中考数学常考易错点 21 整式方程.docx

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中考数学常考易错点21整式方程

2019-2020年中考数学常考易错点2.1整式方程

易错清单

1.根据题意列出正确的方程.

【例1】　（2014·山东烟台）按如图的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是（　　）.

A.x=5,y=-2B.x=3,y=-3

C.x=-4,y=2D.x=-3,y=-9

【解析】　由题意,得2x-y=3,

A.x=5时,y=7,故本选项错误;

B.x=3时,y=3,故本选项错误;

C.x=-4时,y=-11,故本选项错误;

D.x=-3时,y=-9,故本选项正确.

【答案】　D

【误区纠错】　读懂题意,列出正确的整式方程是解题的关键.

2.方程中隐含条件的运用.

【例2】　（2014·山东济宁）若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m-4,则=　　　　. 

【解析】　∵　x2=（ab>0）,

∴　x=±.

∴　方程的两个根互为相反数.

∴　m+1+2m-4=0,解得m=1.

∴　一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2与-2.

∴　=2.

∴　=4.

【答案】　4

【误区纠错】　一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.根据这个隐含条件可求出m的值.

【例3】　（2014·广东广州）若关于的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x1,则x1（x2+x1）+的最小值为　　　　. 

【解析】　该题主要是考察方程思想与函数思想的结合,由根与系数的关系得到:

x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,

而x1（x2+x1）+=（x1+x2）2-x1x2=3m2-3m+2.

因为方程有实数根,

所以Δ≥0,解得m≤.

当m=时,3m2-3m+2的最小值为.

【答案】　

【误区纠错】　本题最大失误是不知道根据Δ≥0这个隐含条件求出m的取值范围.

3.整体思想的运用.

【例4】　（2014·江苏泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0,b≠0）,则代数式+的值等于　　　　. 

【解析】　∵　a2+3ab+b2=0,

∴　a2+b2=-3ab,

∴　原式===-3.

【答案】　-3

【误区纠错】　本题直接使用整体思想解题,将a2+b2视为一个整体未知数.

名师点拨

1.能区分等式各个性质的区别与联系.

2.理解一元一次方程的有关概念,并解决一些简单问题.

3.会利用代入法求一元一次方程的解.

4.会利用定义判断一元二次方程,能利用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程的根.

5.记住一元二次方程根的判别式,并能解决一些问题.

6.理解一元二次方程根与系数的关系,并能解决一些问题.

7.会根据等量关系列整式方程并求解.

提分策略

1.选择适当的方法求解一元二次方程.

若方程中含有未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化为0且方程左边分解因式,则选用因式分解法;若不能分解因式或难以分解因式时,则选用公式法.配方法一般很少选用,但求根公式是由配方法推导的,且以后学习中还常用到,故必须掌握这种重要的数学方法.

【例1】　解方程:

3x（x-2）=2（2-x）.

【解析】　先移项,然后提取公因式（x-2）,对等式的左边进行因式分解.

【答案】　由原方程,得（3x+2）（x-2）=0,

所以3x+2=0或x-2=0.

解得x1=-,x2=2.

2.配方法在二次三项式中的应用.

在二次三项式中运用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同:

（1）化二次项系数为1,当二次项系数不为1时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样除以二次项系数（因为二次三项式配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形）.

（2）加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值不变,故在加的同时,还要减去一次项系数一半的平方.

（3）配方后将原二次三项式化为a（x+m）2+n的形式.

【例2】　阅读材料:

把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=（a±b）2.

例如:

（x-1）2+3,（x-2）2+2x,+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）.

请根据阅读材料解决下列问题:

（1）比照上面的例子,写出x2-4x+2三种不同形式的配方;

（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;

（3）已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

【答案】　

（1）x2-4x+2=（x-2）2-2;

x2-4x+2=（x-）2+（2-4）x;

x2-4x+2=（x-）2-x2.

（2）a2+ab+b2=（a+b）2-ab=+b2.

（3）a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=+（b-2）2+（c-1）2=0.

从而a-b=0,b-2=0,c-1=0,

即a=1,b=2,c=1.

所以a+b+c=4.

3.利用一次方程解决生活中的实际问题.

解决问题需要从问题中挖掘相关信息,包含隐含条件,找到相关的已知量,构建相应的数学模型,灵活运用所学知识解决实际问题.

【例3】　如图,要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?

【解析】　设AB的长度为x,则BC的长度为（100-4x）米;然后根据矩形的面积公式列出方程.

【答案】　设AB的长度为x,则BC的长度为（100-4x）米.

根据题意,得（100-4x）x=400,

解得x1=20,x2=5.

则100-4x=20或100-4x=80.

∵　80>25,

∴　x2=5舍去.

即AB=20,BC=20.

故羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.

专项训练

一、选择题

1.（2014·江苏泰州洋思中学）若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（　　）.

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法判断

2.（2014·四川峨眉山二模）已知x1,x2是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实数根,则+的最大值是（　　）.

A.19B.18

C.15D.13

3.（2014·湖北襄阳模拟）已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0,下列说法正确的是（　　）.

A.当k=0时,方程无解

B.当k=-1时,方程有两个相等的实数解

C.当k=1时,方程有一个实数解

D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解

4.（2013·湖北荆州模拟）若方程（k-1）x2-x+=0有两个实数根,则k的取值范围是（　　）.

A.k≥1B.k≤1

C.k>1D.k<1

5.（2013·安徽芜湖一模）芜湖市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.若每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是（　　）.

A.5（x+21-1）=6（x-1）

B.5（x+21）=6（x-1）

C.5（x+21-1）=6x

D.5（x+21）=6x

二、填空题

6.（2014·北京顺义区模拟）如果关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根,那么m的值为　　　　. 

7.（2014·江苏南京溧水区二模）方程（x-2）2-2（x-2）=0的解为　　　　. 

8.（2013·吉林镇赉县一模）若x=1是方程x2+x+n=0的一个解,则方程的另一个解是　　　　. 

9.（2013·湖北荆州模拟）已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　　　　. 

三、解答题

10.（2014·安徽安庆二模）为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍,求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?

11.（2014·北京顺义区模拟）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4-m=0.

（1）求证:

方程总有两个实数根;

（2）若m为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,求m的值.

12.（2013·河南沁阳第一次质量检测）某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:

（1）每千克核桃应降价多少元?

（2）在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢利市场,该店应按原售价的几折出售?

参考答案与解析

1.A　[解析]由5k+20<0,得k<-4,则Δ=16+4k<0.

2.B　[解析]由题意,得（k-2）2-4（k2+3k+5）≥0,

解得-4≤k≤-.

因为x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5,

所以+=（x1+x2）2=（k-2）2-2（k2+3k+5）

=-k2-10k-6=-（k+5）2+19.

所以当k=-4时,+取得最大值为18.

3.B　[解析]Δ=（k+1）2,当k=0时,方程有解;当k=1时,方程有两个不等的实数解;当k≠0时,如果k=-1,那么方程有两个相等的实数解.

4.D　[解析]当k=1时,原方程不成立,故k≠1.

∴　方程（k-1）x2-x+=0为一元二次方程.

又　此方程有两个实数根,

∴　b2-4ac=（-）2-4×（k-1）×=1-k-（k-1）=2-2k≥0,解得k≤1.

∵　k≠1,

∴　k<1.

综上,k的取值范围是k<1.

5.A　[解析]设原有树苗x棵,根据首、尾两端均栽上树,每间隔5米栽一棵,则缺少21棵,可知这一段公路长为5（x+21-1）;若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表示为6（x-1）,根据公路的长度不变列出方程即可.

6.±2　[解析]根据Δ=m2-8=0求解.

7.x1=2,x2=4　[解析]将（x-2）作为公因式提取.

8.-2　[解析]把x=1代人方程得n=-2,再解方程x2+x-2=0.

9.k>且k≠2　[解析]由题意,得（2k+1）2-4（k-2）2>0,且k-2≠0,求解即可.

10.设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要（x-5）个月,

由题意,得x（x-5）=6（x+x-5）,

解得x1=2（舍去）,x2=15.

故甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月.

11.

（1）∵　Δ=42-4m（4-m）=4（m-2）2≥0,

∴　方程总有两个实数根.

（2）∵　x==,

∴　x1==,x2==-1.

∵　方程有两个互不相等的负整数根,

∴　<0.

∴　或

∴　0

∵　m为整数,

∴　m=1或2或3.

当m=1时,x1==-3≠x2,符合题意;

当m=2时,x1==-1=x2,不符合题意;

当m=3时,x1==-≠x2,但不是整数,不符合题意.

∴　m=1.

12.

（1）设每千克核桃应降价x元.

由题意,得（60-x-40）=2240.

化简,得x2-10x+24=0,

解得x1=4,x2=6.

故每千克核桃应降价4元或6元.

（2）由

（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.

因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.

此时,售价为60-6=54（元）,×100%=90%.

故该店应按原售价的九折出售.

2019-2020年中考数学常考易错点2.2分式方程

易错清单

1.解分式方程时为什么容易出错?

【例1】　（2014·新疆）解分式方程:

+=1.

【解析】　先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.

【答案】　方程两边都乘以（x+3）（x-3）,得3+x（x+3）=x2-9,

去括号,得3+x2+3x=x2-9,

解得x=-4.

检验:

把x=-4代入（x+3）（x-3）≠0,

∴　x=-4是原分式方程的解.

【误区纠错】　最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.

【例2】　（2014·内蒙古呼和浩特）解方程:

-=0.

【解析】　先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x（x+2）（x-2）.

【答案】　去分母,得3x-6-x-2=0,

解得x=4,

经检验,x=4是原方程的根,

故x=4是原方程的解.

【误区纠错】　解分式方程产生增根,忘记验根.

【例3】　（2014·贵州黔西南州）解方程:

=.

【解析】　将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.

【答案】　方程两边都乘以（x+2）（x-2）,得x+2=4,

解得x=2,

经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.

【误区纠错】　增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:

“原分式方程无解”.

2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.

【例4】　（2014·云南）“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?

【解析】　设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:

第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.

【答案】　设第一批盒装花的进价是x元/盒,

由题意,得2×=,

解得x=30.

经检验,x=30是原方程的根.

故第一批盒装花每盒的进价是30元.

【误区纠错】　题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.

名师点拨

　1.会利用分式方程的定义判断分式方程.

2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.

3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.

4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.

提分策略

1.分式方程的解法.

解分式方程常见的误区:

（1）忘记验根;

（2）去分母时漏乘整式的项;（3）去分母时,没有注意符号的变化.

【例1】　解方程:

+=1.

【解析】　根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.

【答案】　方程两边都乘以（x+2）（x-2）,得2+x（x+2）=x2-4,

去括号,得2+x2+2x=x2-4,

解得x=-3.

检验:

把x=-3代入（x+2）（x-2）≠0,

∴　x=-3是原分式方程的解.

2.利用分式方程解决实际问题.

列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.

　　【例2】　几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:

根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.

【解析】　设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.

【答案】　设票价为x元,

由题意,得=+2,

解得x=60,

经检验,x=60是原方程的根,

则小伙伴的人数为=8.

故小伙伴们的人数为8人.

专项训练

一、选择题

1.（2014·四川简阳模拟）全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为（　　）.

A.+2=+0.5B.-=2-0.5

C.-=2-0.5D.-=2+0.5

2.（2013·广西钦州四模）将分式方程1-=去分母,整理后得（　　）.

A.8x+1=0B.8x-3=0

C.x2-7x+2=0D.x2-7x-2=0

二、填空题

3.（2014·四川峨眉山二模）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?

设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是　　　　. 

4.（2014·北京平谷区模拟）A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运　　　　千克化工原料. 

5.（2014·甘肃天水模拟）已知分式值为0,那么x的值为　　　　. 

6.（2013·广东珠海一模）方程=的解是　　　　. 

7.（2013·浙江锦绣·育才教育集团一模）已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为　　　　. 

三、解答题

8.（2014·宁夏银川外国语学校模拟）解方程:

-1=.

9.（2014·安徽安庆一模）甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?

10.（2014·江苏南京二模）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:

信息一:

按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;

信息二:

如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.

根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?

11.（2013·浙江湖州模拟）解方程:

+=2.

12.（2013·上海长宁区二模）解方程:

-=.

13.（2013·广东惠州惠城区模拟）小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.

14.（2013·安徽芜湖一模）2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.

（1）问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?

（2）问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?

参考答案与解析

1.C　[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=（2-0.5）小时.

2.D　[解析]去分母,得x（x+1）-（5x+2）=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.

3.+=　[解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需（2x-10）天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.

4.100　[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运（x-20）千克.

依题意,得=,

解得x=100.

经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.

5.-1　[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2（使分母等于零,所以舍去）.

6.x=　[解析]化为整式方程,得5（2-x）=3（x+2）,解得x=.经检验,x=是原方程的根.

7.m>-10且m≠-4　[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=（10+m）,因为解为正数,所以（10+m）>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.

8.去分母,得x（x+2）-（x-1）（x+2）=2x（x-1）,

整理,得2x2-3x-2=0,

解得x1=-,x2=2.

检验:

把x1=-,x2=2代入（x-1）（x+2）≠0,

∴　原方程的根是x1=-,x2=2.

9.

（1）设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要（x+5）天.

根据题意,得4+=1,

去分母,得4（x+5）+4x+x（x-4）=x（x+5）.

解得x=20.

经检验,x=20是原方程的解,

则x+5=25（天）.

所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.

10.设原来报名参加的学生有x人,

依题意,得-=4.

解得x=20.

经检验,x=20是原方程的解且符合题意.

故原来报名参加的学生有20人.

11.去分母,得x-1=2（x-3）,

去括号,得x-1=2x-6,

解得x=5.

经检验,x=5是原方程的根.

12.去分母,得3（x+1）-（x-1）=x（x+5）,

整理,得x2+3x-4=0,

解得x1=1,x2=-4.

经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,

∴　x=-4是原方程的根.

13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.

根据题意,得-=.

解得x=80.

经检验,x=80是原方程的解.

故原计划的行驶速度为80千米/小时.

14.

（1）设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.

根据题意,得=+2,解得x=15.

经检验,x=15是原方程的解.

∴　x=15,x=10.

故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒.

（2）设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.

根据题意,得10（1+a）2=14.4,

解得a1=0.2=20%,a2=-2.2（不合题意,舍去）.

故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.