计算机控制系统6教案.docx

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第6章 计算机控制系统连续域

—离散化设计方法

从本章开始，我们将系统地介绍典型计算机控制系统的一些常用的基本设计方法以及新近发展的计算机模型预测控制算法及其设计。

计算机控制系统设计通常是指，在已经确定的反馈控制系统结构情况下，按照所要求的系统性能指标和被控对象特性和数学模型，设计出数字控制器使控制系统达到预先要求的性能指标。

按照各种设计方法所采用的理论和系统模型的形式，可以大致分为:

连续域—离散化设计法、离散域直接设计法

（或Z域设计方法）和状态空间设计法。

连续域—离散化设计是先在连续域（S平面）完成分析、设计，得到满足性能指标的连续控制系统，然后再离散化，得到与连续系统指标相接近的计算机控制系统。

本章将着重阐述连续域—离散化设计的基本原理和各种离散化方法及其使用场合。

同时本章还对目前使用广泛的PID调节器的离散化方法、PID数字调节器的改进以及

-17-

该调节器的参数整定方法进行详细讨论。

6.1连续域—离散化设计的基本原理

首先，我们从图6.1所示连续系统开始讨论。

图6.1中的D（s）为连续系统满足系统性能指标的控制器传递函数。

现在我们的目的就是将连续传递函数D（s）离散为脉冲传递函数（或称Z传递函数）D（z），这样，就得到图6.2所示的计算机控制系统。

R（s）+

E（s）

C（s）

-

Gp（s）

D（s）

图6.1连续控制系统

图6.2中，D（z）为计算机作为控制器的脉冲传递函数，

Gh0



（s）=1-e-Ts为零阶保持器传递函数，Gs p

（s）为被控对象传递

G（s）

C*（s）

R（s）+E（s）

-

T

T

C（s）

Gp（s）

Gh0（s）

D（z）

图6.2计算机控制系统

函数，G（s）=Gh0（s）Gp（s）称为广义被控对象的传递函数。

将连续控制器转变为离散控制器的过程分4个步骤进

行：

⑴在设计连续控制器时，把对系统有不利影响的因素

R（s）+



E（s）

-

G（s）

D（s）

Gh0（s）



Gp（s）

C（s）

图6.3引入保持器的连续控制系统

考虑进去，即将引起时间滞后的零阶保持器加入连续系统，

设计控制器D（s），检查系统性能指标。

如果不满足，修改

D（s）。

具有零阶保持器的连续系统如图6.3所示。

在连续域中，处理纯滞后环节是困难的，一般将保持器的传递函数用Pade表达式近似表示成有理式。

对于零阶保持器来说，一般可以表示成为一阶有理式或二阶有理式

1-e-Tss

@T 或

T

1-e-Ts@

s

T

T （Ts）2

（6.1）

1+ s

2

1+ s+

2 2!

⑵将D（s）转换成D（z），下节将讨论7种转换方法。

⑶控制器转换后的系统为离散控制系统，如图6.4所示。

检验系统的性能指标。

⑷将D（z）转换成数值算法。

G（s）

C*（s）

R（s）+E（s）

-

T

T

C（s）

Gp（s）

Gh0（s）

D（z）

图6.4控制器转换后的离散系统

6.2连续控制器的离散化方法

当前有许多将连续控制器离散化的方法，并且新的方法正在产生。

本节通过一个简单的模拟滤波器离散化，重点研究几种方法。

现在来研究图6.5所示模拟滤波器。

x（t）

C

y（t）

R

图6.5模拟滤波器

该滤波器的传递函数为

（6.2）

G（s）=Y（s）=

X（s）

1 =

RC+1

a

s+a

式（6.2）中的a=

1。

它的等效离散滤波器可以直接由式

RC

（6.2）所给出的传递函数推出，或者由描述滤波器的微分方程

（6.3）

dy（t）+ay（t）=ax（t）

dt

推导出来。

现在我们就从方程（6.3）入手研究它的离散化问题。

方程（6.3）用于描述模拟滤波器的动态特性，本节的内容就是推导出一个差分方程，它的解近似微分方程的解。

一旦得出差分方程，求出等效离散滤波器就很简单了。

为了评价离散滤波器的性能，不仅要看它的脉冲响应的逼真度，而且还要考察它的频率响应逼真度。

以下为几种主要的离散化方法：

①后向差分法（数值积分法）；

② 前向差分法（数值积分法）。

这种方法可能得出一个不稳定的离散滤波器，因而实际中是不采用的；

③双线性变换法（基于梯形积分规则的数值积分法）；

④具有频率预畸的双线性变换法（双线性变换法的改

进型）；

⑤脉冲响应不变法（Z变换法）；

⑥阶跃响应不变法（具有采样—保持器的脉冲响应不变法）；

⑦零、极点匹配映射法。

对于一个已知的模拟滤波器，每种方法都会得出一个不同的离散滤波器。

6.2.1后向差分法

方程（6.3）可以写成如下形式：

dy（t）=-ay（t）+ax（t）

dt

（6.4）

对（6.4）方程两边从0到t积分

òtdy（t）dt=-a

òy（t）dt+a

òx（t）dt

t

t

0dt 0 0

若我们要求出y（t）在每个采样周期T时刻的值，则用kT代

替上式中的t，则有

òkTdy（t）dt=-aòkTy（t）dt+aòkTx（t）dt

0 dt 0 0

即

kT kT

（6.5）

y（kT）-y（0）=-aò0y（t）dt+aò0

x（t）dt

类似地，把kT变为（k-1）T，则得到

- - =-ò

（k-1）T

y[（k 1）T] y（0） a0



（k-1）T

+ ò

y（t）dt a0



x（t）dt

（6.6）

方程（6.5）减去方程（6.6），则有

kT kT

y（kT）-y[（k-1）T]=-aò（k-1）Ty（t）dt+aò（k-1）Tx（t）dt

（6.7）

方程（6.7）的右边两项表示由采样时刻（k-1）T到kT一个采样周期内y（t）、x（t）的积分，当然可以用各种方法进行数值积分计算。

采用后向差分方法进行积分就是用y（kT）×T、x（kT）×T分

kT kT

别来近似ò（k-1）Ty（t）dt、ò（k-1）Tx（t）dt的积分面积，见图6.6。

这样方程（6.7）就可以写成如下形式：

y（kT）=y[（k-1）T]-aTy（kT）+aTx（kT）

y（t）

、x（t）

0T2T3T4T5T t

（6.8）

图6.6后向差分的面积近似

方程（6.8）的Z变换为

Y（z）=z-1Y（z）-aTY（z）+aTX（z）

由上式可以得出

Y（z）

=D（z）= aT = a

（6.9）

X（z） 1-z-1+aT

1-z-1

+

a

T

将方程（6.9）同方程（6.2）进行比较，我们发现，如果令方程（6.2）中的

1-z-1

s=

T

（6.10）

则这两个方程的右边相等。

在使用后向差分法将模拟滤波器离散化时，方程（6.10）即是S平面到Z平面的映射

D（z）=D（s）



-1

s=1-z

T

（6.11）

我们注意到，在微分方程（6.4）中，如果令

x（t）=x（kT）,y（t）=

y（kT），而dy（t）近似为y（kT）-y[（k-1）T]，

dt T

则方程（6.4）就为

y（kT）=y[（k-1）T]-aTy（kT）+aTx（kT）

上式与（6.8）是一样的。

S平面的稳定域可以通过方程（6.10）映射到Z平面。

因为S平面的稳定域为Re（s）<0，参考（6.10），我们可以写出Z平面的稳定域为

æ1-z-1ö æz-1ö

Reç

T

÷=Reç

Tz

÷<0

è ø è ø

T为正数，将z写成z=s+jw，上式可以写成

æs+jw-1ö

Reç

è

即

s+jw

÷<0

ø

é（s+jw-1）（s-jw）ù

és2-s+w2+jwù

s2-s+w2

Reê

（s+jw）（s-jw）

ú=Reê

s2+w2

ú= s2+w2 <0

ë

上式可以写成

û ë û

æ 1ö2 æ1ö2

çs- ÷+w2<ç ÷

è 2ø è2ø

由上式可以看出，S平面的稳定域映射到Z平面上以

Im

Z平面

1-z-1

T

Re

单位圆

jw S平面

s=

s

图6.7后向差分法S平面映射到Z平面

s=1/2,w=0为圆心，1/2为半径的圆内，如图6.7所示。

后向差分变换方法的主要特点是：

①变换计算简单；

② 由图6.7看出，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果D（s）稳定，则变换后的D（z）也是稳定的；

③离散滤波器的过程特性及频率特性同原连续滤波器

比较有一定的失真，需要较小的采样周期T。

6.2.2前向差分法

采用前向差分法时，用y[（k-1）T]×T、x[（k-1）T]×T分别近似积分面积

y（t）

、x（t）

0T2T3T4T5T t

图6.8用前向差分的近似方法

ò

kT

（k-1）T

见图6.8。

y（t）dt 及



kT

ò

（k-1）T



x（t）dt

方程（6.7）可以写成

y（kT）=y[（k-1）T]

-aTy[（k-1）T]+aTx[（k-1）T]

即

y（kT）=（1-aT）y[（k-1）T]+aTx[（k-1）T]

上式的Z变换为

Y（z）=（1-aT）z-1Y（z）+aTz-1X（z）

则滤波器的脉冲传递函数为

Y（z）=

aTz-1 a

（6.12）

X（z）

D（z）=1-（1-aT）z-1=1-z-1

Tz-1+a

将方程（6.12）同方程（6.2）比较，则有

D（z）=D（s）



-1

s=1-z

（6.13）

Tz-1

使用前向差分方法时，有个严重问题是，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆外。

因为

æ1-z-1ö æz-1ö

Reç

Tz-1

÷=Reç

T

÷<0

è ø è ø

令z=s+

jw，则上式可以写成

Reæs+jw-1ö<0

ç ÷

T

è ø

因为T>0,则有s-1<0 即s<1,见图6.9。

由此，得出前向差分法变换的特点：

Im

Z平面

1-z-1

Tz-1

1

Re

单位圆

jw

S平面

s

s

=

图6.9前向差分法S左半平面映射到Z平面

S平面左半平面的极点可能映射到Z平面单位圆外。

因而，用这种方法所得到的离散滤波器可能是不稳定的，实际应用中是不采用这种方法的。

6.2.3双线性变换法

双线性变换法也叫做梯形积分法，或称作突斯汀

（Tustin）变换法。

使用这种方法时，用

T{y（kT）+y[（k-1）T]}及T{x（kT）+x[（k-1）T]}

2 2

分别近似

ò

kT

（k-1）Ty（t）dt 和



kT

ò

（k-1）Tx（t）dt

积分面积，参看图6.10。

这种积分法是假设两个相邻采样

点间函数是线性的。

根据上面的关系，方程（6.7）可以写成如下形式：

y（kT）=y[（k-1）T]-aT{y（kT）+y[（k-1）T]}+aT{x（kT）+x[（k-1）T]}

2 2

（6.14）

方程（6.14）的Z变换为

y（t）

、x（t）

0T2T3T4T5T t

图6.10 采用双线性变换法面积

Y（z）=z-1Y（z）-aT[Y（z）+z-1Y（z）]+aT[X（z）+z-1X（z）]

即

Y（z）

2

=D（z）=

2

aT（1+z-1）

2= a

（6.15）

X（z）

（1-z-1）+aT（1+z-1）2

21-z-1

+

T1+z-1 a

将方程（6.15）同方程（6.2）比较，可以看出，如果令

（6.16）则

21-z-1

s=T1+z-1

D（z）=D（s）



-1

s=21-z

T1+z-1

（6.17）

方程（6.17）称作双线性变换。

我们还可以将式

（6.16）看作采用双线性变换时由S平面到Z平面的映射。

应当注意到，双线性变换使D（z）的极、零点数目相同，且离散滤波器的阶数（即离散滤波器的极点数）与原连续滤波器的阶数相同。

由方程（6.16），S平面的左半平面[Re（s）<0]映射到Z

平面时，其关系如下：

æ21-z-1ö æ2z-1ö

ReçT1+z-1÷=ReçT

÷<0

z+1

è ø è ø

因为T>0，上面的不等式可以简化为

ç ÷

Reæz-1ö<0

z+1

è ø

令z=s+jw，则上式为

æz-1ö

æs+

jw-1ö

æs2-1+w2+

j2wö

Reç ÷=Reç

z+1 s+

jw+1÷÷=Reçç

（s+1）2+w2

÷<0

è ø è

即

ø

s2+w2

è ø

<12

这相应于Z平面单位圆内部。

因此，双线性变换将

S平面上整个左半平面映射到Z平面上以原点为圆心的单位圆内部（这是Z平面上的稳定区）。

这和z=eTs的映射是一样的，但是离散滤波器的过渡响应及频率响应特性有显著的不同。

双线性变换的特点是：

①如果D（s）稳定，则相应的D（z）也稳定；D（s）不稳定，则相应的D（z）也不稳定。

② 所得D（z）的频率响应在低频段与D（s）的频率响应相近，而在高频段相对于D（s）的频率响应有严重畸变。

例6.1用双线性变换法将模拟积分控制器

D（s）=U（z）=1离散化为数字积分控制器。

E（z） s

解由式（6.17），得数字控制器的脉冲传递函数为

D（z）=

U（z）



=D（s）

=1

21-z-1

T1+z-1

=

21-z-1 -1

E（z）

s=T1+z-1

ss=

T1+z-1

21-z

上式可以写成

（1-z-1）U（z）=T（1+z-1）E（z）

2

由上式可以得出相应的差分方程

u（kT）=u[（k-1）T]+T{e（kT）+e[（k-1）T]}2

式中，u（kT）、e（kT）分别为kT时刻D（z）的输出量和输入量。

6.2.4具有频率预畸的双线性变换

现在我们来考察双线性变换的定义式（6.16）的频率特性。

D（s）的频率特性用D（jw）来求，而D（z）的频率特性用D（ejwT）来求。

为了比较D（jw）和D（ejwT）频率响应，我们首先利

用代换

s=jwA 和z=eD

jwT

代入方程（6.16）s=21-z-1,则有

T1+z-1

21-e-jwDT

2ej（1/2）wDT

-e-j（1/2）wDT

D

jwA=T1+e-jwT

=Tej（1/2）wDT

+e-j（1/2）wDT

=22jsin（wDT/2）=

j2tan

wDT

T2cos（wDT/2） T 2

由上式得出wA与wD之间的关系

-18-

w=2tanwDT

A T 2

（6.18）

A

式（6.18）给出了衡量双线性变换频率失真的途径。

利用方程（6.18）我们可以将D（jw）和D（ejwDT）联系起来：

A

D（jw）=D（ejwDT）

（6.19）

D

方程（6.19）表明，当w=2tanwDT时，D（jw）和D（ejwT）相

A T 2 A

等。

根据方程（6.18）画出wA与wD之间的关系，见图

6.11。

模拟频率wA与双线性变换后的频率wD之间是正切关系，这种关系造成了频率的非线性畸变。

只有在wDT很小时，方程（6.18）简化为：

w

D

p

T

p

2T

0

2

T

wA

图6.11wD与wA之间的关系

w@2wDT=w

A T 2 D

这就意味着，频率较低时（同ws/2比较，ws为采样频率），

wA与wD之间近似线性关系。

离散滤波器的低频特性与原连

续滤波器的低频特性是近似一样的，即wDT比较小时，双线性变换频率失真小。

而当频率wD接近ws/2=p/T（因为

ws=2p/T）时，则连续滤波器的频率wA快速地增大到无穷大。

因而当频率wD接近ws/2时，频率失真就严重。

采用频率预畸的方法，可以在感兴趣的频率范围内减小频率失真。

所谓频率预畸，就是在将连续滤波器离散化之前，将其感兴趣的频率进行修正，然后再用双线性变换法将修正后的连续滤波器离散化。

例如，将转角频率（幅值为-

3db）修正到一个新的值，然后再离散化，那么，wD域的-

3db点就是所希望的频率点。

频率预畸双线性变换的特点是：

①将S平面映射到Z平面的单位圆内；

②若D（s）稳定，变换后，则D（z）稳定；

③产生频率失真；

④修正D（z）稳态放大增益，使其等于D（s）的稳态增益。

-58-

1.低通滤波器

现在我们来研究低通滤波器

（6.20）

D（s）=

a

s+a

①在将其离散化之前，先进行频率修正。

连续滤波器

的转折频率为a，用2tanaT代替a，则有

T 2

D（s,a）=

a

s+2tanaT

T 2

②对这个修正后的滤波器进行双线性变换

D（z）=K



=K

a

s+2tanaT

T

2

21-z-1



a

21-z-1 2 aT

（6.21）

s=T1+z-1

T1+z-1+Ttan2

③计算待定增益K，使得D（z）和D（s）的低频增益相等，对于低通滤波器来说，即

D（z）z=1=D（s）s=0，则

D（z）

z=1=K

=K a

a

T1+z-1

21-z-1+2 aT

tan

T 2

2tanaT

z=1 T 2

D（s）

因此

s=0=

=1

a

s+a

s=0



2tanaT

K a

2tanaT

=1，则

K=T 2

a

T 2

将K代入（6.21），得出

tanaT

D（z）=2

（6.22）

1-z-1+

1+z-1

tanaT

2

式（6.22）则为D（s）的离散滤波器。

2.高通滤波器

类似地，对于高通滤波器

用2 aT

H（s）=

21-z-1

s

s+a

tan

T

2代替a，T1+z-1代替s，则有

21-z-1



1-z-1

H（z）=K

T1+z-1

21-z-1+2



=K 1+z-1

aT 1-z-1 aT

（6.23）

T1+z-1

tan

T 2

1+z-1+tan2

对于高通滤波器来说，应使D（z）和D（s）的高频增益相等，即

H（z）z=-1=H（s）s=¥，则有

H（z）z=-1=K

H（s）



=

s=¥



s

s+a

s=¥



=K

1-z-1

1+z-1

1+z-1

1-z-1+ aT

tan

2

z=-1

=1

1-z-1

（1-z-1）+（1+z-1）tanaT

2



=K

z=-1

所以 K=1

H（z）=



1-z-1

1+z-1

1-z-1+ aT

（6.24）

1+z-1

tan

2

方程（6.24）即为高通滤波器H（s）的离散滤波器。

例 6.2 已知连续控制器