物理光用与应用光学习题解答(整理后全).doc
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第一章光的电磁波理论
1-1.计算由表示的平面波电矢量的振动方向、传播方向、相位速度、振幅、频率、波长。
解：
由题意：
∴∴振动方向为：
由平面波电矢量的表达式：
∴传播方向为：
平面电磁波的相位速度为光速：
m/s
振幅：
V/m
频率：
Hz
波长：
m
1-2.光学教程例4-2
1-3.试确定下列各组光波表示式所代表的偏振态：
（1），
（2），
（3），
解：
（1）∵
∴
∴为右旋圆偏振光。
（2）
∴为右旋椭圆偏振光，椭圆长轴沿y＝x
（3）
∴为线偏振光，振动方向沿y＝－x
1-6.在椭圆偏振光中，设椭圆的长轴与x轴的夹角为，椭圆的长、短轴各为2a1、2a2，Ex、Ey的相位差为。
求证：
证：
由图可以看出：
所以：
若要求证，可以按以下方法计算：
1-4题用图
设可得：
进行坐标变换：
代入上面的椭圆方程：
在时，即交叉项系数为零时，这时的、轴即为椭圆的长轴和短轴。
由解得：
1-7.已知冕牌玻璃对0.3988μm波长光的折射率为n＝1.52546，μm－1，求光在该玻璃中的相速和群速。
解：
相速度：
m/s
群速度：
m/s
1-8.试计算下面两种色散规律的群速度（表示式中v是相速度）：
（1）电离层中的电磁波，，其中c是真空中的光速，是介质中的电磁波波长，b是常数。
（2）充满色散介质（，）的直波导管中的电磁波，，其中c是真空中的光速，是与波导管截面有关的常数。
解：
（1）∵∴
∵∴
∴
（2）∵
∴
∴
∵∴
∴
1-14.产生圆偏振光的穆尼菱体如图所示，若菱体的折射率为1.65，求顶角A。
解：
光束经过两次全反射，每次反射后s波和p波之间的位相差为：
其中是入射角，n为相对折射率：
出射后产生圆偏振光，则需要：
∴
解得：
或
∵要发生两次全反射，则：
由图中几何关系可知：
∴∴不合题意
∴顶角A为
1-15.望远镜之物镜为一双胶合透镜，其单透镜的折射率分别为1.52和1.68，采用折射率为1.60的树脂胶合。
问物镜胶合前后的反射光能损失分别为多少？
（假设光束通过各反射面时接近正入射）
解：
系统包括4个反射面，由于假设光束通过各反射面时接近正入射，则未胶合时，各面的反射率为：
设入射到系统的光能为W，则通过该系统后的光能为：
∴光能损失为20％
同理，胶合后各面的反射率为：
通过该系统后的光能为：
∴光能损失为10.5％
1-17.如图所示，光线穿过平行平板，由n1进入n2的界面振幅反射系数为r，透射系数为t，下表面的振幅反射系数为r'，透射系数为t'。
试证明：
相应于平行和垂直于图面振动的光分量有：
①，②，③，④，⑤。
证：
依照Fresnel'sFomula，
①、②依据题意，介质平板处在同一种介质中，由Fresnel'sFomula的前两项，可以看出不论从介质1到介质2，还是由介质2到介质1的反射，入射角和折射角调换位置后振幅反射率大小不变，要出一个负号，所以，。
③=
=1－，所以。
④=
，所以。
⑤因为，所以，即得：
也可以按上述方法计算：
1-20.如图，光束垂直入射到45°直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。
若入射光强为I0，问从棱镜透出的光束的强度为多少？
设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收。
解：
光束经过三个反射面，通过第一个反射面和第三个反射面时均为垂直入射，其反射率为：
在第二个反射面即棱镜的斜面上，入射角为45°。
全反射的临界角为：
∴在棱镜斜面上发生全反射，反射光强等于入射光强。
∴从棱镜透出的光束的强度为：
1-22.如图，玻璃块周围介质的折射率为1.4。
若光束射向玻璃块的入射角为60°，问玻璃块的折射率至少应为多大才能使透入光束发生全发射？
解：
设玻璃的折射率为n2，则发生全发射的临界角为：
∴
由图中几何关系，折射角
由折射定律：
∴
∴
1-25.如图所示是一根直圆柱形光纤，光纤芯的折射率为n1，光纤包层的折射率为n2，并且n1>n2。
（1）证明入射光的最大孔径角满足：
；
（2）若，，最大孔径角为多少？
解：
（1）如图，为保证光线在光纤内的入射角大于临界角，必须使入射到光纤端面的光线限制在最大孔径角范围内。
由折射定律：
∵∴
∴
（2）当，时：
∴最大孔径角为：
1-26.如图所示是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为和（），光纤芯的直径为D，曲率半径为R。
（1）证明入射光的最大孔径角满足：
；
（2）若，，，，则最大孔径角为多少？
解：
在中，有：
∴
∴
∵∴
∴
（2）当，，，时：
∴最大孔径角为：
第二章光的干涉
5－1波长为589.3nm的钠光照射在一双缝上，在距双缝200cm的观察屏上测量20个条纹共宽3cm，试计算双缝之间的距离。
解：
由题意，条纹间距为：
∴双缝间距为：
2-3.如图所示，两相干平面光波的传播方向与干涉场法线的夹角分别为和，试求干涉场上的干涉条纹间距。
解：
在图示的坐标系中，两束平行光的振幅可以写成：
，
干涉光振幅：
干涉光强度分布：
由此可以看出：
干涉光强是随空间位置（x,z）而变化的。
如果在z=0处放置一个观察屏，则屏上光强分布为：
如果进一步假设二干涉光强度相等：
，则屏上光强分布为：
2-7.在杨氏干涉实验中，两小孔的距离为1.5mm，观察屏离小孔的垂直距离为1m，若所用光源发出波长＝650nm和＝532nm的两种光波，试求两光波分别形成的条纹间距以及两组条纹的第8级亮纹之间的距离。
解：
对于＝650nm的光波，条纹间距为：
对于＝532nm的光波，条纹间距为：
∴两组条纹的第8级条纹之间的距离为：
2-9.在菲涅耳双面镜干涉实验中，光波长为600nm，光源和观察屏到双面镜交线的距离分别为0.6m和1.8m，双面镜夹角为10－3rad，求：
（1）观察屏上的条纹间距；
（2）屏上最多能看到多少亮条纹？
解：
如图所示，S1S2的距离为：
∴条纹间距为：
∵角很小
∴
屏上能产生条纹的范围，如图阴影所示
∴最多能看到的亮条纹数为：
2-11.波长为0.40～0.76的可见光正入射在一块厚度为1.2×10-6m、折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强？
解：
由产生亮纹的条件，计算得：
m=1时，7.2×10-6m；m=5时，0.8×10-6m；m=6时，6.545×10-6m；
m=7时，0.5538×10-6m；m=8时，0.48×10-6m；m=9时，0.4235×10-6m；
m=10时，0.3789×10-6m。
所以在可见光范围内，6.545×10-6m，0.5538×10-6m，0.48×10-6m，0.4235×10-6m四个波长的光反射光最强。
2-15.利用牛顿环干涉条纹可以测定凹曲面的曲率半径，结构如图所示。
试证明第m个暗环的半径rm与凹面半径R2、凸面半径R1、光波长之间的关系为：
。
证：
双光束等厚干涉的反射光的光程差是：
产生暗纹的条件是，即。
代入光程差条件得：
，即
2-24.某光源发出波长很接近的二单色光，平均波长为600nm。
通过间隔d=10mm的F-P干涉仪观察时，看到波长为用的光所产生的干涉条纹正好在波长为的光所产生的干涉条纹的中间，问二光波长相差多少？
解：
设二波长为：
，
通过F-P干涉仪后一个波长的条纹刚好落在另一个波长所产生条纹的中间，说明一个波长的明纹条件正好是另一个波长所产生条纹的暗纹条件，
由，知道：
当（m=0，±1，±2，±3，…）时是明纹条件，
当（m=0，±1，±2，±3，…）时是暗纹条件，
也就是说二波长在同一位置（相同），产生的位相差差，即：
考虑到很小，而且角度也很小，
所以
2-27.在光学玻璃基片（）上镀制硫化锌膜层（n＝2.35），入射光波长，求正入射时最大反射率和最小反射率的膜厚和相应的反射率数值。
解：
∵反射率有最大值的膜厚是：
相应的反射率为：
反射率有最小值的膜厚是：
相应的反射率为：
2-28.在玻璃片上（）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（n＝1.38），控制膜厚使其在正入射下对于波长＝0.5μm的光给出最小反射率，试求这个单层膜在下列条件下的反射率：
（1）波长，入射角
（2）波长，入射角
解：
（1）由题意，在正入射下对于波长＝0.5μm的光给出最小反射率，因此膜层的光学厚度为：
当时，相位差为：
∴
（2），由折射定律：
光束在基片内的折射角：
∴对于s分量的有效折射率为：
对于p分量的有效折射率为：
在斜入射下，相位差为：
∴
∴
因为入射光是自然光，故反射率为：
2-29.在照相物镜上镀一层光学厚度为（＝0.5μm）的低折射率膜，试求在可见光区内反射率最大的波长为多少？
解：
镀低折射率膜，因此要使反射率最大，则：
＝0，1，2，3，……
由题意，∴
取m＝2，3得可见光区内反射率最大的波长为，
2-31.比较下面三个膜系的反射率：
（1）7层膜，，，
（2）7层膜，，，
（3）9层膜，，，
说明膜系折射率和层数对膜系反射率的影响
解：
（1）
（2）
（3）
可见，膜系高折射率和低折射率层的折射率相差越大，且膜系层数越多，膜系的反射率就越高。
2-32.有一干涉滤光片间隔层厚度为1.8×10－4mm，折射率n＝1.5，试求：
（1）正入射时滤光片在可见光区内的中心波长；
（2）透射带的波长半宽度，设高反射膜的反射率R＝0.91
（3）倾斜入射时，入射角分别为15°和40°时的透射光波长。
解：
（1）中心波长为：
＝0，1，2，3，……
取m＝1，得在可见光区内的中心波长为：
（2）波长半宽度：
（3）倾斜入射时，透射光产生极大的条件是：
当时，
当时，
2-35.太阳直径对地球表面的张角约为32′。
在暗室中若直接用太阳光作光源进行双缝干涉实验（不用限制光源尺寸的单缝），则双缝间距不能超过多大？
（设太阳光的平均波长为，日盘上各点的亮度差可以忽略。
）
解：
因为将入射的太阳光看作不用限制光源尺寸的单缝，因此其横向相干宽度为：
∴双缝间距不能超过
2-36.在杨氏干涉实验中，照射两小孔的光源是一个直径为3mm的圆形光源。
光源发射光的波长为0.5μm，它到小孔的距离为2m。
问小孔能够发生干涉的最大距离是多少？
解：
扩展光源对两小孔S1S2中点的张角为：
∴
圆形光源的横向相干宽度为：
∴小孔能够发生干涉的最大距离是
2-38.在如图所示的洛埃镜实验中，光源S1到观察屏的距离为2m，光源到洛埃镜面的垂直距离为2.5mm。
洛埃镜长40cm，置于光源和屏的中央。
若光波波长为500nm，条纹间距为多少？
在屏上可看见几条条纹？
解：
在洛埃镜实验中，S1和S1在平面镜中的像S2可看作是产生干涉的两个光源。
条纹间距为：
由图可知，屏上发生干涉的区域在P1P2范围内
由于经平面镜反射的光波有π的相位差，所以S1和S2可看作位相相反的相干光源。
若P0点在干涉区内，它应该有一条暗条纹通过，并且P1P0内包含的暗条纹数目：
P2P0内包含的暗条纹数目为：
∴P1P2区域内可看见10个暗条纹，9个亮条纹
第三章光的衍射
3-3.由氩离子激光器发出波长nm的蓝色平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸为0.75mm×0.25mm。
在位于矩形孔附近正透镜（m）焦平面处的屏上观察衍射图样，试求中央亮斑的尺寸。
解：
中央亮斑边缘的坐标为：
mmmm
mmmm
∴中央亮斑是尺寸为3.26mm×9.76mm的竖直矩形
3-4.借助于直径为2m的反射式望远镜，将地球上的一束激光（nm）聚焦在月球上某处。
如果月球距地球4×105km。
忽略地球大气层的影响，试计算激光在月球上的光斑直径。
解：
由于衍射效应，反射式望远镜对激光成像的爱里斑角半径为：
rad
由于角度很小，因此
∴激光在月球上的光斑直径为：
m
3-5.波长nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：
（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；
（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。
解：
（1）中央亮纹的半角宽度为：
rad
∴中央亮纹的半宽度为：
cm
（2）第一亮纹的位置对应于，即：
∴rad
∴第一亮纹到中央亮纹的距离为：
cm
第二亮纹对应于
∴rad
∴第二亮纹到中央亮纹的距离为：
cm
（3）设中央亮纹的光强为，则第一亮纹的强度为：
第二亮纹的强度为：
3-6.例6-1.
3-13.在双缝的夫琅和费衍射实验中所用的光波的波长nm，透镜焦距cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离mm，并且第四级亮纹缺级，试求双缝的缝距和缝宽。
解：
双缝衍射两相邻亮条纹的距离为：
∴缝距为：
mm
∵第四级缺级
∴缝宽为：
mm
3-15.用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽mm，不透明部分宽度mm，缝数N＝1000条，试求：
（1）中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉主极大；
（2）谱线的半角宽度。
解：
（1）中央峰两侧的衍射极小值满足：
∴中央峰内的衍射角满足
干涉主极大满足：
0，1，2……
∴在中央峰内的干涉主极大满足：
∵
∴的取值可为0，1，2，3
∴出现的干涉极小值个数为7个
（2）谱线的角宽度为：
rad
3-24.为在一块每毫米1200条刻线的光栅的一级光谱中分辨波长为632.8nm的一束He－Ne激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需有多长？
解：
∵
∴nm
∴光栅所需要的缝数至少为：
光栅的总长度为：
mm
3-18.已知一光栅的光栅常数μm，缝数为N＝20000条，求此光栅的一、二、三级光谱的分辨本领，并求波长μm红光的二级光谱位置，以及光谱对此波长的最大干涉级次。
解：
光栅的分辨本领为：
对于一级光谱：
对于二级光谱：
对于三级光谱：
波长μm红光的二级光谱位置为：
光栅形成的谱线应在的范围内。
当时，
∴最大干涉级次为3
3-26一闪耀光栅刻线数为100条/mm，用nm的单色平行光垂直入射到光栅平面，若第二级光谱闪耀，闪耀角应为多大？
解：
由于第二级光谱闪耀，则：
∴闪耀角为：
3-28波长nm的平行光射向直径D＝2.6mm的圆孔，与孔相距＝1m处放一屏幕。
问轴线与屏的交点是亮点还是暗点？
至少把屏幕向前或向后移动多少距离时，该点的光强发生相反的变化？
解：
波带数与圆孔半径的关系为：
当平行光入射时，
∴波带数为：
∴轴线与屏的交点是亮点
当把屏幕向前移近圆孔，相应的波带数增加，增大到4时，轴线与屏的交点是暗点，此时屏幕到圆孔的距离为：
m
∴屏幕移动的距离为：
m
当把屏幕向后移远圆孔，相应的波带数减小，减小到2时，轴线与屏的交点是暗点，此时屏幕到圆孔的距离为：
m
∴屏幕移动的距离为：
m
3-31.单色点光源（）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环，接收点离光阑1m远，问在接收点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？
解：
半径为1mm的圆孔包含的波带数为：
半径为0.5mm的圆孔挡住的波带数为：
∴通光圆环通过的波带数为3，因此通光圆环在接收点产生的振幅等于一个波带在接收点产生的振幅，且近似地等于第一个波带产生的振幅，即：
没有光阑时，接收点的振幅为：
∴光强之比为：
3-35.一波带片主焦点的强度约为入射光强的103倍，在400nm的紫光照明下的主焦距为80cm。
问波带片应有几个开带，以及波带片的半径。
解：
设波带片n个开带,则主焦点相对光强为：
∴
若奇数开带，则波带片包含的波带总数为：
此时波带片的半径为：
mm
若偶数开带，则波带片包含的波带总数为：
此时波带片的半径为：
mm
3-3.由于衍射效应的限制，人眼能分辨某汽车两前灯时，人离汽车的最远距离l=?
（假定两车灯相距1.22m。
）
解：
假定人眼瞳孔的直径为2mm，可见光波长为0.5，则其极限角分辨率为，
，能分辨开车灯的最远距离为：
。
3-10.用波长=0.63的激光粗测一单缝的缝宽。
若观察屏上衍射条纹左右两个第五级极小的间距是6.3cm，屏和缝之间的距离是5m，求缝宽。
解：
极小值的位置出现在的地方，其中m=±1，±2，±3，…，两个第五级极小的间距是，所以缝宽
3-12.考察缝宽b=8.8×10-3cm，双缝间隔d=7.0×10-2cm、波长为0.6328时的双缝衍射，在中央极大值两侧的两个衍射极小值间，将出现多少个干涉极小值？
若屏离开双缝457.2cm，计算条纹宽度。
解：
衍射的第一极小值的位置出现在的地方，此时，在此位置上，双缝衍射出现条纹的条件为，即，其中m=±1，±2，±3，…，
在衍射的第一极小值位置处的级数m为，刚好多包含一个暗纹：
中央主极大两边每侧有7条亮纹，8条暗纹，两边共包含16条暗纹。
条纹宽度
3-19.已知F-P标准具的空气间隔h=4cm，两镜面的反射率均为R=89.1%。
另有一反射光栅的刻线面积为3cm×3cm，光栅常数为1200条/mm，取其一级光谱，试比较这两个分光元件对红光的分光特性。
解：
（1）自由光谱范围
光栅：
，此光栅在正入射时，m取值只可以是1（），所以自由光谱范围为
F-P标准具：
（2）分辨本领
光栅：
F-P标准具：
（3）角色散率
光栅：
（由，得）
F-P标准具：
（对F-P标准具，中央谱线的级次为，第一条谱线为m'－1，由得：
，所以）
3-25.一块闪耀波长为第一级0.5、每毫米刻痕为1200的反射光栅，在里特罗自准直装置中能看到0.5的哪几级光谱？
解：
里特罗自准直光谱议使用时，其闪耀方向就是它的入射光方向，一级闪耀方向为：
，
根据，，在准直时能看到的条纹为0、+1、+2三级条纹。
在正入射时，能看到的条纹为-1、0、+1三级条纹。
所以在调整过程中总共可能看到的条纹为-1、0、+1、+2四级条纹。
3-37.如图所示是制作全息光栅的装置图，试推导其全息光栅的条纹间距公式。
今要在干版处获得1200条/mm的光栅，问两反射镜间的夹角是多少。
3-23题用图
解：
当两个平面镜之间夹角为时，其反射光之间的夹角为。
根据全息光栅的制作原理，当两束光以角在全息版上相交，其干涉条纹间距为，所以，。
第四.五章
缺4-1—4-4，4-10，4-12，4-14，4-17，4-22，5-3—5-6，5-8，5-9，
4-5.一束钠黄光以60°角方向入射到方解石晶体上，设光轴与晶体表面平行，并垂直与入射面，问在晶体中o光和e光夹角为多少？
（对于钠黄光，方解石的主折射率，＝1.4864）。
解：
根据题意和光在晶体表面折射的性质，在晶体内折射的o光和e光波矢面与入射面截线为同心圆，o光和e光均服从折射定律。
∵∴＝1.4864
根据折射定律：
∴
∴
由于光轴垂直于入射面，因此o光和e光的光线与波法线方向不分离，所以两折射光线的夹角
4-6.设有主折射率no=1.5246，ne=1.4864的晶体，光轴方向与通光面法线成45°，如图所示。
现有一自然光垂直入射晶体，求在晶体中传播的o、e光光线方向，二光夹角以及它们从晶体后表面出射时的相位差（=0.5，晶体厚度d=2cm。
）
解：
如图，平面光波正入射，光轴在入射面内，且与晶面斜交所以o光和e光的波法线相同，但o光和e光光线方向不同。
又因为，故e光比o光远离光轴，且光沿其波法线方向传播。
设e光与o光的离散角为
=
=
所以,
晶体中出射的e光与o光的相位差：
又因为：
所以：
=
=
4-7.一细光束掠入射单轴晶体，晶体
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