专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版.docx

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专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法

、知识点

1•四边形的内角和与外角和定理：

（1）四边形的内角和等于360°；

（2）四边形的外角和等于360°

2.多边形的内角和与外角和定理：

（1）n边形的内角和等于（n-2）180

（2）任意多边形的外角和等于360°

3.平行四边形的性质:

四边形ABCD是平行四边形

性质

判定

（1）两组对边分别平行;

（2）两组对边分别相等;

（3）两组对角分别相等;

（4）对角线互相平分；

（5）邻角互补.

4、平行四边形判定方法的选择

已知条件

爵的狎定方法

边

1—suttsaimf

…一…方注◎片方法（3）

j亠组对边平行

定&X方法6方法⑶

角

|—胡对角相等:

［二方法⑸、一一j

对角钱」

方袪緡

5、和平行四边形有关的辅助线作法

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形

■匚

例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形•

求证：

OE与AD互相平分.

说明：

当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可

（2）利用两组对边平行构造平行四边形

AE=BFED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.

例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点,

求证：

ED+FG=AC.

说明：

当图形中涉及到一组对边平

行时，可通过作平行线构造另一组

说明：

本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•

（4）

连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形

相等（只需证明一条线段即可）

（5）

平移对角线，把平行四边形转化为梯形

（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例6、已知：

如图，四边形ABCD为平行四边形

求证：

AC2BD2AB2BC2CD2DA2

（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例7、已知：

如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交

于P点，求证：

APAB

二、课堂练习：

1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交于点F,若平行四边形ABCD

的面积为S，则图中面积为-S的三角形有（）

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形.

3、如图，AD，BC垂直相交于点O,AB//CD，

贝UAB+CD的长=。

4、已知等边三角形ABC的边长为a,P是厶ABC内一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,点D

E、F分别在BC、ACAB上，猜想：

PMPE+PF=

猜想.

5、平行四边形ABCD中,E,G,F,H分别是四条边上的点，且AECF,BCDH,试说明：

EF与GH相互平分.

任作一直线分

别交ABCD于GH.

试说明：

GF//EH.

7、如图，已知ABAC,B是AD的中点，E是AB的中点.

试说明：

CD2CE

9、已知六边形ABCDEF勺6个内角均为120°,CD=2cmBO8cmAB=8cmAF=5cm试

求此六边形的周长.

10、已知ABC是等腰三角形，AB=ACD是BC边上的任一点，且DEAB,

DFAC,CHAB，垂足分别为E、F、H,

求证：

DEDFCH

11、已知：

在RtABC中，ABBC;在RtADE中，ADDE；连结EC，取EC的中点

连结DM和BM.

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，

求证：

BMDM且BMDM；

（2）如果将图8-①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么

（1）

中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

B

A

D

图①

图-②

答案:

例4、⑴连结BF

⑵BFDE

⑶证明：

连结DB,DF,设DB,AC交于点0

•••四边形ABCD为平行四边形二AOOC,DO0B

•••AEFC•••AOAEOCFC即OEOF

•••四边形EBFD为平行四边形二BFDE

例5、解：

将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平行四边形，

•••在ACE中,AC12,CEBD10,AE2AB2m

•••12102m1210，即22m22解得1m11故选A

例6、证明：

过A,D分别作AE

BC于点E,DFBC的延长线于点F

•AC2AE2CE2AB2

BE2（BCBE）2AB2BC22BEBC

BD2DF2BF2（CD2

CF2）（BCCF）2CD2BC22BCCF

贝UAC2BD2AB2BC2CD2DA22BCCF2BCBE

•••四边形ABCD为平行四边形•AB//CD且ABCD,ADBC

•ABCDCF

IAEBDFC90°

•ABEDCF

•BECF

•AC2BD2AB2BC2

CD2DA2

例7、证明：

延长CF交BA的延长线于点K

•••四边形ABCD为正方形

•AB//CD且ABCD,CDAD,BADBCDD90°

•1K又ID

DAK90°,DFAF•CDF也KAF

•••AKCD

AB

11

vCE—CD,DF—AD

22

•••CE

DF

vBCD

D90°

•••BCE也CDF

•••1

2

v13

90°

2390°•••CPB

900,则

KPB90

•••APAB

二、课堂练习

1、C2、

平行3

、104、a

5、分析：

观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行

四边形，根据

平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到

6分析：

观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四

边形，平行四

边形具有对边平行的性质可得GF//EH.

平行四边形

的性质证明△DBCFBC即可

7、分析：

延长CE至F,使EF二CE，连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用

8、分析：

过点E作MN//AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平

行四边形,

△ABE与四边形ABNM等底等高，所以Saabe=

訂平行四边形

ABNM，接下来说明

S梯形ABCD=S平行四边形ABNM

即可。

9、

延KBAsEF,交点记作G;EDt交点记柞H・

Vx1=120%AZ3=

hlJl，_4=_7=_S=（.ipt推导出Ml◎土AUDH都是止三角形*F（.：

=<；A=FA-5b_a=«0flp

丁B+Z*EH//GA,

.G+F=ISO°,.\GF/rBH園此，四边形GMlli呈平打回勉龙，GB=GA+AB=5-H=13tBH=BCK'H=«+2=Hl四边形GBHE的同艮-d3+10声』76人坊略的周长的周忙=四期邮（；RHF■的周长・&»3址

10、证明：

过D点作DG丄CH于G

又DE丄AB于E，CH丄AB于H

•••四边形DGHE为矩形

•••/B=ZGDC

又AB=AC

•••/GDC=ZACB

又/DGC=ZDFC=90°

•••△CDGBADCF（AAS）

•••DE=GH

EH//DG

•••ZB=ZACB

CD=DC（公共边）

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平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同

性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三

角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等

第一类：

连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上,且AECF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有

的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

⑴连结BF⑵BFDE

⑶证明：

连结DB,DF，设DB,AC交于点0

第二类：

平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果AC12，BD10，ABm，那么m的取值范围是（）

A1m11B2m22C10m12D5m6

解：

将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平行四边形，•••在ACE中，AC12,CEBD10,AE2AB2m

•••12102m1210，即22m22解得1m11故选A

第三类：

过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知：

如左下图3,四边形ABCD为平行四边形

求证：

AC2BD2AB2BC2CD2DA2

证明：

过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F

•AC2AE2CE2AB2BE2（BCBE）2AB2BC22BEBC

BD2DF2BF2（CD2CF2）（BCCF）2CD2BC22BCCF

贝UAC2BD2AB2BC2CD2DA22BCCF2BCBE

•••四边形ABCD为平行四边形•AB//CD且ABCD,ADBC

•ABCDCFTAEBDFC90°

•••AC2BD2AB2BC2CD2DA2

第四类：

延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4:

已知：

如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF

交于P点，求证：

APAB

证明：

延长CF交BA的延长线于点K

•••四边形ABCD为正方形

AB//CD且ABCD,CD

AD,BAD

BCD

D900

1

K

又•••

D

0

DAK90,

DF

AF

•••CDF也KAF

AK

CD

AB

vCE

1

CD,DF

1

AD

•••CEDF

2

2

BCD

D90°

BCE也CDF

•••12

1

3

90°

2

3900

•••CPB

900,则KPB900

AP

AB

第五类：

延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上,

适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：

延长AE与BC的延长线相交于F，则有AEDsFEC,FABsFEC,AEDsFAB

交BD于F，求BF:

BD

BD

2

解：

连结AC交BD于点0,连结0N

AN

BN

•••ON//-BC且ON

2

-BC

2

.BE

…ON

BF

FO

1

BF

2

BE

-BC

•••BE:

ON

2:

3

—

3

FO

3

BF

2

•••BF:

BD

1:

5

BO

5

•••四边形ABCD为平行四边形

•••OAOC,OB

0D

综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：

连对角线，平移对角线，延长一边中点与

顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形,

为证明解决问题创造条件。