狄拉克与狄拉克方程.docx

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狄拉克与狄拉克方程

狄拉克与狄拉克方程

狄拉克与狄拉克方程

英国著名理论物理学家狄拉克（PaulDirac1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。

他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。

并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。

5、1狄拉克算符

1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（PeterLeonidovichKapitza，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。

每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。

这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。

临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。

不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（FowlersirRalphHoward，1899～1944）。

9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。

例如，两个力学量相乘pq≠qp，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。

并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。

泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S．Poisson）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。

如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方式有可能移植到量子力学中来。

例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。

狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。

狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。

这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。

海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。

5、2费米—狄拉克统计

1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方

是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：

矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。

但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。

在薛定谔多体波函数的启示下，狄拉克考虑到全同粒子的不可分辨性，得到了一类处于平衡态的粒子系统行为所遵从的费米—狄拉克统计。

所谓全同粒子是指互换这类粒子并不导致系统出现新的状态。

全同粒子系统可分两类，一类由对称波函数描述的粒子所构成的系统，称玻色系统。

这种粒子遵循的统计称玻色—爱因斯坦统计，是由玻色（BoseSatendraNath，1894～1974）和爱因斯坦在1924年先后提出来的。

另一类由反对称波函数描述的粒子所构成的系统，这种粒子必须遵循泡利不相容原理，每个量子态上至多只能有一个粒子，它们遵循的统计称费米—狄拉克统计。

是由费米（FermiEnrico，1901～1954）和狄拉克在1926年先后提出的。

设近独立全同粒子组成的系统具有确定的粒子数Ni、能量E和体积V，以εi和gi分别表示单粒子的第i个（i=1，2，3，…）能量和对应该能量的量子态数（简并度）。

对于玻色系统，由于粒子的不可分辨和每个态上占据的粒子数不限，则给定的Ni个粒子分布在gi个量子态的方式数，等于从Ni+gi－1个元素中选取gi－1个元素的组合数

。

考虑各能级的结果，就得到对应粒子数分布｛Ni｝的系统微观状态数

。

对于费米系统，Ni个不可分辨的全同粒子分布在gi个状态上（每个态上至多只能有一个粒子）的可能方式数，就是从gi个元素中选取Ni个元素的组合数，应该等于

，则对应粒子数分布｛Ni｝的系统微观状态数：

。

虽然这后一种统计法已由费米在几个月前就推导出来了，但狄拉克却更深刻地给出了统计类型与波函数对称性质间的内在联系，并且证明了在波函数为反对称的情况下费米统计是量子力学的必然结果。

因此，后人称这种统计为费米—狄拉克统计。

5、3狄拉克方程

1926年克莱因（KleinOsker，1894～1977）和戈登（GdrdonWalter，1893～1940）提出一种相对论性波动方程，受到当时许多物理学家的赞赏。

但狄拉克觉得，方程并不太美，因为它出现物理学上无意义的负几率。

为了摆脱负几率，克莱因和戈登试图把几率密度改为电荷密度的权函数，但这一改变却意味着克莱因—戈登方程描述的不是单个电子而是正负电子的集合。

1928年初，海森伯觉得，为了公平地对待实物与辐射，物质波与电磁场都必须量子化。

同时对电子的电荷、质量和计算步骤，都将从第二次量子化中自然地产生，而不需要作为特定的假设来引进。

并产生了海森伯与泡利的量子场论的方案，它将处理包括实物、辐射在内的任何种类的原子问题。

狄拉克又一次给出一个决定性的推进，1928年元月初，他向皇家协会报告了他的最新成就，相对论性电子波动方程，后来以“狄拉克方程”的名义载入史册。

狄拉克建立了一种对时间坐标和空间坐标都是线性的描述单粒子行为的微分方程。

狄拉克方程主要是把量子化过程应用于波函数本身，是对薛定谔波动方程的改进，同时，他对于量子力学的物理含义做出了自己的物理诠释。

他的这项工作被称为“二次量子化”方案，并考虑到相对论效应建立了一个一阶方程，即狄拉克相对论电子波动方程；相对论电子波动方程可以列入20世纪科学的最高成就之一。

狄拉克叙说道：

“我的许多工作正是玩弄方程，并看它们给出些什么”，引导他达到目的的游戏是他的观察：

（其中1是2×2的单位矩阵）。

“那是个漂亮的数学结果。

我为此非常激动。

看起来它必定有些重要的东西。

”如何把它推广到四个而不是三个平方的和，并由此得出：

，

。

“这让我思考了好一阵子……之后我突然认识到不需要把量σ……固定在刚好二行二列上，为什么不想到四行四列呢？

”这样就诞生了狄拉克方程：

，

。

现在通常缩写为：

。

狄拉克把

代入

后，并令

=

化简后得：

。

狄拉克对波函数的物理含义有很明确的看法，即波函数绝对值的平方等于微观客体某一时刻在某处表现的概率。

以这一方程为核心内容的狄拉克电子理论，为20年代量子物理学中原先是各自独立的主要实验事实，包括电子的康普顿散射、塞曼效应、电子自旋等，提供了一种统一的、具有相对论不变性的理论框架，为氢原子提供了一种模型。

狄拉克不仅考虑了相对论效应，同时引入了粒子的自旋，把这个方程应用于求解氢原子问题，所得到的结果与观察实验完全相符。

但是，这一组十分对称的线性方程，得出的描述电子运动态的矩阵有4行4列，分别代表电子的两个状态（正能态和负能态）。

而实际的观察结果只需要2项，分别代表电子的两个自旋态（正能态）。

按照习惯的处理方法，要舍去无法观测到的负能态，因为在实验中从来没有观察到过从正能态到负能态的跃迁。

狄拉克认为，相对论薛定谔方程得出的对称的负能态解不能随意地被忽略掉，这样就破坏了方程的完美性。

他认为：

我们之所以不能观测到正能态向负能态的跃迁，是因为所有的负能态都已经被填满了。

这时，如果有某个负能粒子跳出来，跃迁到正能态上去，原来被填满的负能“海洋”中就会留下一个“空穴”，这空穴就应表现为电荷相反的正能态粒子。

起初，狄拉克很自然地想到这种与电子电荷相反的粒子是质子。

但是质子的质量比电子大1000多倍，它们之间的跃迁太不可思议了。

所以这种说法一提出，立即受到德国数学家韦耳（WeylHermann，1885～1955）的批评；韦耳做过有关时空对称性的研究，认为存在于负能海洋中的电子的“反物质”，是电子的“镜象”，只能是和电子质量相等的粒子，而不可能是质量比电子大很多倍的质子。

在哥廷根求学并早在剑桥就和狄拉克友情盛厚的美国物理学家奥本海默（OppenbeimerRobert，1904～1967）也提出：

空穴的质量应当和电子的质量一样。

但在自然界中至今没有观测到过这样的粒子，那一定是有某种特殊原因的，很可能是由于实验工作者尚未找到适当的方法，没有到适当的地方去寻找它们。

1931年，英国剑桥大学的物理学家布拉克特（BlackettPatrickMaynardStruart，1897～1974）在宇宙射线中发现了一种和电子碰撞后发生“湮灭”现象的相反粒子。

根据爱因斯坦的质能公式E=mc2，这一对粒子“湮灭”后产生的能量相当可观，以致引起连续性的粒子“簇射”。

但布拉克特一时还没有把握判定这是一种什么粒子。

正当他试图作进一步观察时，美国物理学家安德森（C．D．Anderson）发表了自己类似的研究结果，他宣布自己发现了与电子质量、电荷数相同，但却是带正电荷的“反电子”，后来命名为正电子。

安德森的实验设计确有其独到之处，他用一块铅板阻挡来自宇宙射线中的粒子，被阻挡后的粒子速度减慢，在威尔逊（Wilson）云雾室的磁场下运动半径减小，因而运动径迹弯曲得比较厉害。

从这种经过弯曲的变化出现在铅板的哪一侧，可以判定该粒子运动的方向；从径迹弯曲变化的程度可以判定其质量和能量大小。

观察表明，确实有一种和电子质量相符、在磁场作用下却朝相反方向运动的粒子，这表明它带有和电子相等的正电荷。

狄拉克把它们称为反粒子或反物质，并进一步预言正反粒子对的产生和湮没，为物质存在的实物形式间的相互转换提供了一种作用机制。

1932年8月，安德森在宇宙线实验中发现了正电子，1933年布拉克特和奥恰利厄（OcchialiniGiuseppePaoloStanisalao，1907～）又在实验室中证实了正反电子对的产生和湮没。

狄拉克的真空图像

按通常的观点，所谓“真空”是空虚无物的空间，可是狄拉克却认为物理学上的真空状态并非是一无所有的绝对真空，而是由负能态电子所构成的“电子海洋”，这个负能电子海是被大量负能态电子所填满。

因此整个电子海中所有能观察到的量，如电荷、质量、动量都是零。

既然全部填满的负能电子海相当于真空，那么从电子海中挖出一个电子，就会出现一个正能态的电子和一个负能态的空穴。

狄拉克认为激发出来的这个正能态电子就是普通电子，它带一个单位的负电荷；而电子被激发出来以后，在电子海中留下的空穴就表现为一个带正电荷的粒子。

由于真空是一个充满无穷多个负能电子的动力学体系，它带有能量、可以极化，这就势必影响到电子电荷与质量的观察值。

正是根据这一真空图象，狄拉克于1933年首先提出对数发散的电荷的重正化理论。

任何一个带电粒子都伴随有它自身固有的电磁场，而这个电磁场势必引起真空极化。

于是整个真空作为一个有着无穷多个自由度的动力学体系，就将通过这个电磁场，对粒子的反作用而影响这一单个电子的动力学体系。

因此，狄拉克原来作为正电子理论而提出来的相对论性方程就必须重新进行解释，把它们解释为场方程，即描写电子—正电子场的运动方程。

而这正是建立量子电动力学的必要前提。

狄拉克真空既然是个复杂的动力学系统，那它就不可能具有完全的对称性，这导致人们重新考虑“以太”观念，为一种新的“以太”理论开辟了道路。

现在人们已确切知道，正电子在现今宇宙中非常罕见，因为它们只在宇宙射线和超新星这类激烈的天体现象中产生，或者在质子过剩核里的一个质子转变成中子这种稀有β衰变中产生。

一个正电子和一个电子相撞多半会互相湮灭而迸发出辐射，辐射则把它们的质量以能量形式带走，所以在普通物质里永远找不到正电子。

发现正电子以后，人们终于认清每一类粒子都有相应的反粒子，它们质量相同，电荷相反，并有相似的其它守恒物理量。

获得这个认识的一个决定因素是论证反粒子与一般粒子相撞多半会互相湮灭而发出辐射，辐射则把它们的质量以能量形式带走，所以在普通物质里永远找不到正电子。

1934年泡利和外斯科夫（V．F．Weisskopf）证明了即使不能形成稳定的负能海的粒子也可以有相应的反粒子。

1955年，张伯伦（OwenChamberlain，1920～）、塞格雷（EmilioGinoSegre，1905～1989）与威干得（ClydeWeigand）和伊西兰提斯（TomYpsilantis）一道成功地在伯克利的10亿电子伏级加速器上产生出反质子。

如果反质子和反中子构成的反原子核被正电子云所环绕，就构成反物质。

至今为止，在可见宇宙的任何地方虽还未发现数量大到可察觉的反物质，但狄拉克的真空图象对于理论物理学的进一步发展却产生了极为深远的影响。