中考数学专项复习20《二次函数的应用》练习无答案 浙教版.docx

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中考数学专项复习20《二次函数的应用》练习无答案浙教版

二次函数的应用（20）

一、填空题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，

则n=　　（用含a的代数式表示）．

二、解答题

2．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．

（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；

（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？

最大面积是多少？

（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？

如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线

AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．

（1）求证：

CD是⊙M的切线；

（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM=

S

△PDM

？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：

y=

x2于点A、B，交抛物线C2：

y=

x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．

【猜想与证明】

填表：

m

1

2

3

由上表猜想：

对任意m（m＞0）均有

=　　．请证明你的猜想．

【探究与应用】

（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为　　；

（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；

【联想与拓展】

如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为　　．

5．如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；

（2）若△ACD的面积为3．

①求抛物线的解析式；

②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

6．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．

（1）求A、D两点的坐标；

（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；

（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？

若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；

（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？

求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．

8．如图．在平面直角坐标系中，边长为

的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：

△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在

（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？

若有，求出点P的坐标；

（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，

），C（1，

），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；

（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？

若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？

若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．

10．已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）

（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；

（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？

并证明你的猜想．

（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．

（平面内两点间的距离公式

）．

11．直线y=

x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？

12．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣

时，y取最大值

．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：

S△BPC=1：

3，求点P的坐标；

（3）直线y=

x+a与

（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：

①是否存在a的值，使得∠MON=90°？

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）

（参考公式：

在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=

）

13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x+

与直线y=x交于点A，点B在直线y=

x+

上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

14．如图1，已知直线l：

y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．

（1）求点B的坐标，并说明

点D在直线l上的理由；

（2）设交点C的横坐标为m．

①交点C的纵坐标可以表示为：

　　或　　，由此进一步探究m关于h的函数关系式；

②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．

15．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=

x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．

（1）点B的坐标为（　　，　　），抛物线的表达式为　　；

（2）如图2，求证：

BD∥AC；

（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．

16．如图①，若二次函数y=

x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=

x的图象的对称点为C．

（1）求b、c的值；

（2）证明：

点C在所求的二次函数的图象上；

（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=

x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=

x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

17．如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．

（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；

（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；

（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？

若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

18．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴

右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于

（2）中的点B，在此抛物线上是否存

在点P，使∠POB=90°？

若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

19．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．

（1）求证：

不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．

①当△ABC的面积为1时，求a的值．

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

20．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．

（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：

S△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

22．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．

（1）使用a、c表示b；

（2）判断点B所在象限，并说明理由；

（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（

），求当x≥1时y1的

取值范围．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=

x2+bx+c经过点A（

，0）和点B（1，

），与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．

①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；

②点F是OB的中点，点M是直线

BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=

∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

24．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；

（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．

25．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的

E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．

（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛

物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线解析式；

（3）点P是矩形内部的点，且点P在

（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM=S△BPM？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

26．在平面直角坐标

系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒

个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；

（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；

（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣

（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180

°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？

若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

28．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

29．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，

）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最

小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？

若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图，二次函数y=

x2+bx﹣

的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：

　　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．