七年级数学图形的初步认识.docx

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七年级数学图形的初步认识

第19部分图形的初步认识

第一讲简单的立体图形线段与角

课标要求

（1）点、线、面。

通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。

完成基本作图：

作一条线段等于已知线段.

（2）角。

①通过丰富的实例，进一步认识角。

②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。

③了解角平分线。

④了解补角、余角，知道等角的余角相等、等角的补角相等。

（3）视图

①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。

③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。

④观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。

中考考点要求

1.了解线段、射线、直线的区别与联系。

掌握它们的表示方法.

2.掌握“两点确定一条直线的”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”.

3.理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最段”的性质.

4.理解线段的中点和两点间距离的概念.

5.会用尺规作图作一条线段等于一直线段.

6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念。

7掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分.

8.掌握角的平分线的概念，会画角的平分线.

9.会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理。

10.建立初步的空间观念，会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

11.了解旋转体和多面体的概念.

12.会计算圆柱、圆锥的侧面展开图的面积.

典型例题

例1.判断正误，并说明理由

①．两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点；（）

②．射线AP与射线PA的公共部分是线段PA；（）

③．有公共端点的两条射线叫做角；（）

④．互补的角就是平角；（）

⑤．经过三点中的每两个画直线，共可以画三条直线；（）

⑥．连结两点的线段，叫做这两点间的距离；（）

⑦．角的边的长短，决定了角的大小；

⑧．互余且相等的两个角都是45°的角；（）

⑨．若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角；（）

⑩大于直角的角叫做钝角.（）

解：

①．√．因为两点确定唯一的直线．

②．√，因为线段是射线的一部分．如图：

显然这句话是正确的．

③．×，因为角是有公共端点的两条射线组成的图形．

④．×．互补两角的和是180°，平角为180°．就量数来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．如下图

⑤．×．平面内三点可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上．

⑥．×．连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．

⑦．×．角的大小，与组成角的两条射线张开的程度相关，或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关，与角的边画出部分的长短无关．

⑧．√，互余”即两角和为90°．

⑨．×．“互补”即两角和为180°．想一想：

这里的两个角可能是怎样的两个角？

⑩×.钝角是大于直角而小于平角的角.

【注意】1.第⑤题中三个点的相互位置共有两种情况，如图

再如两角互补，这里的两角有两种情形，如图：

图

（1）图

（2）

因此，互补的两个角中，可能有一个是钝角，也可能两个角都是直角，因此在作出判断前必须全面地考虑，这就要求有“分类讨论”的思想，“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一．

2.注意数和形的区分与联系：

“线段”表示的是“图形”，而“距离”指的是线段的“长度”，指的是一个“数量”，两者不能等同．

例2.如图：

是一个水管的三叉接头，试画出它的三视图。

【注意】画三视图的原则是：

长对齐，宽相等，高平齐。

例3.下面是正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问题：

（1）和面A所对的会是哪一面？

（2）和B面所对的会是哪一面？

（3）面E会和哪些面平行？

答：

（1）和面A所对的是面D；

（2）和B面所对的是面F；（3）面E和面C平行。

例4.

（1）线段DE上有A、B、C三个点，则图中共有多少条线段？

（2）若线段DE上有n个点呢？

解：

（1）10条。

方法一：

可先把点D作为一个端点，点A、B、C、E分别为另一个端点构成线段，再把点A作为一个端点，点B、C、E分别为另一个端点构成线段……依此类推，数出所有线段求和，即得结果．

方法二：

5个点，每个点与另外一个点为端点可以组成一条线段，共有5×4条，但不计重复的应有

条，即10条。

（2）（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1＝

（条）

例5．计算：

（1）37°28′＋44°49′；

（2）23．118°12′－37°37′×2；

（3）132°26′42″－41.325×3；（4）360°÷7（精确到分）．

解：

（1）37°28′＋44°49′

＝81°77′

＝82°17′

（2）118°12′－37°37′×2

＝118°12′－75°14′

＝117°72′－75°14′

＝42°58′．

（3）法一132°26′42″－41.325°×3

＝132.445－123.975

＝8.47．

法二132°26′42″－41.325×3

＝132°26′42″－123.975

＝132°26′42″－12358′30″

＝131°86′42″－12358′30″

＝8°28′12″．

（4）360°÷7

＝51°＋3°÷7

＝51°＋25′＋5′÷7

＝51°＋25′＋300″÷7

≈51°＋25′＋43″

≈51°26′．

【注意】⑴1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．

⑵在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，可将“分”、“秒”化成度，也小数部分的度数可化成”“分”“秒”进行计算。

例6.已知∠α与∠β互为补角，且∠β的

比∠α大15°，求∠α的余角．

解：

由题意可得

解之得

∴∠α的余角＝90°－∠α＝90°－63°＝27°．

答：

∠α的余角是27°．

【注意】通过列方程或方程组解决几何问题是常用的方法，关键是选取适当的未知数。

强化训练

一．填空题

1．用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数是_________.　　　

2．时钟的分针每60分钟转一圈，那么分针转900需________分钟，转1200需_______分钟，25分钟转________度.

3．如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=________，BC=________，CD=________

4．已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，

∠BOC=300，则∠AOC=_________

5．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，

则线段AC=_________

6．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若

∠BOD：

∠AOC=5：

2，则∠AOC=_______∠BOD=__________

7．计算

（1）23030′=

;

（2）

;

.

8.要把木条固定在墙上至少要钉两颗钉子，这是因为___________________________。

9.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.

10.如图，B、O、C在同一条直线上，OE平分

AOB，DO平分上

AOC，则

EOD＝_______．

二、选择题

1．下列各图中，分别画有直线AB，线段MN，射线DC，其中所给的两条线有交点的是（）

2．如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用（）个不同的点.

A、20B、10C、7D、5

3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（）

A、12B、16C、20D、以上都不对

4.在下列立体图形中，不属于多面体的是（）

A．正方体B．三棱柱C．长方体D．圆锥体

5．（2004年河北省课程改革实验区）图中几何体的主视图是（）

三．解答题

1．

（1）一个角的余角比它的补角

还多1°，求这个角.

（2）已知互余两角的差为20°,求这两个角的度数.

2．已知如图，设A、B、C、D、为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？

试在图中画出这个中心（用点P表示），不必说明理由

第二讲相交线和平行线

课标要求

①了解对顶角，知道对项角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质

⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

中考要求及考点

1.中考要求

⑴灵活运用对顶角和垂线的性质；

⑵掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算；

⑶理解和识别方向角。

2.知识要点

⑴垂直：

两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互相垂直，交点叫垂足。

⑵在同一平面内，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离。

⑶

两条直线被第三条直线所截，出现的三种角：

同位角，内错角，同旁内角。

直线m截直线a,b成如图所示的8个角，在图中：

同位角：

∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；

内错角：

∠3和∠5，∠4和∠6；

同旁内角：

∠3和∠6，∠4和∠5。

⑷.平行线：

在同一平面内不相交的两条直线。

平行公理经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⑸.平行线的识别方法：

同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行。

另外，平行于同一直线的两条直线互相平行。

垂直于同一直线的两条直线互相平行。

⑹.平行线的特征:

两直线平行，同位角相等。

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

典型例题

1.判定与性质

例1判断题：

1）不相交的两条直线叫做平行线。

　　　　　　　　　　　（　　　）

2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

　　　　　　（　　　）

3）两直线平行，同旁内角相等。

　　　　　　　　　　　　（　　　）

4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

　　　　　　（　　　）

答案：

（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

（2）错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

（3）错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。

（4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。

例2已知：

如图，AB∥CD，求证：

∠B+∠D=∠BED。

分析：

可以考虑把∠BED变成两个角的和。

如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证

EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。

变式1已知：

如图6，AB∥CD，求证：

∠BED=360°-（∠B+∠D）。

分析：

此题与例1的区别在于E点的位置及结论。

我们通常所说的∠BED都是指小于平

角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。

因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。

∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。

变式2已知：

如图7，AB∥CD，求证：

∠BED=∠D-∠B。

分析：

此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。

模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。

∵∠BED=∠FED-∠FEB，

∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。

变式3已知：

如图8，AB∥CD，求证：

∠BED=∠B-∠D。

分析：

此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。

∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。

即∠BED=∠B-∠D。

例3已知：

如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。

求证：

∠BFE=∠FEC。

证法一：

过F点作FG∥AB，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。

过E点作EH∥CD，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。

∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），

∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又∵EH∥CD（已知），

∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠BFE=∠FEC。

证法二：

如图10，延长BF、DC相交于G点。

∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。

证法三：

（如图12）连结BC。

∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE（等式的性质）。

即∠FBC=∠BCE。

∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

强化训练

一.填空

1.完成下列推理过程

①∵∠3=∠4（已知），

__∥___（）

②∵∠5=∠DAB（已知），

∴____∥______（）

③∵∠CDA+=180°（已知），

∴AD∥BC（）

2.如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°，

　∠ABC＝50°则∠A度，∠BDC＝度。

3.如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD,

则∠AEB＋∠CED=。

4、将点P（-3，y）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x，-1），则xy=___________。

5、已知：

如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC，

且∠AOC=68°，则∠BOE=

二.选择题

1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）

A南偏西50度方向；B南偏西40度方向；

C北偏东50度方向；D北偏东40度方向

2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD,则图中与∠1相等的角共有（）个

A6个B.5个C.4个D.2个

3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是（）

A、a∥dB、b⊥dC、a⊥dD、b∥c

4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.已知：

AB∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°,

则∠BCF的度数是（）　

A.160°B.150°C.70°D.50°

6（2003南通市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（）

（A）∠1＝∠3（B）∠2＝∠3

（C）∠4＝∠5（D）∠2＋∠4＝180°

7.（北京市海淀区2003年）.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：

（1）

；

（2）

；（3）

中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（　　）

A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角相等；

C、两直线平行，内错角相等；　　　D、两直线平行，同旁内角相等。

9.（2003年安徽省）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有……（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（日照市2004年）如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（　　）

A　∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;

B　∠BED＝∠ABE－∠CDE

C　∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;

D　∠BED＝∠CDE－∠ABE

三.解下列各题：

1.如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。

2、已知AD∥BC，∠A=∠C，求证：

AB∥CD。

3.如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.

4.已知,如图AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB,∠EDC与∠CHF互补,求证：

DE⊥AC.

5.如图，已知AB∥ED，∠ABC=135°,∠BCD=80°，求∠CDE的度数。

6.已知：

如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AE=AF.求证：

AD平分∠BAC。

四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A、B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A、B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？

请说出你的设计方案，并说明理由。

第21部分复习检测题

一、选择题（每题3分，共30分）

1.如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（　）

（A）两点之间线段最短（B）两直线相交只有一个交点

（C）两点确定一条直线（D）垂线段最短

2.下面是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（）

3.右图是正方体分割后的一部分，它的另一部分为下列图形中的（）

4.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）

A、第一次向左拐300，第二次向右拐300B、第一次向右拐500，第二次向左拐1300

C、第一次向右拐500，第二次向右拐1300D、第一次向左拐500，第二次向左拐1300

5.如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次是（）．

A0，－2，1B0，1，－2C1，0，－2D－2，0，1

6.如图6，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（）

A．

B．

C.

D．

7.（2003浙江宁波）．如图是一个水平摆放的小正方体木块，图

（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）

（A）25（B）66（C）91（D）120

8．（2004年浙江省嘉兴市）若AB∥CD，∠C＝60º，

则∠A＋∠E＝（）

（A）20º（B）30º（C）40º（D）60º

9.

如图，所示，红安卷烟厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在龙乡大道上（A、B、C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．该厂为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

A．点AB．点BC．AB之间D．BC之间

10.（2005年杭州市）在平行四边形ABCD中,∠B=110O,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为（）

（A）110O（B）30O（C）50O（D）70O

二、填空题（每题3分，共30分）

1.（2004年福建省泉州市）如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角为_________.

2.（泸州市2004年）如图2，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为________.

3.（2003年湖南省湘潭市）如图，甲、乙两地

之间要修一条公路，从甲地测得公路的走向是

北偏东

，如果甲、乙两地同时开工，要使

公路准确接通，那么在乙地施工应按

为______度的方向开工.

4.（2004年大连市）将一个底面半径为2cm高为4cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为______________________________cm2；

5.（2004年郴州市）一个圆锥形的蛋筒，底面圆直径为7cm，母线长为14cm，把它的包装纸展开，侧面