六年级下册奥数专题练习扩缩图形全国通用.docx

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六年级下册奥数专题练习扩缩图形全国通用

扩缩图形

　　【扩图】解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。

　　例如，图4.43是一个圆心角为45°的扇形，其中的直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分的面积。

　　本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。

但是同学们暂时还未学求扇形半径R的方法，怎么办呢？

　　由扇形的圆心角为45°，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。

由此图可以求出三角形DOB的面积为

可知

　　扩大后的阴影部分面积为

　　56.52-72÷25=6.52-36

　　=20.52（平方厘米）

　　所以，原图所求的阴影部分的面积为

　　20.52÷2=10.26（平方厘米）

　　这是个将图形整体扩大的例子。

可否只将图形的某一个局部扩大，来求得问题的解答呢？

回答是肯定的。

例如：

　　如图4.45，图中的扇形半径为8厘米，圆心角为45°，求阴影部分的面积。

　　当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。

不过，解题的关键是求出空白部分（三角形）的面积，我们不妨以8厘米为边长，作一个正方形，这正方形面积便是空白三角形面积的4倍（即只将局部三角形面积扩大4倍）。

于是空白的三角形面积便是

　　8×8÷4=16（平方厘米）

　　所要求的阴影部分的面积便是　

　　【缩小研究对象】有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下子解决问题，若根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。

　　例如，图4.46是一块黑白格子布，白色大正方形边长10厘米，白色小正方形边长4厘米。

这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几？

　　图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。

不过，仔细一看，就可发现它由9块形状大小相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图4.47）的白色图形占整个图形的百分之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是

　　（10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］

　　=116÷196

　　≈0.592=59.2％。

　　又如，图4.48是一个对称图形。

　　问：

图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分的面积大？

　　因它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。

解题时，我们不必研究整个图形，只要研究它的四分之一就行了。

角扇形的面积。

再由对称关系可知，图形中两个空白部分的大小是相等的，故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。

在这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑色部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。

于是可推出，整个图形的黑色部分和阴影部分的面积，也必定是相等的。

整除及数字整除特征

　　【数字整除特征】

　　例142□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）

　　讲析：

能被99整除的数，一定能被9和11整除。

　　设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：

各位上数字之和为[16+（a+b）]。

要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

　　又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。

经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

　　所以a-b=3。

　　又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

　　从而很容易求出商为427284÷99=4316。

　　例2某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：

因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

　　而1993000÷2520=790余2200。

　　于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。

所以最后三位数字依次是3、2、0。

　　例3七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）

　　讲析：

设千位上和个位上的数字分别是a和b。

则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

　　要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

　　则有b-a=8，或者a-b=3。

　　①当b-a=8时，b可取9、8；

　　②当a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

　　所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。

　　例4下面这个四十一位数

　　55……5□99……9

　　（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。

　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

注意到111111÷7=15873，所以555555与999999也能被7整除。

则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。

　　要使原四十一位数能被7整除，只需55□99这个五位数是7的倍数。

　　容易得出，中间方格内的数字是6。

　　【整除】

　　例1一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是______。

　　（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）

　　讲析：

所求这个数分别除以3和7时，余数相同。

　　3和7的最小公倍数为21。

所以这个数是23。

经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。

　　例2一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。

这个整数是__。

　　（《现代小学数学》邀请赛试题）

　　讲析：

所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。

但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。

　　因为3、5和7的最小公倍数是105。

　　3600÷105=34余30，105-30=75，

　　所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。

即所求这个整数是3675。

　　例3在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。

如52中间插入4后变成542。

有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。

这样的两位数共有__个。

　　（中南地区小学数学竞赛试题）

　　讲析：

因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。

则原两位数的个位数字一定是0或5。

　　又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。

因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。

　　结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。

　　例4a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

　　讲析：

a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。

则a的个位数字一定是9。

因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。

　　只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。

　　联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。

　　例5一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43

（1）]，又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是2a[见图5.43

（2）]，求这个自然数。

　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

可从最后的商步步向前推算。

　　由图5.43

（1）可得：

第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然数是8×（64a+57）+1=512a+457

　　由图5.43

（2）得，所求的自然数是578a+259

　　所以，512a+457=578a+259。

　　解得a=3。

　　故，这个自然数是512×3+457=1993。

　　例6某住宅区有十二家住户。

他们的门牌号分别是1、2、3、……、12。

他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。

已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。

问这一家的电话号码是什么数？

　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

　　讲析：

设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。

　　因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数a能同时被1、2、3、……、12整除。

　　而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时被1、2、3、……12整除的最小自然数是27720×4=110880

　　现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。

　　因为110880÷13，余数是12；27720÷13，余数是4。

　　也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的数，就是所求的数。

　　即12+4n，是13的倍数。

　　显然，当n=10时，12+4n是13的倍数。

　　所以，门牌号码是9的这家电话号码是：

110889+27720×10=388089。

运用图形间的等量关系

　　【应用弦图解题】我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。

　　我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题：

　　有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，1步=5尺），已知长比宽少12步，问：

它的长、宽共是多少步？

　　杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864

共是60步。

显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！

　　有些竞赛题也可以用弦图来巧解。

第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。

尤其是那一道决赛题：

平方米。

锯下的木条面积是多少平方米？

”

　　仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图4.58。

于是可知，大正方形的面积为

　　【解纵横交错的复杂题】把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。

例如

　　如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米，求阴影部分的总面积。

　　由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以

　　2个纸片长=3个纸片宽

　　1个纸片长=12×3÷2

　　=18（厘米）

　　进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）

　　阴影部分的总面积便是

　　6×6×3=108（平方厘米）

　　又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长。

”

　　解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。

由5个小长方形的宽等于

形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。

所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即5个小正方形面积为

　　45÷9×4=20（平方厘米）

　　每个小正方形的面积为

　　20÷5=4（平方厘米）

　　显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便是

　　进而便可求得大长方形的周长为

　　［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。

　　此外，题目还可这样解答：

　　因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。

大正方形面积是

　　它的边长便是10厘米，则小正方形的长为

　　10÷4=2.5（厘米）

　　小正方形的宽为

　　10÷5=2（厘米）

　　于是，原来的大长方形的周长就是

　　（2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。

　　【用面积线段比的关系解题】利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。

例如

为什么成立？

　　由图中可以看出，△PBC和△ABC是同底的两个三角形，所以

　　又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：

　　“如图4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？

”

　　图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。

　　设阴影部分面积为x公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以

　　即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。