所出现的内生变量，依此类推，这种结构对内生变量是递归出现的，故称为递归模型，由于递归，使联立性消失，所以可用OLS逐一地对每个方程进行估计。

一般的，将这种结构的模型表达为矩阵和向量形式，有

（5）

则B阵为下三角阵，其主对角线上的元素为1.

不难看出，这种结构与理论可能不一致。

3.恰当识别的估计：

ILS

所谓恰好识别，是从诱导型的参数能解出唯一的结构参数。

因此，对诱导型模型进行OLS，然后再从诱导型参数估计解出结构参数的估计。

这种方法称为间接最小二乘法（ILS）,其步骤为：

1.对结构模型

（6）

求对应的诱导型为

（7）

2.对诱导型的每一个方程逐个进行OLS估计，得到

，由于诱导型方程中的解释变量是前定的，所以与对应的残差不相关，所以这一估计所得到的是一致估计量，在X不含有内生变量的滞后项且分布为正态分布时，还是最优或渐近有效估计；

3.由诱导型参数与结构参数的关系解出结构参数的估计。

对于结构参数，这显然是间接的，故称为ILS,但对诱导型参数的估计是直接的。

对于ILS估计量的性质，一般而言，等价于诱导型估计量的性质。

在诱导型（7）中，若X中含有内生变量的滞后项即先决变量，则OLS产生一致估计；若不含有先决变量，且残差没有自相关并服从正态分布，则产生无偏和（或）渐近有效估计。

这些性质适用于ILS。

一般的，ILS估计量为一致估计量。

例子．1.需求和供给模型

Dt＝α0+α1Pt+α2Xt+u1t

St=β0+β1Pt+u2t

Qt=Dt=St

2.诱导型。

假定X表示收入的外生变量，P和Q相依，上述结构联立方程组的诱导型为

Pt=∏0+∏1Xt+w1t

Qt=∏2+∏3Xt+w2t

对上述诱导型进行OLS，产生诱导型参数的估计，

对结构方程进行识别，应用阶条件，需求方程含有全部变量，所以不能识别，而供给方程恰好排除了M－1＝2－1＝1个变量，所以为恰当识别。

从上述诱导型估计中解出对应的供给结构参数的估计（ILS）为

3.数据为表1.诱导型估计为

DependentVariable:

P

Method:

LeastSquares

Date:

10/15/04Time:

11:

20

Sample:

19701991

Includedobservations:

22

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

72.30908

9.200218

7.859496

0.0000

X

0.004343

0.000985

4.410370

0.0003

R-squared

0.493047

Meandependentvar

109.0909

AdjustedR-squared

0.467699

S.D.dependentvar

24.97410

S.E.ofregression

18.22084

Akaikeinfocriterion

8.729517

Sumsquaredresid

6639.983

Schwarzcriterion

8.828703

Loglikelihood

-94.02469

F-statistic

19.45136

Durbin-Watsonstat

0.492983

Prob（F-statistic）

0.000270

DependentVariable:

Q

Method:

LeastSquares

Date:

10/15/04Time:

11:

21

Sample:

19701991

Includedobservations:

22

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

84.07021

4.896013

17.17116

0.0000

X

0.001983

0.000524

3.783873

0.0012

R-squared

0.417210

Meandependentvar

100.8636

AdjustedR-squared

0.388071

S.D.dependentvar

12.39545

S.E.ofregression

9.696453

Akaikeinfocriterion

7.467905

Sumsquaredresid

1880.424

Schwarzcriterion

7.567091

Loglikelihood

-80.14696

F-statistic

14.31770

Durbin-Watsonstat

1.513487

Prob（F-statistic）

0.001166

由诱导型估计解出对应的供给结构参数的估计为

所以应用ILS估计的供给方程为

Qt=51.06+0.46Pt+e2t

如直接将Q对P回归，有

DependentVariable:

Q

Method:

LeastSquares

Date:

10/15/04Time:

11:

22

Sample:

19701991

Includedobservations:

22

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

65.17187

9.329387

6.985654

0.0000

P

0.327175

0.083457

3.920262

0.0008

R-squared

0.434524

Meandependentvar

100.8636

AdjustedR-squared

0.406251

S.D.dependentvar

12.39545

S.E.ofregression

9.551332

Akaikeinfocriterion

7.437746

Sumsquaredresid

1824.559

Schwarzcriterion

7.536932

Loglikelihood

-79.81521

F-statistic

15.36845

Durbin-Watsonstat

1.856899

Prob（F-statistic）

0.000848

与ILS相比较可知，这是一个具有显著偏差的估计。

4.2SLS

2SLS一般适用于过度识别的模型。

其基本思想是,联立性偏差是由于内生解释变量作为回归因子与残差相关而引起,将所有随机解释变量即出现在结构方程右边的内生变量,对所有先决变量回归,产生对应的估计（或称模拟或先决）值,将这些模拟值替代对应的随机解释变量,从而消除随机解释变量与残差的相关,这是第一阶段;对替换后的结构方程回归,由于结构方程中的随机解释变量已被其先决值或预测值所取代,所以结构方程已基本没有联立性,故再对结构方程逐一回归,即进行OLS,得到结构参数的估计，这是第二阶段。

由此得到的估计为一致估计量。

这一估计思想是将内生变量的模拟值作为随机解释变量的工具（代理）变量,由于这一替代变量与对应的残差不相关,但与随机解释变量相关,所以称为这个随机解释变量的工具变量。

将上述二阶段估计（2SLS）应用于下述收入与货币联立模型.

收入函数：

（8）

货币供给函数：

（9）

其中

为收入、

为货币供给即货币存量，这是2个内生变量。

为投资、

为政府对于商品和服务的支出，这是2个外生变量，没有内生变量的滞后项（先决变量）。

在（9）中，随机解释变量为

，与残差

相关。

2SLS的步骤：

第一阶段:

将

对所有先决变量（这里为

和

）回归，有

（10）

第二阶段:

将

替代过度识别的货币供给方程（9）中的

，有

（11）

显然,

与

相关但

与

不相关,所以

实际上可作为

的工具（替代）变量,在（9）中,联立性导致

与残差

相关，但在（11）中，

与新的残差（

）在大样本下不相关即渐近不相关（小样本情况下是相关的）。

故直接对（11）进行OLS，得到过度识别的货币供给的结构参数的估计，这是一致估计。

类似的，对于（8）中的

，用

（12）

替代后回归，将产生收入方程的结构参数的2SLS.

2SLS的特点：

1.它可以用于估计联立系统中的任一个方程而不必考虑其它方程所含的信息。

如上述对货币供给方程的2SLS，此时没有考虑收入方程。

这一方法产生一致估计，且方便使用。

2.对过度识别方程中的同一个参数，ILS可能产生多个估计，但2SLS产生唯一估计。

3.这种估计只需知道联立系统中外生或先决变量的个数，不必知道其它内生变量的个数和出现在哪些方程（除所估计的方程之外）之中。

4.2SLS是专门对过度识别方程所设计的估计方法，但也适用于恰好识别的方程，此时，ILS与2SLS相同。

5.第一段的回归即诱导型回归所产生的

很高，如大于0.8，说明内生变量的原始值与模拟值很接近，隐含了内生变量的原始值与所在方程的残差的相关很小，于是经典的OLS与2SLS是差可能很小。

另一方面，若第一段的

很低，则表明内生变量的原始值与模拟值的偏差较大，这种偏差必然导致第二段的回归效果不好，使得第二段回归几乎没有意义。

换句话说，内生变量的模拟值是一个不理想的工具变量。

6.第二段回归的残差的标准差是复合扰动（如

）的标准差，要给出所估计的结构方程的残差的标准差，还需从标准差的定义解出。

7.性质。

若X中不含内生变量的滞后项即先决变量，外生变量在重复抽样中不变，且结构方程的残差为独立同分布、零均值和同方差，则2SLS是一致的，渐近于正态分布。

若先决变量含有内生变量的滞后项，且

则2SLS是一致的。

一般的，这一条件可以得到满足。

若结构方程的诸残差不同期是相关的（如E（u1tu2t-1≠0））（同期不相关的假定为

，并不一定意味着残差之间不同期不相关）,如果残差之间不同期相关,则滞后的内生变量与方程的被解释内生变量在当期就不一定独立,意味着滞后内生变量即先决变量实际上不是先决的,于是TSLS不是一致的.

如将（9）改为

且假定

，显然，上述方程中，先决变量与残差有

所以联立性成立，因此TSLS不产生一致估计量。

详细见Theil:

ifthetriplesresiduals

fort=1,2,…arenotindependentlydistributed,laggedendogenousvariablesarenotindependentofthecurrentoperationoftheequationssystem,whichmeansthatthesevariablesarenotreallypredetermined.Ifthesevariablesareneverthelesstreatedaspredeterminedinthe2SLSprocedure,theresultingestimatorsarenotconsistent.

5例子。

货币需求函数

收入函数：

（8）

货币供给函数：

（9）

1.该联立系统中，K＝2，M＝2，对于收入方程，

，故

K－

＝0，

即收入方程不可识别。

对于货币供给函数，

，由K－

＝2

，所以供给方程为过度识别。

2.2SLS：

第一阶段：

对过度识别的供给方程的诱导型进行回归，即收入（度量GDP）对先决变量（这里外生变量为私人投资和政府支出）回归，结果为

（13）

第二阶段：

将（13）的结果替代货币供给方程中的

，即对（11）回归，其结果为

＝

（14）

这即是2SLS.注意，（14）的标准差是复合残差

的方差所导出的标准差，而不是

的方差所导出的标准差。

如果直接对货币需求函数进行OLS，其结果为

＝

（15）

比较（14）和（15），其差别并不大，但这一结果并不意味着2SLS不适用，事实上，由于阶段1的

＝0.9948很高，隐含了

与其拟合值

（来自诱导型回归）高度相关,它们的数值的差别较小，也隐含了

与来自诱导型回归的残差的相关较弱,使第二阶段回归的结果与对应的OLS差别较小。

这种结果并不是对每一个应用均成立。

3.联立性检验:

检验y1与y2之间的联立性。

1.对

的诱导型进行回归，即

；

2.将

取代货币供给函数中的

，并将

对它进行回归，有

＝

（16）

t=（1.28）（77.02）（2.93）

由于残差

的

，故在1%或5%的显著性水平上拒绝无联立性的原假设，接受联立性存在的备选假设。

例子2.克茉因模型

.

消费方程:

Ct=β0+β1Pt+β2（W+W*）t+β3Pt-1+u1t

（17）

投资方程:

It=β4+β5Pt+β6Pt-1+β7Kt-1+u2t（18）

工资方程:

Wt=β8+β9（Y+I-W*）t+β10（Y+I-W*）t-1+β11t+u3t（19）

恒等式:

Yt+Tt=Ct+It+Gt（20）

恒等式:

Yt=W*t+Wt+Pt（21）

恒等式:

Kt=Kt-1+It（22）

其中C=消费;I=投资;G=政府支出;P=利润;W=民间工资;

W*=政府工资;K=资本存量;T=税收;Y=税后收入;

t=时间.u为随机扰动.

在上述联立模型中,变量C、I、W（W+W*）、Y、P和K为内生变量，变量Pt-1和Kt-1以及Yt-1为先决（或前定）变量，变量G和T为外生变量。

1.OLS估计（17）－（19）

记时间趋势变量t为TT。

1-1.（17）的OLS估计

DependentVariable:

CC

Method:

LeastSquares

Date:

05/08/05Time:

11:

22

Sample（adjusted）:

19211941

Includedobservations:

21afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

16.23660

1.302698

12.46382

0.0000

P

0.192934

0.091210

2.115273

0.0495

W+WSTAR

0.796219

0.039944

19.93342

0.0000

P（-1）

0.089885

0.090648

0.991582

0.3353

R-squared

0.981008

Meandependentvar

53.99524

AdjustedR-squared

0.977657

S.D.dependentvar

6.860866

S.E.ofregression

1.025540

Akaikeinfocriterion

3.057959

Sumsquaredresid

17.87945

Schwarzcriterion

3.256916

Loglikelihood

-28.10857

F-statistic

292.7076

Durbin-Watsonstat

1.367474

Prob（F-statistic）

0.000000

1-2.（18）的OLS估计

DependentVariable:

I

Method:

LeastSquares

Date:

10/15/04Time:

17:

03

Sample（adjusted）:

19211941

Includedobservations:

21afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

10.12579

5.465547

1.852658

0.0814

P

0.479636

0.097115

4.938864

0.0001

P（-1）

0.333039

0.100859

3.302015

0.0042

KLAG1

-0.111795

0.026728

-4.182749

0.0006

R-squared

0.931348

Meandependentvar

1.266667

AdjustedR-squared

0.919233

S.D.dependentvar

3.551948

S.E.ofregression

1.009447

Akaikeinfocriterion

3.026325

Sumsquaredresid

17.32270

Schwarzcriterion

3.225282

Loglikelihood

-27.77641

F-statistic

76.87537

Durbin-Watsonstat

1.810184

Prob（F-statistic）

0.000000

1-3.（19）的OLS估计

DependentVariable:

W

Method:

LeastSquares

Date:

10/15/04Time:

17:

07

Sample（adjusted）:

19211941

Includedobservations:

21afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

-2.410313

1.188468

-2.028085

0.0585

X

0.439477

0.032408

13.56093

0.0000

X（-1）

0.146090

0.037423

3.903734

0.0011

@TREND

（1）

0.130245

0.031910

4.081604

0.0008

R-squared

0.987414

Meandependentvar

36.36190

AdjustedR-squared

0.985193

S.D.dependentvar

6.304401

S.E.ofregression

0.767147

Akaikeinfocriterion

2.477367

Sumsquaredresid

10.00475

Schwarzcriterion

2.676324

Loglikelihood

-22.01235

F-statistic

444.5682

Durbin-Watsonstat

1.958434

Prob（F-statistic）

0.000000

2.诱导型估计

2-1.P的诱导型估计

DependentVariable:

P

Method:

LeastSquares

Date:

10/15/04Time:

17:

20

Sample（adjusted）:

19211941

Includedobservations:

21afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

46.21176

10.90874

4.236214

0.0008

P（-1）

0.809812

0.446898

1.812072

0.0915

KLAG1

-0.213075

0.067436

-3.159664

0.0070

X（-1）

0.018815

0.253753

0.074147

0.9419

TT

0.295485

0.154931

1.907210

0.0772

T

-0.927815

0.392149

-2.365978

0.0329

G

0.439990

0.375743

1.170988

0.2611

R-squared

0.826066

Meandependentvar

16.89048

AdjustedR-squared

0.751523

S.D.dependentvar

4.220178

S.E.ofregression

2.103650

Akaikeinfocriterion

4.586426

Sumsqua