中考试题中的数学思想方法例析.doc
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中考试题中的数学思想方法例析
山东省临沭县第一初级中学刘金广
分析近几年的中考试题，不难看出,中考命题都遵循着两条线:
一条是明线：
以选择题、填空题、解答题等外在形式考察数、式、方程、函数、三角形、四边形、圆等初中数学的重点内容；一条是暗线：
通过试题重点考察初中数学常用的思想方法。
数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁。
随中考改革的深入,中考试题从知识型转到能力型，更加突出了对数学思想方法的考察。
一、数学思想
初中阶段常用的数学思想有：
数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化思想、方程思想、函数思想等。
1、数形结合思想
就是把数式与图形结合起来、代数与几何结合起来，进行分析、研究、解决问题的思维策略。
例1已知：
a>0,b<0,a+b<0,那么下列各式中正确的是（ ）
Ａ -b<-aＣb<-a<-b分析：
本题考察数的大小比较，灵活性强,用代数的方法思考，极易出错；若借助数轴，利用图形，则一目了然。
-a
b
0
a
-b
解：
根据a>o,b<0,a+b<0,易在数轴上标出a、b的位置（如图）,再标出-a、-b的位置，显然有b<-a例2二次函数y=x2+x+1与反比例函数y=在同一直角坐标系中交点的个数是（）
A0B1C2D3
分析:
如果用代数方法，解方程组代入求得:
x3+x2-1=0,来讨论三次方程根的个数,是困难的；如果在同一直角坐标系中,分别作出y=x2+x+1和y=的草图（如图2）,容易看到:
两曲线只有一个交点,故应选B
0
2、分类讨论思想
数学中的分类讨论就是把研究的对象所可能出现的情况不重复、无遗漏的分别加以讨论，从而获得完整的解答。
例3某单位计划5月份组织员工到H地旅游，人数估计在10 -25人之间。
甲、乙两旅行社的服务质量相同，且价格都是每人200元。
该单位联系时，甲旅行社表示可予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。
问该单位应怎样选择，使其支付的旅游费用较少？
分析：
本例是市场决策型分类，具有时代特色，解决此题的关键是以到H地旅游人数为标准，分为三种情况逐一讨论。
解：
设该单位到H地旅游人数为x人，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元，则有
y1=200×0.75x,即y1=150x;
y2=200×0.8（x-1），即y2=160x-160.
（1）若y1＝y2，解得x=16；
（2）若y1＞y2,解得x<16;
（3）若y1＜y2,解得x>16.
所以，当人数为16人时，选择甲或乙旅行社所付费用一样多，即可任选其一；当人数在17---25人之间时，选择甲旅行社所需费用较少；当人数在10---15人之间时，选择乙旅行社所需费用较少。
3、转化思想
数学解题的过程实际就是转化的过程,换句话说,解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程,通过对条件的转化,结论的转化,使问题化难为易,化生为熟,最终求得问题的解答.
例4如图,某小区规划在一个长40米,宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求小路的宽度.
分析:
若从总面积中减去各条小路的面积,计算较繁,且因有重合部分,极易出错;不妨把各条小路平移到边上,把各小块草坪转化为一大块草坪去思考,问题就易解决了.把不规则图形转化为规则图形,是解决本题的关键.
解:
设小路宽为x米,可得（40－2x）（26-x）＝144×6,
解得x＝2
答:
略.
4、方程思想
方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考试题中用方程思想求解的题目随处可见。
同时，方程思想也是解几何计算题的重要策略。
例5如图，已知在ABC中，∠B=90°,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2,AE=1,求CD的长。
分析：
本题分别应用切割线定理和勾股定理，列出方程，问题即得到解决。
A
B
C
D
E
O
解：
由∠B=90°，可知BC⊥AB.
∵BE为⊙O的直径,
∴CB切⊙O于B
∵AC切⊙O于点D,
∴CD=CB
由切割线定理,可得AD2=AE×AB
∴AB=
设CD=x,则AC=x+2,
由勾股定理,可得AC2=AB2+BC2
即（x+2）2=42+x2,
化简,整理并解之,得CD=x=3.
5.函数思想
函数思想就是用运动、变化的观点来观察、分析问题，并借助函数关系思考解决问题。
例6某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图1），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高。
（精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计）
分析:
将问题转化为二次函数进行研究,建立适当的坐标系,确定函数解析式,再求函数值.
解:
以大门所在平面与地面的交线为x轴,以大门的对称轴为y轴,建立直角坐标系（如图2）,则A（-4,0）、B（4，0）、C（3，4）、D（-3，4）.
设函数解析式为y=a（x+4）（x-4）.
∵C（3,4）在抛物线上,
∴4=a（3+4）（3-4）,∴a=-,
∴y=-（x+4）（x-4）.
∵门高即为函数的顶点的纵坐标,如图顶点（0,y）,
∴当x=0时,y=-（0+4）（0-4）=≈9.1（米）
6、整体思想
按常规求某一未知量不易时，可打破常规，由题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例7已知方程组求的值。
分析:
此题若从方程组中解出的值再代入代数式求值.解答比较麻烦.若注意到所求代数式与方程的关系,用整体法求解将比较简便.
解:
把方程①×2,②×3得2x+4y=2,6x-9y=6整体代入得
原式=
二、数学方法
初中数学常用的数学方法有:
换元法、配方法、参数法、特殊值法、待定系数法等。
1、换元法就是用新元代替旧元,通过变量代换创造条件，化难为易，化繁为简,使问题得到解决。
例8解方程+=11
分析：
此题如果用去分母的方法，所得的整式方程为：
8（x2+2x）2+3（x2-1）2=11（x2-1）（x2+2）
展开整理后，一则很繁，再则不是二次方程，难以解决；仔细观察，可以看出方程左边两个分式中的与互为倒数，根据这一特点，可以用换元法来解。
解:
设=y,那么=,于是原方程变形为8y+=11,
整理得8y2-11y+3=0,
解得y1=1,y2=.
由=1,解得x1=-;由=,解得x2=-3,x3=-.
经检验，三个都是原方程的根.
∴原方程的根是x1=-;x2=-3,x3=-..
2、配方法
通常是把已知式子配成完全平方，然后根据配方后的式子求出未知量。
例9通过配方求抛物线的对称轴和顶点坐标。
解：
∴对称轴是x=4,，顶点坐标是（4,-5）.
3、参数法
在解题过程中，引入新的变量，根据题设推理计算，从而获解的方法叫参数法。
参数法常用于解答涉及连等一类的题目。
例10已知求的值.
4、特殊值法
在字母的允许值的范围内取特殊值进行解题的方法，称为特殊值法。
例11已知1Aa+bBa-bCa2+bDa+b2
解：
∵1∴最大的是a-b,故选B
5、待定系数法
先设出式子的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，称为待定系数法。
例12已知y=y1+y2,,y1与x+1成正比例，y2与x成反比例,且当x=1时，y=0;当x=4时，y=9,求y与x的函数关系式。
解：
y1与x+1成正比例,可设y1=k1（x+1）;y2与x反比例,可设y2=;由y=y1+y2得y=k1（x+1）+，根据题意，得
解得
∴y与x的函数关系式为y=2x-+2
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