计算机控制系统5教案.docx

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第5章 计算机控制系统特性分析

计算机控制系统特性分析就是从给定的计算机控制系统数学模型出发，对计算机控制系统在稳定性、准确性、快速性三个方面的特性进行分析。

通过分析，一是了解计算机控制系统在稳定性、准确性、快速性三个方面的技术性能，用以定量评价相应控制系统性能的优劣；更重要的是，建立计算机控制系统特性或性能指标与计算机控制系统数学模型的结构及其参数之间的定性和定量关系，用以指导计算机控制系统的设计。

本章主要内容有：

计算机控制系统稳定性分析，稳态误差与动态响应分析。

5.1计算机控制系统稳定性分析

与模拟控制系统相同，计算机控制系统必须稳定，才有可能正常工作。

稳定是计算机控制系统正常工作的必要条件，因此，稳定性分析是计算机控制系统特性分析的一项最为重要的内容。

5.1.1连续系统稳定性及稳定条件

离散系统稳定性和连续系统稳定性含义相同。

对于线性时不变系统而言，无论是连续系统还是离散系统，系统

-4-

稳定是指该系统在平衡状态下（其输出量为某一不随时间变化的常值或零），受到外部扰动作用而偏离其平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能够回到原来的平衡状态（这种意义下的稳定通常称为渐近稳定）。

如果系统不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。

线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性所决定的，而与系统外部输入信号的有无和强弱无关。

线性时不变连续系统稳定的充要条件是：

系统的特征方程的所有特征根，亦即系统传递函数W（s）的所有极点都分布在S平面的左半平面，或者说，系统所有特征根具有负实部，设特征根si=si+jw，则si<0。

S平面的左半平面是系统特征根（或极点）分布的稳定域，

S平面虚轴是稳定边界。

若系统有一个或一个以上的特征根分布于S平面的右半平面，则系统就不稳定；若有特征根位于虚轴上，则系统为临界稳定，工程上也视为不稳定。

5.1.2S平面与Z平面的映射关系

在第3章中定义Z变换时，规定了z和s的关系为

z=eTs

（5.1）

式中，z和s均为复变量，T是采样周期。

设s=s+jw，则

（5.2）

z=eTs

=eT（s+jw）

=esTejwT

z的模及相角分别为

（5.3）

z=esT，及Ðz=j=wT

在实际计算机控制系统中采样频率ws远远大于系统中

被采信号的最高频率wmax，即ws>>2wmax（根据采样定理，

ws³2wmax，wmax

£ws/2），就是说，系统实际工作频率

w范围在主频区-ws

/2~+ws

/2以内。

因而，我们在研

究S平面和Z平面之间的关系时，主要讨论S平面主频区

与Z平面之间的关系即可。

因为w=2p，1w=p，所以，

s T 2 s T

S平面主频区对应的w范围是-p~+p。

T T

参看图5.1，图中S平面①～⑤主频区。

⑴ S平面虚轴上①～②段，

Z平面半径为1的上半圆。

j0£

jw£

jp/T，映射到

因为s=jw，则z=eTs=ejwT=1ÐwT。

z的模z=1；相角

j=wT=0~p。

⑵ S平面②～③段，s=s+jw



，s=0~-¥，w=p/T。

因而，映射到Z平面上，z的模z

=e（0~-¥）T

=1~0，z的相

角j=wT

=p。

该段对应于Z平面上的②～③段，实际上

它是与负实轴重合（沿着负实轴由-1变到0），但为了表示清楚，将②～③段同负实轴分开画出。

⑶ S平面③～④段，s=s+

jw，s=-¥，

w=+p/T

~-p/T。

因而，映射到Z平面上，z的模

jw

jpS平面

T

0

s

-jp

T

⑤

④

①

-¥

②

③

Im

Z平面

1

②

⑤

-1 ③

④0

①

Re

图5.1S平面与Z平面之间的关系

z=e-¥T

=0，z的相角j=wT

=p~-p。

③点、④点重合，

但相角改变了p。

⑷ S平面④～⑤段，s=s+jw，s=-¥~0，w=-p/T。

因而，映射到Z平面上，z的模z=e（-¥~0）T=0~1，z的相角

-5-

j=wT=-p。

该段对应于Z平面上的④～⑤段。

⑸ S平面⑤～①段，s 沿负虚轴变化，s=s+jw，s=0，w=-p/T~0。

因而，映射到Z平面上，z的模z=e0T=1，z的相角j=wT=-p~0。

对应于Z平面上的

⑤～①段，半径为1的下半圆。

⑹若s的实部s>0,则z的模z=esT>1。

以上的分析表明：

S平面左半面映射到Z平面单位圆内部；S平面右半平面映射到Z平面单位圆外部；S平面虚轴映射到Z平面单位圆上。

由此我们可以得出离散系统的稳定条件。

离散系统的稳定条件

如果离散系统脉冲传递函数的根，即特征方程的根都位于Z平面单位圆内部，则系统稳定；如果有一个根位于单位圆外部，则系统不稳定；如果有根位于单位圆上，则系统临界稳定。

图5.2中阴影部分即为两平面的稳定区。

jw

S平面左半平面

o<0

S平面

Im

Z平面

w=-¥~+¥

-1

1

Z平面单位圆内

z<1

Ðz=-¥~+¥

0

s

0

Re

图5.2S平面与Z平面的稳定区

5.1.3计算机控制系统的稳定性

现在进一步论证关于离散系统中脉冲传递函数在Z平面中的稳定区问题。

设图5.3为某离散系统（或环节）的

R（z）

C（z）

G（z）

5.3离散控制系统

方框图，脉冲传递函数为

bzm+bzm-1+L+b

G（z）=0 1 m

zn+azn-1+L+a

1 n

（5.4）

式中m£n，设m=n，式（5.4）的分母写成因式相乘的形式

-7-

G（z）=b

+b'zn-1+b'2

zn-2+L+b'n

1

1

n

0 zn+azn-1+L+a

1

0

=b+

b'zn-1+b'2

zn-2+L+b'n

（z-p1）（z-p2）L（z-pn）

设输入

（5.5）

r（k）为单位脉冲函数



d（k）=ì1,

í

î0,



k=0

，

k¹0

Z[r（k）]=Z[d（k）]=1,

即R（z）=1，因此

C（z）=G（z）R（z）=G（z）

（5.6）

C（z）=b0+

d1

z-p1

+d2

z-p2

+L+

dn

z-pn

式中p1,p2,L,pn是脉冲传递函数的极点。

系统脉冲响应为

c（k）=Z-1[C（z）]=Z-1éb+ d1

+d2



+L+

dn ù（5.7

ê0 z-p z-p z-pú

ë 1 2 nû

）

上式中第一项的Z反变换为b0d（k）,

k=0。

其余各项为

（5.8）

di =

z-pi

dz-1

i

-1

1-piz

i=1,2,L,n

式（5.8）的Z反变换为

-é dz-1

ù= ³

ê ú

ii

Z1 i

1-pz-1

dpk-1,k 1

（5.9）所以

ë i û

ìb0d（k）,

c（k）=í

k=0

（5.10）

îdipik-1,

k³1

系统脉冲响应分析：

c（k）的第一项b0d（k）只是在

k=0时存在，b0是系统脉冲响应的初值。

极点

p1,p2,L,pn所对应脉冲响应为dipik-1,

di为常数，

i=1,2,L,n。

pi可能是实数（可能是正实数，也可能是

负实数）；也可能是复数。

1若p1,p2,L,pn为实数

随着k的变化，对于不同的pi，其脉冲响应也随之不同，

参看图5.4。

①pi>1时，系统对应的输出分量是发散序列。

图5.4

中极点p1

>1，其输出为pk-1，是发散序列；

-8-

1

②pi=1时，对应的输出分量是等幅不衰减序列，如图

5.4中p2=1点；

Im

pk-1

Z平面

6

p1

k-1

× p×

-1

1

p

×

× × ×

6

5

p

4

p

p p

3

2 1

Re

pk-1

5

pk-1

2

pk-1

4

pk-1

3

图5.4离散系统实数极点相应的脉冲响应

③0

3

如图5.4中pk-1；

4

i i

④-1

5

i i

⑤p=-1时，对应的输出分量pk-1是交替变号的等幅序列，如图5.4pk-1；

6

i i

⑥p<-1时，对应的输出分量pk-1是交替变号发散序列，如图5.4pk-1。

2若p1,p2,L,pn极点中含有共轭复数对

若p1,p2,L,pn极点中含有共轭复数对时，则复数对极点所对应的系统脉冲响应为振荡序列。

令共轭极点对为

-26-

pi1,2

=ai±

jbi，一般我们将共轭极点对所对应的部分分式

写成如下形式

C（z）=

ciz+di =

A + B

i （z-a）2+b2

z-a

-jb z-a+jb

i i

（5.11）

i i i i

式中，Ci（z）的两个极点为

zi1

=ai+

jbi

=Rejqi,

zi2

=ai-

jbi

=Re-jqi

i

i

（5.12）

Ci（z）所对应的脉冲响应为下列组合

c（k）=A（Rejqi）k-1+B（Re-jqi）k-1

，k=1,2,L

i i i

上式中A,B的值可以由式（5.11）计算出。

而k的值由1开始算起，是由于式（5.11）的分式中，分母z的阶数比分子z的阶数大于1，k=0时，ci（0）=0。

经化简、合并计算，得出

íi

c（k）=ì

î

0,

rRk-1sin[（k-1）q+j],

k=0

k³1

ii i i

（5.13）

c2+çii i÷

æac+dö2

i

è

b

i ø

式中，r=

，R= a2+b2，

i

-1æ



bici ö

i i i

-1æbiö

ji=tg

çac+d

÷，qi

=tg

ça÷

è ii iø è iø

由式（5.13）中表达式rRk-1sin[（k-1）q+j]中可以看出，

i i i i

式（5.11）共轭极点对所对应的脉冲响应为振荡形式，其

a2+b2

i i

幅值发散或收敛决定于Ri= 的值：

如果Ri

如果Ri

>1，则幅值发散；

<1，则幅值收敛；

若Ri

=1，则等幅振荡。

qi的值确定ci（k）的振荡频率；ji的值确定ci（k）的初相位。

根据式（5.13）绘制出Z平面上六种不同位置的复数

极点所对应的脉冲响应，如图5.5所示。

由图5.5可以看出：

①pi

>1时，系统输出是发散振荡，如极点对

（p1

,p-

1）,（p6

,p-

）所对应的脉冲响应；

6

②pi

<1时，系统输出是衰减振荡，如极点对

3 3 4 4

（p,p-）,（p,p-）所对应的脉冲响应；

③pi

=1时，系统输出是等幅振荡，如极点对

（p2,p-2）,（p5,p-5）所对应的脉冲响应。

综上所述，可以看出线性离散系统的闭环极点的分布影响系统的过渡特性。

当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。

当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快,系统的动态响应越快。

反之，极点越接近单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。

另外，当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然输出分量是衰减的，但过渡特性不好。

Im

Z平面

p

p

5

6×

×

p

×

p

p

p

4

3

×2 ×1

×

-1

1

Re

p6×

×

p

×

p4

×

p3

×

5

×

p2

p

1

图5.5离散系统共轭极点对所对应的脉冲响应

因此，设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在Z平面

上右半圆内。

由以上分析可知，计算机控制系统闭环极点不论实极点还是复极点（均在单位圆内）愈靠近Z平面原点（其模愈小），其暂态响应分量衰减就愈快。

反之愈靠近单位圆，其暂态响应分量衰减愈缓慢。

由此可以推想，对于有两个以上极点的高阶控制系统，如果系统有一对极点靠近单位圆，而其余极点和零点均靠近原点，那么这样的系统暂态

响应就主要由这对靠近单位圆的极点的暂态响应分量所支配，其它极点的暂态响应分量因衰减相对很快，可忽略不计，通常称这对最靠近单位圆的极点为主导极点。

这样的高阶系统就可以近似为二阶系统，它的暂态响应特性可由它的主导极点在Z平面的位置大致估计出来。

5.2计算机控制系统稳定性分析

由以上分析可知，离散系统稳定性判别归结为判断系统特征方程的根，亦即系统的极点是否全部分布于Z平面单位圆内部，或单位圆外部是否有系统的极点。

直接求解系统特征方程的根，虽然可以判别系统稳定性，但三阶以上的特征方程求解很麻烦。

为此，人们通常都用间接的方法来判别系统的稳定性。

下面给出几种间接判别离散系统稳定性的代数判据。

5.2.1通过双线性变换进行稳定性分析

w变换（又称双线性变换）。

w变换定义如下：

1+Twz=2

1-Tw

2

（5.14）

式中，T为采样周期。

解出w为

（5.15）

w=2

T

z-1

z+1

在Z平面上，单位圆为z=ejwT，代入上式（5.15），则有

2z-1

Tz+1

2ejwT-1

w= jwT=

z=e T

=2ejwT/2-e-jwT/2

ejwT+1

T

= 2



æwTö

（5.16）

TejwT/2

+e-jwT/2

j tgç ÷

è2ø

利用三角恒等式，上式也可以表示为

w=j2

sinwT

（5.17）

T1+coswT

因而，由上式可以看出，Z平面的单位圆变成w平面上的虚轴，见图5.6。

Im

Z平面

z

-1

1

0

Re

1+Tw

= 2

T

1- w

2

Im

W平面

0 Re

图5.6Z平面与W平面的映射关系

w平面上的稳定区就是左半平面。

双线性变换就是通过式（5.14）将Z平面上离散系统的特征方程变换到w平面上，再判定特征方程的根是否位于w平面左半平面部分来确定系统是否稳定。

劳斯（Routh）稳定性判据

我们假设读者熟悉劳斯判据，应用步骤简单地总结如

下：

⑴若已知特征方程

F（w）=b

wn+b

wn-1+L+bw+b

=0（5.18

）

则劳斯阵列为

n

wn

wn-1

n-1

bnb



bn-2b

1 0

bn-4 L

b L

wn-2

M

w1w0

n-1

c1d1j1k1

n-3

c2d2

n-5

c3d3

⑵ 阵列的前两行是由特征方程的系数得到的，其余行

计算如下：

1

c=bn-1bn-2-bnbn-3

bn-1

d=c1bn-3-bn-1c2

1

c1

2

c=bn-1bn-4-bnbn-5

bn-1

d=c1bn-5-bn-1c3

2

c1

3

c =bn-1bn-6-bnbn-7 M

bn-1

⑶一旦阵列求出，劳斯判据为：

对于特征方程来说，具有正实部根的个数等于阵列中第一列系数符号改变的次数。

现在通过两个例子，说明劳斯判据的应用。

例5.1研究图5.7所示系统的稳定性。

T=0.1sec,开环传递函数为

R（s）+

G（s）

C*（s）

E（s） E*（s）

1-e-Ts

- T s

k

s（s+1）

T

C（s）

5.7单位反馈离散系统

=é1-esTùé 1

ù[]=

G（s） ê s

úês（s+1）úk

kG1（s） 。

ë ûë û

解由Z变换表，我们可以得出

z-1é（e-T+T-1）z2+（1-e-T-Te-T）zù

G1（z）=Z

[G1（s）]= ê

（z-1）2（z-e-T） ú

z

ë û

=0.00484z+0.00468（z-1）（z-0.905）

采用双线性变换

G1（w）=G1（z）



z=1+（T/2）w1-（T/2）w

=G1（z）



z=1+0.05w1-0.05w

即

特征方程为

G1（w）=

-0.00016w2-0.1872w+3.813.81w2+3.80w

1+kG1（w）=0

即 （3.81-0.00016k）w2+（3.80-0.1872k）w+3.81k=0

由上面的特征方程，列出劳斯阵列

w2 3.81-0.00016kw1 3.80-0.1872kw0 3.81k

3.81k

阵列的第一列中，系数全部大于零（即无符号改变）时

① 3.81-0.00016k

>0，得出

k<23812.5

② 3.80-0.1872k>0

，得出

k<20.3

③ 3.81k

>0，得出

k>0

由此可知，0

<20.3系统稳定。

例5.2我们仍研究图5.7所示系统，此时，采样周期

T=1sec。

解系统特征方程为

1+kG1（w）=1+kG1（z）



z=1+0.5w

1-0.5w

kæ0.368×1+0.5w+0.264ö

=1+

ç

ø

è

æ1+0.5wö2

1-0.5w ÷

æ1+0.5wö

ç ÷-1.368ç ÷+0.368

è1-0.5wø è1-0.5wø

1+kG1（w）=1+

即

-0.038kw2-0.386kw+0.924kw2+0.924w

特征方程劳斯阵列

=（1-0.038k）w2+（0.924-0.386k）w+0.924k

w2+0.924w

（1-0.038k）w2+（0.924-0.386k）w+0.924k=0

w2 1-0.038k

w1 0.924-0.386kw0 0.924k

0.924k

考查阵列的第一列，系数全大于零（即无符号改变）时，可以得出

①1-0.038k>0 得出

k<26.32

② 0.924-0.386k>0 得出 k<2.39

③ 0.924k>0

得出 k>0

所以0

由上面的分析可知，对于同一系统来说，采样周期T

由0.1sec加大到1sec时，系统稳定时，其放大系数减小。

值得提出的是，有些教科书中，双线性变换的定义采用z=1+w，其分析方法同上。

1-w

5.2.2朱里（Jury）稳定性准则

朱里稳定性准则给出了系统特征根（极点）位于单位圆内（∣z∣<1）的充分、必要条件。

现在来讨论朱里稳定性准则。

设离散系统的特征方程

为

（5.19）



F（z）=an



zn+a



n-1



zn-1+L+az+a=0

1

0

式中an>0。

如果an<0，则用（-1）乘F（z），使an变为正值。

根据式（5.19）方程的系数，列出朱里阵列

─────────────────────────────────────

─

z0 z1

z2 L

zn-k L

zn-1 zn

─────────────────────────────────────

─

a

a

a