专题06 在容器里液体加柱形物体后柱形物体浸没问题解析版.docx

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专题06在容器里液体加柱形物体后柱形物体浸没问题解析版

上海市备战2020年中考物理压强压轴题专项大剖析

专题06在柱形容器的液体中加柱形物体，柱形物体浸没问题

一、常见题目类型

1．把柱状实心物体B放入足够深的柱状容器中的液体中（图1）。

2．把柱状实心物体先放入足够深的柱状容器中，然后向里面加液体（图2）。

二、例题

【例题1】如图1所示，水平地面上有一质量为1千克的薄壁柱形容器，另有一个质量为4千克的圆柱体甲，甲的底面积是容器底面积的一半。

容器中盛有水，将甲放入水中，分别测出甲放入容器前后，容器对水平桌面的压强p容、水对容器底部的压强p水，如下表所示。

求圆柱体甲放入容器前水的深度。

②求容器的底面积。

放入圆柱体甲后，通过计算判断柱形容器的水是否有溢出。

④请判断甲在水中的状态并说明理由（提示：

漂浮、浸没、未浸没等）。

⑤求圆柱体甲的密度。

【答案】①0.2米；②2×10-2米2；③无水溢出；④浸没；⑤4×103千克/米3。

【解析】

①h水＝p水前/ρ水g

＝1960帕/（1×103千克/米3×9.8牛/千克）＝0.2米

②∆p＝p容前－p水前＝∆F/S容＝G容/S容

S容＝G容/∆p

＝（1千克×9.8牛/千克）/（2450帕－1960帕）＝2×10-2米2

③甲放入水中，容器对水平桌面增大的压力

∆F容=∆pS容=（4410帕-2450帕）×2×10-2米2=39.2牛

∆F容=G甲，所以无水溢出。

④因为∆p容>∆p水，所以圆柱体甲在水中一定沉底，且S甲=S/2，p水后<2p水前，所以甲在水中一定浸没（若未浸没时，S甲=S/2，后来水的深度h水后=2h水前，p水后=2p水前）。

⑤因为∆F容=G甲，所以无水溢出

∆h水＝∆p水/ρ水g

＝490帕/1×103千克/米3×9.8牛/千克＝0.05米

V甲＝V排＝S容∆h水＝2×10-2米2×0.05米＝1×10-3米3

ρ甲＝m甲/V甲＝4千克/1×10-3米3＝4×103千克/米3

【例题2】如图2所示，水平桌面上放有轻质圆柱形容器A（容器足够高）和实心圆柱体B。

容器A内装有深为0.1米的水，实心圆柱体B的质量为4千克、高为0.2米、底面积为0.01米2。

求：

（1）圆柱体B的密度。

（2）水对容器底部的压强。

（3）将圆柱体B竖直放入容器A中，能浸没在水中时，容器A对水平桌面压强的最小值。

【答案】

（1）2×103千克/米3；

（2）980帕；（3）2940帕。

【解析】

（1）VB=SBhB=0.2米×0.01米2=2×10-3米3

ρB=mB/VB=4千克/（2×10-3米3）=2×103千克/米3

（2）p水=ρ水gh水

=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕

（3）因为容器A对水平桌面的压力等于水的重力与B的重力的和是不变的，要求容器A对水平桌面的压强最小，应该满足容器的底面积最大才可以，但水的体积是一定的，底面积大时不一定浸没，所以要同时满足这两个条件，只有物体竖直放入且刚好浸没时，才可以。

先求容器的最大底面积Smax

Smax×0.2米=0.1米×Smax+0.2×0.01米3

Smax=0.02米2

再求容器A对水平桌面压强的最小值：

Pmin=F/Smax=（G物+G水）/Smax

=m物g/Smax+ρ水gh水

Pmin=4千克×9.8牛/千克/0.02米2+1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米

Pmin=2940帕

【例题3】如图3所示，有一个底面积S2为3.0×10-2米2、足够深的柱状容器，其内有一个底面积S1为1.0×10-2米2高为0.2米的金属柱状实心物体，现不断向容器内注入水。

①当加入水的体积为2×10-3米3时，求水对容器底部的压强；

②当加入水的质量为6千克时，求水对容器底部的压力。

【答案】①980帕；②78.4牛。

【解析】

此类问题的计算难点是判断容器内的水是否浸没物体，根据数学知识即可。

①如果物体未被浸没，则水为柱形，底面积为（S2—S1），高度为

h水=V水/（S2—S1）＝2×10-3米3/（3.0×10-2米2－1.0×10-2米2）=0.1米

小于物体的高度高0.2m，所以物体没有被浸没，水的深度为0.1米。

水对容器底部的压强

p=ρ水gh水

=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕

②若水的质量为6千克时，体积为

V水＝m水/ρ水＝6千克/103千克/米3＝6×10-3米3

如果物体未被浸没，则水的高度为

h水=V水/（S2—S1）＝6×10-3米3/（3.0×10-2米2－1.0×10-2米2）=0.3米

可见大于物体的高度高0.2m，所以物体被浸没。

物体的体积为V甲＝1.0×10-2米2×0.2m＝2×10-3米3

水的深度为

h水=（V水+V物）/S2＝（6×10-3米3+2×10-3米3）/3.0×10-2米2=0.27米

水对容器底部的压强

p=ρ水gh水

=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.27米＝2646帕

水对容器底部的压力

F=pS＝2646帕×3.0×10-2米2＝78.4牛

【例题4】如图4所示，一个高度为0.2米、底面积为0.02米2的轻质圆柱形容器A内装有酒精，深度为0.1米（已知ρ酒=0.8×103千克/米3）。

求:

（1）酒精的质量m；

（2）酒精对容器底部的压强p；

（3）若将一个密度为2000千克/米3、底面积为0.01米2、高度为h的圆柱形实心物体B竖直放入容器中,使酒精对容器底部产生的压强为最大,求圆柱形实心物体的最小高度值和酒精对容器底部产生的最大压强p最大。

【答案】

（1）1.6千克；

（2）980784帕；（3）1568帕。

【解析】

（1）m酒＝ρ酒V酒＝0.8×103千克/米3×2×10-3米3＝1.6千克

（2）p酒＝ρ酒gh酒＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝784帕

（3）为使酒精对容器底部产生的压强最大，则酒精的深度h酒最大，应使圆柱形实心物体B没有浸没或刚好浸没（如图5）。

此时酒精的最大深度为

h酒=V酒/（SA—SB）＝2×10-3米3/（0.02米2－0.01米2）=0.2米

酒精的最大深度等于圆柱形容器A的高度，酒精未溢出。

圆柱形实心物体的最小高度值为hB=0.2米

p最大＝ρ酒gh酒＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1568帕

三、练习题

1．如图1所示，薄壁柱形容器B置于水平地面上，均匀立方体A放置在容器B内，已知A的边长a为0.1米，重力大小为15牛；B的底面积为5×10-2米2。

⑴求立方体A对容器B底部施加的压强pA。

⑵若再向容器B内缓慢注入质量为4千克的水，求水对容器B底部的压强p水。

【答案】

（1）2⨯103千克/米3；

（2）980帕；（3）0.89千克。

【解析】

（1）因为立方体A放置在水平面上不动，所以立方体A对容器B底部施加的压强为：

pA=FA/SA=G/S=15牛//10-2米2=1500帕

（2）V水＝m水／ρ水=4千克/1.0×103千克/米3=4×10-3米3

假设水倒入容器B后，水面没有超出立方体的顶部，则水深

h=V水/S水＝V水/（SB—SA）

＝4×10-3米3/（5.0×10-2米2－1.0×10-2米2）=0.1米

因为水深h等于立方体A的边长a，所以假设成立。

因此p水＝ρ水gh＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝9.8×102帕。

2．如图2所示，均匀实心圆柱体甲和盛有水的薄壁圆柱形容器置于水平地面上，容器足够高，它们的底面积分别为S和3S，容器中水的深度为h，甲的重力为G。

①求甲对水平地面的压强。

②若容器中水的体积为2×10-3米3，求水的质量。

现沿水平方向将甲截去一定厚度，并将截去部分放入容器内的水中，发现甲所截的厚度H满足一定条件时，将它放入水中后，水对容器底的压强增加量△p水与H无关。

请通过计算说明H应满足的条件及△p水。

（水的密度表示为ρ水）

【答案】①G/S；②2千克；

H≥1.5h；0.5ρ水hg

【解析】

①P甲＝F甲/S甲＝G/S

②m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×2×10-3米3＝2千克

圆柱体甲在水中沉底且不浸没时，水对容器底的压强增加量与甲的厚度H无关。

且S甲=S/3，水能上升到的最大深度为h水后＝1.5h，所以甲所截的厚度H≥1.5h

△h水＝1.5h－h＝0.5h

△p水＝0.5ρ水hg

3．如图3所示，圆柱体甲的体积为2×10-3米3，高为0.2米，甲的密度为2×103千克/米3。

①求甲的质量m甲。

②求甲竖直放置时对水平地面的压强p甲。

③现有一底面积为2×10-2米2、高为0.25米的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上。

在容器乙中盛有质量为2千克的某种液体，将甲竖直放入其中至容器底，并分别测出甲放入前后液体对容器底部的压强p液，如表所示。

求容器乙中液体密度的最小值。

【答案】①4千克；②3920帕；③103千克/米3。

【解析】

①m甲＝ρ甲V甲＝2×103千克/米3×2×10-3米3＝4千克

②p甲＝ρ甲gh甲＝2.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝3920帕

③因为p液’=2p液，所以h液’=2h液，柱体不浸没或刚好浸没

V排≤V甲

2×10-2米2×h液≤1×10-2米2×h甲

h液≤1/2h甲=0.1米

V液大=0.1米×2×10-2米2=2×10-3米3

ρ液小=m液/V液大=2千克/2×10-3米3=103千克/米3

4．如图4（a）所示，两个完全相同的薄壁圆柱形容器放在水平地面上。

容器中分别盛有酒精和水，酒精的体积为

米

（已知

千克/米

）。

将图4（b）所示的实心圆柱形金属块（底面积为容器底面积的一半），分别竖直放入酒精和水中（液体都不溢出），同时测出放入金属块前后酒精和水对容器底部的压强p酒和p水，如下表所示。

求：

①酒精的质量m酒。

②放入金属块前容器中水的深度h水。

③已知金属块放入液体后有浸没、未浸没、恰好浸没三种状态。

i）分析比较金属块放入酒精前后，酒精的压强：

P'酒＜2P酒，可推出h'酒＜2h酒；同时结合已知条件S金=S容/2，可分析推出：

金属块在酒精中处于___________状态。

ii）分析比较金属块放水中入前后，水的压强：

__________，可知___________，可分析推出：

金属块在水中处于未浸没或恰好浸没状态。

iii）进一步综合分析，并通过计算说明金属块在水中所处的状态。

【答案】①2.4千克；②0.2m；③i）浸没；ii）P'水=2P水；h'水=2h水，同时结合已知条件S金=S容/2；iii）金属块在水中未浸没。

【解析】

①m酒＝ρ酒V酒＝0.8×103千克/米3×3×10-3米3＝2.4千克

②p水＝ρ水gh水＝103千克/米3×9.8牛/千克×h水

h水＝0.2m

③i）浸没；

ii）P'水=2P水；h'水=2h水，同时结合已知条件S金=S容/2

iii）方法一：

因为酒精的总体积不变，h酒=p酒/（ρ酒g）=0.3米

h'酒=p'酒/（ρ酒g）=0.55米

△h酒=0.25米

h金=△h酒S/（1/2S）=0.5米

所以金属块在水中未浸没。

方法二：

若金属块在水中恰好浸没

h金=2h水=0.4米则△h酒=h金×（S/2）/S=0.2米

h''酒=h酒+△h酒=0.5米

但实际金属块放入后酒精高度为h'酒=p'酒/（ρ酒g）=0.55米

h'酒＞h''酒

所以金属块在水中未浸没。

5．盛有水的柱形容器置于水平地面上，现有一个棱长分别为0.1米、0.1米和0.3米的实心长方体金属块A，将A平放入容器中后，A浸没在水中，如图5所示（图中水面位置未画出）。

图5

（1）求A所受浮力的大小。

（2）若A的质量为8.1千克，求A的密度。

（3）若容器的内底面积为0.05米2，现将A由原平放改成竖放在水中，求容器底受到水的压强变化量的范围。

【答案】（129.4牛；

（2）2.7×103千克／米3；（3）0~490pa。

【解析】

（1）因为浸没，所以V排=V物

F浮=ρ液gV排=ρ水gV排=1.0×103千克／米3×9.8牛/千克×3×10-3米3=29.4牛

（2）ρ=m/V=8.1千克/0.003米3=2.7×103千克／米3

（3）第一种情况：

若原水面高度≥0.3米（竖放后仍保持浸没），则竖放后水面高度不变，即压强的变化量△p水＝0

第二种情况：

若原水面高度恰为0.1m，设竖放后水面高度的变化量为△h

则（0.05-0.03）米2×0.1米＝（0.05-0.01）米2×（0.1米-△h）

△h＝0.05米

△p水＝ρ水g△h水＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.05米＝490帕

压强的变化量范围是0~490pa

6．如图6（a）所示，轻质薄壁圆柱形容器甲置于水平地面，容器高0.2米，内盛0.15米深的水，水对容器底部压力为29.4牛。

①求水对容器底部的压强p水。

②求容器的底面积S容。

③现有面积为0.5S容、高为h、密度为5×103千克/米3圆柱体乙，如图6（b）所示，将乙竖直放入容器甲中，若要使水对容器底部的压强p水′最大，求h的最小值。

【答案】①1.47×103帕；②2×10-2米2；③0.1米。

【解析】

p水＝ρ水gh

＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.15米

＝1.47×103帕

S容＝F/p

＝29.4牛/（1.47×103帕）

＝2×10-2米2

③V甲上＝V乙小

S甲×（0.2米－0.15米）＝0.5S甲×h乙小

h乙小＝0.1米

7.薄壁圆柱形容器甲的质量为0.4千克，底面积为1×10-2米2，容积为3×10-3米3，置于水平桌面上，内盛0.2米深的水。

①求甲底部受到的水的压强p水。

②现将质量为3.6千克的物体乙轻放入甲内，且乙浸没在水中。

（a）求甲对桌面达到的最大压强p甲。

（b）当甲对桌面达到最大压强时，求乙的最小密度ρ乙。

【答案】①1960帕；②（a）5880帕；（b）③3.6×103千克/米3。

【解析】

①P水=ρ水gh

=1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米3

=1960帕

②（a）F甲max=Gmax=（m容+m水+m物）g

=6千克×9.8牛/千克=58.8牛

p甲max=Fmax/s=58.8牛/1×10-2米2=5880帕

（b）V乙max=V容-V水=3×10-3米3-2×10-3米3=1×10-3米3

ρ乙min=m物/Vmax

=3.6千克/1×10-3米3=3.6×103千克/米3

8．如图8所示，放在水平地面上的薄壁圆柱形容器A、B，底面积分别为4×10-2米2、6×10-2米2，高均为0.5米。

A中盛有6.4千克的酒精（已知ρ酒＝0.8×103千克/米3）、B中有一底面积为3×10-2米2、高为0.25米、质量为15千克的实心金属块甲，同时盛有水，水深0.12米。

求：

①甲的密度；

②酒精对容器底的压强；

③若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，是否有可能使液体对容器底的压强相同。

若有可能请求出体积值，若不可能请通过计算说明。

【答案】①2×103千克/米3；②1568帕；③有可能。

3×10-3m3或7.5×10-3m3。

【解析】

①ρ甲＝m甲/V甲

＝15千克/（3×10-2米2×0.25米）＝2×103千克/米3

②p酒＝F酒/S酒

＝m酒g/S酒

＝6.4千克×9.8牛/千克/4×10-2米2＝1568帕

③容器A中原来酒精的深度为h酒=V酒/SA=m酒/ρ酒SA=0.2米

容器B中原来水的深度为h水=0.12m，

向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，p水’＝p酒’即：

ρ水gh水′=ρ酒精gh酒′，

ρ水g[h水+V/（SB—S甲）]=ρ酒精g（h酒+V/SA）

V＝3×10-3米3

h水=0.22米＜h铜所以成立。

9．如图9所示，在水平桌面上放有两个完全相同的薄壁柱形容器A、B，底面积为5×10-3米2，高0.6米，容器中分别盛有0.7千克水和0.2米深的酒精（ρ酒精=0.8×103千克/米3），求：

①A容器中水的体积V水；

②B容器中酒精对容器底部的压强p酒精；

③将两个底面积为2.5×10-3米2、完全相同的实心铜质圆柱体分别放入A、B容器底部，要求：

当圆柱体高度h为一定值时，容器内的液体对各自底部的压强大小相等（即p水’=

p酒精’）。

计算出圆柱体高度的可能值。

【答案】①0.7×10米3；②1568帕；③0.3m或0.2m。

【解析】

①V水=m水/ρ水=0.7千克/1×103千克/米3=0.7×10米3

②p酒=ρ酒gh酒=0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米=1568帕

③因为容器内的液体对各自底部的压强大小相等

即p水’=p酒精’

ρ酒gh酒’=ρ水gh水’

h酒’S容=h酒S容+h铜S容/2

h铜=0.3m

ρ酒gh酒”=ρ水gh水”

ρ酒g（V酒+S铜h铜”）/S容=ρ水g（V水+S铜h铜”）/S容

h铜”=0.2m

10．如图10所示，水平地面上置有轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙。

甲的底面积为0.01米2、高为0.3米，盛有0.2米深的水；乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，质量为8千克。

求水对甲底部的压强p水。

求乙的密度ρ乙。

若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，此时水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器对地面压强的变化量Δp甲。

【答案】①1960帕；②2×103千克/米3；③4410Pa。

【解析】

①p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕

②ρ=m/V=8千克/（0.005米2×0.8米）=2×103千克/米3

③水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力F水=F乙

因为F=PS

所以ρ水gh水S甲=ρ乙gh乙S乙

ρ水gh水2S乙=2ρ水gh乙S乙

h水=h乙即水的深度等于乙剩余部分的高度

当（V水+V´乙）=V容时（水刚好满）需要乙的高度

h´乙=（V容-V水）/S乙=（3×10-3米3-2×10-3米3）/0.005米2=0.2米

所以h甲=h乙=0.3米

V溢=（V乙浸-V上升）=0.3米×0.005米2-0.1米×0.01米2=5×10-4米3

△P甲=△F甲/S甲＝△G/S甲

＝（G乙切–G溢）/S甲

=（5千克–103千克/米3×5×10-4米3）×9.8牛/千克/0.01米2

＝4410Pa。

11．如图11所示，圆柱体甲的质量为3千克，高为0.2米，底面积为S。

①若甲的密度为2×103千克/米3，求甲的体积V甲。

②现有一底面积为2S、高度足够高的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上，将甲竖直放入其中至容器底，并分别测出甲放入前后水对容器底部的压强p水，如下表所示。

Ⅰ.求甲放入后水深度的变化量∆h水。

Ⅱ.求p0的大小。

【答案】①1.5×10-3米3；②Ⅰ.0.1米；Ⅱ.1960帕。

【解析】

①V甲＝m甲/ρ甲＝3千克/2×103千克/米3＝1.5×10-3米3

②Ⅰ.设水原来的深度为h0，则水的体积V水=2sh0

假设将甲竖直放入其中至容器底，水面没有超出甲的顶部，

水深:

h＝V水/S水=2Sh0/S=2h0

则水的压强为p水＝ρ水gh＝2p0

而题目给的压强是p水＝1.5p0与假设矛盾，所以甲一定被浸没。

水升高的高度为：

∆h水＝V甲/2s=0.2米×s/2s＝0.1米

Ⅱ.∆p水＝ρ水g∆h水

＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米

＝980帕

∆p水＝1.5p0－p0＝0.5p0

p0＝2p水＝1960帕

12.底面积为1⨯10-2米2的薄壁圆柱形容器A（容器足够高）放在水平地面上，里面盛有0.2米深的水，如图12所示。

将一质量为6千克、底面积为5⨯10-3米2的实心圆柱体B竖直放入容器A中，待水静止后，上表面露出水面高度为0.1米，求：

（1）容器中水的质量m水；

（2）金属圆柱体B的密度ρB。

【答案】

（1）2千克；

（2）2.4×103kg/m3。

【解析】

V=Sh＝1⨯10-2m2×0.2m＝2⨯10-3m-3

m＝ρ水V

＝1.0×103kg/m3×2×10-3m3

＝2kg

若F浮B=GB

则h浸B=F浮B/ρ水gSB=1.2m

∵h水最大=0.4m∴不成立

∴B物体触底hB=0.5米

VB=SBhB＝5⨯10-3m2×0.5米＝2.5⨯10-3m3

ρB＝mB/VB＝6kg/2.5×10-3m3

＝2.4×103kg/m3

13．如图13所示，质量为0.5千克，底面积为2×10-2米2的圆柱形薄壁容器至于水平地面中央，容器内放有一个边长为0.1米，质量为2.5千克的正方体物块A。

①求物块A的密度ρ物。

②求容器对水平地面的压强p地。

③在容器中倒入3×10﹣3米3的水，物块仍沉底且水未溢出，求水对物块顶部的压强p顶。

【答案】①2.5×103千克/米3；②1470Pa；③980Pa。

【解析】

①正方体物块的体积：

V物=L3=（0.1米）3=10-3米3

物块的密度：

ρ物=m/V=2.5千克/10-3米3=2.5×103千克/米3

②容器对水平地面的压力：

F=G=（m容+m物）g=（0.5kg+2.5kg）×9.8N/kg=29.4N

容器对水平地面的压强：

P地＝F/S＝29.4牛/2×10-2米2=1470帕；

③容器内液体的深度：

h=（V水+V物）/S=（3×10-3米3+10-3米3）/2×10-2米2=0.2米

物块顶部所处的深度：

h顶=h-L=0.2米-0.1米=0.1米

水对物块顶部的压强：

p顶=ρ水gh顶=1.0×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m=980Pa