猪肉价格的数学模型.docx
《猪肉价格的数学模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《猪肉价格的数学模型.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
猪肉价格的统计模型
摘要
本文就猪肉价格预测的问题，根据题目中的条件和要求，在合理的假设下，建立三个模型。
模型一为简单的直线方程模型；模型二是在采用灰色关联度建立猪肉价格与其影响因素的关系模型后，利用关联度返算，建立猪肉价格预测模型；模型三是建立养猪场盈亏平衡点等式模型。
通过求解这三个模型，很好的解决了问题。
在问题一中，利用半数平均法，建立猪肉价格预测模型。
首先通过对2000年1月至2009年6月我国猪肉价格数据的分析，得出猪肉价格在短期内呈线性增长趋势，然后用直线方程拟合该时间序列（猪肉价格随时间变化的序列），在完全确定直线方程模型后，通过该方程求出时间序列的各趋势值，接着运用EXCEL软件作出二者的曲线并进行比较，证明该直线方程模型的可行性，最后在此基础上，预测出2009年下半年猪肉价格的趋势值。
在问题二中，确定影响猪肉价格的因素，采用灰色关联法，建立猪肉价格与其影响因素的关系模型。
首先使用季节平均法得出猪肉价格的季节指数（
S1'=1,S2'=0.98,S3'=1.08,S4'=1.13），其次对猪肉价格与玉米价格时间序列图进行观察比较，易知两者变化呈正相关，然后利用灰色关联法，以往年的猪肉价格作为参考序列，以往年的玉米价格和季节指数作为比较序列，求出玉米价格和猪肉价格和季节指数与猪肉价格的关联度分别为0.755和0.972。
最后，利用关联度返算，推导得出猪肉价格的预测公式：
X=2.92+10G+9.26Si'.
在问题三中，首先根据猪的不同重量，将猪分为三个成长阶段：
1Kg～15Kg为幼年期；15Kg～90Kg为成长期；90Kg～100Kg为成年期。
由于猪的体重从5到100公斤呈正态分布，可以算出三个阶段的猪的数量分别为5，990，5。
然后根据猪场收入与成本建立猪场盈亏平衡点等式模型，可以得到猪粮比为6.5：
1，即该养猪场的盈亏平衡点。
最后，文章根据模型分析的结果，在更全面了解影响猪肉价格因素的基础上，就目前我国已存在的猪肉市场相应的政策与机制，提出了合理可行的意见与建议。
关键词：
半数平均法 季节平均法 灰色关联法 猪粮比 盈亏平衡点
一、 问题重述
我国猪肉价格从2007年5月开始突然以历史最大的涨幅攀升，部分地区猪肉批发价在短时间内翻番。
在联动效应作用下，肉、蛋、油价格迅速蹿高。
于是，居民消费价格指数（CPI）连续四个月大幅上涨，2007年8月涨幅创下6.5%这一10年新高。
猪肉现在已经是大多数人必须的消费品之一，猪肉价格已经成为国民经济中的一个非常重要的影响因素。
猪肉价格的大幅上调直接影响到了相当一部分中低收入群体的生活。
究竟是什么原因导致猪肉价格波动如此之大的呢？
有关部门与专家认为：
一是饲料价格上涨，从而导致养猪成本增加，农民养猪积极性受挫；二是生猪收购价格偏低，导致养猪户积极性不高。
因此，猪肉市场出现尴尬现象。
猪肉市场供不应求，最终导致了猪肉价格冰火两重天的现象。
由此我们可以看到，这次肉价上涨并不是没有先兆的，老话说，未雨应绸缪，防患于未然。
假设有关部门之前早早地就积极组织调配各地货源，保证货源充足，就能改善这种状况。
根据题意，本文要解决的问题有：
问题一：
根据题目所给的2000年1月至2009年6月我国猪肉价格月数据[2]（见附表一），简单分析猪肉价格变化的趋势。
在此基础上，建立猪肉价格模型，并对2009年下半年猪肉价格进行简单预测；
问题二：
分析影响猪肉价格的因素，建立猪肉价格与其影响因素的关系模型，从而预测猪肉价格的变化趋势，并与第一问所建的模型进行比较，证明该模型的可行性。
问题三：
设现阶段有某中型养猪场（1000头猪从5到100公斤呈正态分布，其中猪体重的期望值为50kg）。
根据猪肉价格和饲料价格波动特点，根据当前的实际情况，计算该养猪场的盈亏平衡点（猪粮比）。
问题四：
通过对以上三个问题的分析研究，谈谈你对保持猪肉价格稳定的问题有何切实可行的意见和建议，字数限制在一千字以内。
二、 问题的分析
猪肉价格事关民生，是居民消费价格指数的重要组成部分，猪肉价格的大起大落[4]，既伤农，又伤民。
由于生猪养殖既有周期性，又有疫病发生等不可预测因素，因此仅
靠市场来调节猪肉价格极易造成06年大量屠宰能繁母猪以及07年猪肉价格大幅上涨带动CPI上涨的被动局面。
在此情况下，保持生猪生产的供需平衡及猪肉价格的稳定尤为重要，而其中把握及预测猪肉价格变动及其走势的信息更是重中之重。
对于问题一，首先通过对2000年1月至2009年6月我国猪肉价格月数据的对比分析，得出我国猪肉价格在短期内呈线性增长趋势（2007年8月是一个例外），而且由于该时间序列观察值的逐期增长量大致相同，所以运用半数平均法[1]将数据拟合成一条直线：
Xˆt=14.04+0.116t;t=-57,-56,-55 然后根据时间编码规则，得出各月份猪肉
价格的趋势值。
再对趋势值与实际值进行分析，运用EXCEL软件画出二者的曲线并进行比较，证明该模型的可行性。
最后在此基础上，对2009年下半年的猪肉价格进行了预测，得出各月份对应的猪肉价格趋势值；
对于问题二，考虑到影响猪肉价格的主要因素为：
季节变动和玉米价格。
首先，
19
考虑季节变动因素，使用季节平均法[1]得出猪肉价格的季节指数，分别为
S1'=1,S2'=0.98,S3'=1.08,S4'=1.13，易知猪肉价格受到季节的影响，且呈周期性变化。
其次，考虑玉米价格因素，根据2000年1月到2009年6月的猪肉和玉米价格月数据[7]画出时间序列图，并进行观察比较，可以清楚得看出猪肉价格和玉米价格的变化呈正相关，所以，玉米价格在一定程度上也影响着猪肉价格。
然后，利用灰色关联法，以往年的猪肉价格作为参考序列，以往年的玉米价格和季节指数作为比较序列，分别求出玉米价格、季节变动与猪肉价格的关联度，分别为0.755和0.972。
最后，根据其关联度返算，推导得出猪肉价格的预测公式：
Ｘ=2.92+10G+9.26Si'，其中G为玉米价
格，Si'为季节指数；
对于问题三：
根据猪的不同重量，将猪分为三个成长阶段：
1Kg~15Kg为幼年期，
15Kg~90Kg为成长期，90Kg~100Kg为成年期。
由于1000头猪的体重从5到100公斤呈正态分布，可以算出三个阶段的猪的数量分别为5，990，5。
则成年期的猪所创造的当日猪场收入=生猪价格×5×100。
而成长期的猪所吃的饲料为主要的饲料成本＝玉米价格×990×平均采食量[5]，根据饲料所占比例为总生产成本之62%[6]，可以列出等式：
62%×生猪价格×5×100=玉米价格×990×平均采食量，可以得出：
生猪价格:
玉米价格=6.5:
1，即猪粮比为6.5：
1。
可以推导出猪粮比计算公式：
猪粮比=
2.03´成长期猪数量 ；
100´62%´成年期猪数量
对于问题四，通过对猪肉价格影响因素的分析，客观提出几点为稳定猪肉市场，妥善解决猪肉价格上涨引起的民生问题，促进生猪产业健康发展的建议。
三、 模型假设
1）在预测期间内，不发生大的疫情，灾难或国家政策干预等引起猪肉价格急剧变化的事件；
2）预测期间内，饲料价格不会发生大的波动，可以以往年平均值来预测未来价格变化趋势；
3）在问题研究中不考虑玉米以外的猪饲料；
4）假设消费者对猪肉的需求量不发生巨大变化；
5）忽略猪肉的出入口对国内猪肉价格的影响。
四、 符号及变量说明
Xˆt
猪肉价格的趋势值；
Xt
猪肉价格的实际值；
X
猪肉价格的平均值；
Xti
第t年第i个季节的猪肉价格
X.i
2001年至2008年第i季节的猪肉总平均价格
X..
2001年至2008年猪肉总平均价格
Si
第i季节的季节指数
Si'
调整后第i季节的季节指数
g2
猪肉价格与玉米价格的关联度
g3
猪肉价格与记得的关联度
X
猪肉价格
G
玉米价格
n1
幼年期猪数量
n2
成长期猪数量
n3
成年期猪数量
m
成长期猪的总食量
X生
生猪价格
五、 模型的建立与求解
5.1问题一模型的建立与求解
5.1.1分析数据
图中描绘了2000年1月到2009年6月我国猪肉价格的走势图。
从图中可以看出
2003年5月时，猪肉价格到达最低近两年的最低点9.68元/公斤，随后猪肉的价格一直保持在12～14元/公斤，但当到达2006年5月时，价格暴跌知10.71元/公斤，随后，价格有所回升，但当到2007年8月时价格一跃升至24.02元/公斤，达到了历史的最高点，随后价格一直一路攀升，到2007年12月时，价格已达到28.8元/公斤。
随后价格有所下降。
但仍然比历史的平均猪肉价格高出很多。
由于以下原因：
（1）2006年猪肉价格过低，降低了农民养猪的积极性；
（2）南方省市蓝耳疫病的爆发，造成大量生猪被杀，这被认为是猪肉价格猛增的主要原因；
（3）2007年世界粮价猛增，加之有的国家将猪饲料的主要成分玉米作为其他的用途，引起2007年猪肉价格的急剧上升。
综上所述，2007年由于蓝耳疫病的影响，使我国猪肉价格从2007年8月便开始猛增。
所以我们在进行数据分析时，对于2007年8月到2009年1月的数据不作考虑。
5.1.2拟合预测
从总体趋势上来看，我国的猪肉价格在短期内呈线性增长趋势。
因为该时间序列观察值的逐期增长量大致相同，所以可以拟合直线方程：
Xˆt=a+bt
由于所给的资料是奇数，为了能够平分时间序列，去掉2004年10月的数字
15.03，运用时间编码及半数平均法估计a和b的值，各月份的编码及猪肉价格的趋势值及有关计算见附表二。
ìa=X
ï
由公式
ï
í
ïb=
ïî
åtXt
t
åt2
t
í
ìa=14.04
得
îb=0.116
所以拟合直线方程为：
Xˆt=14.04+0.116t;t=-57,-56,-55.......
根据题中的编码规则，2009年7月，8月，9月，10月，11月，12月的编码分别应为57，58，59，60，61，62，从而得到各月份的猪肉价格趋势值：
Xˆ57=14.04+0.116´57=20.657元/公斤；Xˆ58=14.04+0.116´58=20.768元/公斤；Xˆ59=14.04+0.116´59=20.884元/公斤；Xˆ60=14.04+0.116´60=21.000元/公斤；Xˆ61=14.04+0.116´61=21.116元/公斤；Xˆ62=14.04+0.116´62=21.232元/公斤。
则对2009年下半年猪肉价格的预测值如下表：
表5.1.1 2009年下半年猪肉价格预测值
图5.1.1 2000年1月—2009年6月我国猪肉实际价格与线性拟合价格趋势值的对比
21.3
21.2
21.1
21
20.9
20.8
20.7
20.6
20.5
2009年8月 2009年9月 2009年10月2009年11月2009年12月
通过建立的直线方程模型求出时间序列的各个观察值（实际值）的趋势值，将其与观察值进行比较，并用EXCEL将二者的曲线绘制在同一个坐标系内进行比较，得出该直线的拟合度比较好，从而证明了该直线模型的可行性。
5.2问题二模型的建立与求解
5.2.1猪肉价格的季节指数的计算
摘取题目中2001年至2008年猪肉价格月数据，按季节平均，得出猪肉价格的季节数据：
表5.2.1 2000年—2008年猪肉价格的季节平均表（元/千克）
根据上表数据，利用季节平均法，计算猪肉价格的季节指数，可分以下几个步骤：
第一，先求出不同年份同一季节的猪肉价格平均数。
用Xti表示第t年第i个季节的
19
猪肉价格，t=1,2,...,9,i=1,2,3,4，则X.i= åXti。
n
t=1
1 9 4
第二，计算全部9´4个猪肉价格季节的总平均数，即X..= ååXti。
4´9
t=1i=1
第三，用X.i除以X..得到季节指数：
S=X.i´100%
i X
i=1,2,3,4
..
第四，对Si进行必要的调整。
因为：
4
åSi
=14
å
X
X.i
´100%=4´X
X ..
´100%=400%
i=1
..i=1 ..
但在实际计算过程中，各季的季节指数之和并不总是等于400%，为了与理论上的要求一致，需要对求出的Si进行适当的调整。
调整方法是：
4
i
S'=400%´S
i
i=1,2,3,4
åSi
i=1
根据以上步骤测定猪肉价格随季节变动的有关计算列表如下：
表5.2.2 猪肉价格随季节变动的有关数据计算
由表5.2.2可知，猪肉价格的各个季节指数分别为：
95.45、93.52、103.32、107.70，可记为：
S1'=1,S2'=0.98,S3'=1.08,S4'=1.13
所以猪肉的价格受到季节的一定影响。
5.2.2猪肉价格与玉米价格的对比与分析
因为在我国，猪的饲料主要来源是玉米，玉米在猪饲料中所占比例高达60%-
80%，因此通常以玉米价格作为饲料价格进行计算。
而饲料成本很大程度上影响到了猪肉的价格，所以本文取玉米价格来讨论饲料对猪肉价格的影响。
根据2000年1月到2009年6月的猪肉和玉米价格月数据（见附表二、三），画出各自的时间序列图进行比较。
图5.2.1 2000年1月—2009年6月我国玉米价格月数据（元/公斤）
图5.2.2 2000年1月—2009年6月我国猪肉价格月数据（元/公斤）
通过两图的对比，可以明显得出猪肉价格和玉米价格的波动表现出相对一致的趋
势。
所以。
玉米的价格在一定程度上也影响了猪肉的价格。
5.2.3猪肉价格与季节指数、玉米价格的关联度计算
采用灰色关联法，求解玉米价格和季节指数与猪肉价格的关联度。
猪肉价格，玉米价格，季节指数的数据序列如下：
Y1=（9.3,9.66,...,19.88）k=114
Y2=（0.93,0.95, 1.78）k=114
——2000年1月到2009年6月的猪肉价格序列
——2000年1月到2009年6月的玉米价格序列
Y3=（1,1,1,0.98,0.98,0.98,1.08,1.08,1.08,1.08,1.13,1.13,1.13,1,1,1, 0.98,0.98,0.98）k=114
——2000年1月到2009年6月的季节指数序列其中参考序列为Y1，被比较数列为Y2，Y3。
对序列进行初始化，将该序列所有数据分别除以第一个数据。
得到：
Y'=（1,1.039, ,2.138）
1
2
Y'=（1,1.022, 1.914）
k=114
k=114
3
Y'=（1,1,1,0.98,0.98,0.98,1.08,1.08,1.08,1.13,1.13,1.13,1,1,1,1, 0.98,0.98,0.98）
则其序列差为：
k=114
求得两极差：
关联系数，取ρ=0.5有：
D2=（0,0.017,...,0.224）k=114
D3=（0,0.039,...,1.158）k=114
M=maxmaxDi（k）=1.97
m=minminDi（k）=0
所以，关联度为：
gi（k）=
0.98 ,i=2,3
Di（k）+0.98
g=1å114g（k）=0.755
2 114
2
k=1
g=1å114g（k）=0.972
5.2.4猪肉价格的预测
3 114
3
k=1
由5.2.3求得的关联度可得猪肉价格预测公式：
3
X
3 i
X=ågi =0.44X
2+0.56X3
i
i=2åg
将g，g代入公式g=
2
0.98
2
3
，返算出X,X为：
2 3 i
Di（k）+0.98
X2=2.66+10G
所以：
X3=0.26+9.26Si'
X=0.44（2.66+10G）+0.56（0.26+9.26Si'）
=1.316+4.40G+5.19Si'
其中G为玉米的价格，Si'为季节指数，第一、二、三、四季节分别取
S1'=1,S2'=0.98,S3'=1.08,S4'=1.13。
利用灰色系统预测法所得结果（见附表三）如下图所示：
图5.2.3猪肉价格预测图（元/公斤）
5.2.5评价模型
利用EXCEL软件将X=1.316+4.40G+5.19Si'所代表的曲线与实际猪肉的价格曲线进行比较，可以从图中看出，二者的曲线十分接近（2007年8月—2008年9月例外）
，从而推出该模型的可行性。
5.3问题三模型的建立与求解
根据猪的重量，将1000头猪分为三个成长阶段，如下表所示：
表5.3.1 猪的三个生长阶段
假设在某一天，猪场每阶段出售成年期的猪为猪场收入，喂养成长期的猪的饲料为饲料成本。
5.3.1猪场收入的计算
由于1000头猪的体重从5到100公斤呈正态分布，如图将三个阶段的猪的数量设为n1，n2，n3。
图5.3.1 猪的体重的正态分布图
可计算出各个阶段的数量分别为：
（x-m）2
e
f（x）=1
2ps
2s2
P{x£X£x}=P{x1-m£X-m£x2-m=f（x2-m-f（x1-m
1 2 s s s}
o） s）
由题目中可知m=50;s=14;所以当
（1）x1=5,x2=15时，
（
P{5£X£15}=P{5-50£X-50£15-50}=f15-50）-f（5-50）=f（-2.5）-f（-3.21）=0.00514 14 14 14 14
n1=0.005´1000=5头
（2）x1=15,x2=90
P{15£X£90}=
15-50£X-50£90-50}=f（90-50）-f15-50）=f（2.86）-f（-2.5）=0.99
（3）则
P{ （
14 14 14 14 14
n2=0.99´1000=990头
n3=1000-990-5=5头
5.3.2饲料总量的计算
在生猪生产过程中，玉米是主要的饲料原料，它的价格在配合饲料中具有代表性。
因此，玉米的成本直接影响到猪场的盈利。
由假设可知，不考虑玉米以外的猪饲料，由于各重量的猪的数量呈正态分布，所以根据以下表5.3.2可知，取成长期的猪的平均采食量为2.03Kg。
表5.3.2 不同体重的猪的日采食量
则可计算出当天成长期的猪的总食量为：
m=n2´2.03=2011.73Kg
5.3.3计算盈亏平衡点
生猪生产的实践表明，猪价与粮价之间存在一种必然的、相互适应的规律，即
“猪粮比价规律”，合乎这一规律，就可以实现产销的宽松平衡，否则就必然出现产大于销或产不足销的被动局面。
猪粮比越高，说明养殖利润情况越好。
由网上数据可知近十年养猪综合出厂成本得知，饲料所占比例为总生产成本的62%,
可得猪场盈亏平衡点等式：
62%´n3´X生´100=G´m
X生=
G
m
62%´n3´100
=6.5
即猪粮比为6.5：
1，其中猪为生猪价格，粮为玉米价格。
得出猪粮比计算公式：
猪粮比=
2.03´n2
，其中n
为成长期的猪的数量，n
为成年期的猪的数量。
62%´n3
´100 2 3
六、 模型的应用与推广
1）在问题二中预测猪肉价格的模型中，将其应用在实际的生活中，可以很好的掌握猪肉价格变动及其走势的信息。
一旦出现异常情况，应及时预警，严防猪肉价格大起大落。
2）在问题三中，通过建立猪场盈亏平衡点等式模型，推导出猪粮比公式。
此模型考虑较全面，利用所得公式能简单方便的算出某养猪场的猪粮比，以便及时地采取有效措施，保障猪场的经济效益。
七、 模型的评价与改进
7.1模型的评价
（1）在问题二的模型中，利用灰色关联度，分别求出玉米价格、季节变动与猪肉价格的关联度，进而可以较准确地预测出猪肉的价格。
但是在实际中，猪肉的价格不仅仅与二者有关，还与仔猪成本、人工成本、防疫成本、棚圈成本甚至环保成本等都有关系。
既然养猪的利润是各因素综合影响的结果，那么考察养猪的利润必然也应该综合考虑各种因素在内。
所以问题二的模型存在一定的局限性；
（2）在问题三的模型中，考虑猪粮比时，仅将玉米价格作为主要参考因素。
在分散养殖占绝对主导地位时，猪粮比价能较好反映出养猪户的投入产出比，即盈利（效益）情况。
但是现在蛋白原料已经在饲料中占有一定比例，而本题仅以玉米作为饲料，忽略了蛋白原料等价格波动所带来的影响，存在一定的不合理性。
7.2模型的改进
在问题三的模型中，考虑猪肉价格的影响因素时，应该分别算出人工成本、防疫成本、仔猪成本与猪肉价格的关联度，建立一个考虑因素更全面的猪肉价格模型，这样的模型才更有可信度。
八、 意见与建议
通过对本题前三个问题的分析及研究，针对猪肉价格问题，我们提出了以下意见与建议：
（1）建议国家和地方有关部门通过开设群众热线等方式加强信息的沟通和交流，
升级会员 