弹簧质量对振动系统的影响修改1汇总.docx
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弹簧质量对振动系统的影响修改1汇总
玉林师范学院本科生毕业论文
弹簧质量对振动系统的影响
TheInfluenceofSpringQualityonVibrationSystem
院系
物理科学与工程技术学院
专业
物理学
学生班级姓名
2009级2班
指导教师单位
物理科学与工程技术学院
指导教师姓名
关小蓉
指导教帅职称
副教授
戴石贵
200905401240
弹簧质量对振动系统的影响
物理学2009级2班戴石贵
指导教师关小蓉
摘要
弹簧振子是物理学中的一个典型模型，弹簧振子是指忽略质量的轻弹簧系一物体所组成
的系统。
在实验中得到的弹簧振子的振动频率和理论结果存在着较大的差异，其中有很多原因，但主要是由于弹簧的质量对振动有一定的影响。
人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量，实际弹簧振子由质量为mo.弹性系数
为k的弹簧和连接于弹簧一端质量为m的振动物体组成，为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析了弹簧质量对振动系统的周期之间的影响，该研究对实际振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。
由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想的振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系，当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式，实际上处理这类问题的方法有很多种，像四阶龙格一一库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等，本文主要运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论。
关键词：
弹簧振子，弹簧质量，周期，动能，势能
TheInfluenceofSpringQualityonVibrationSystem
Physics2009-2DaiShi-gui
SupervisorGuanXiao-rong
Abstract
Springoscillatorisatypicalmodelofphysics,thespringoscillatormeanstoignorethequalityofthelightspringanobjectcomposedofsystem.Experimentspringoscillatorfrequencyofvibrationandtheoreticalresultsthereisagreaterdifferenee,therearemanyreasons,butmainlyduetothequalityofthespringhaveacertainimpactonthevibration.Inthediscussionofthespringoscillatorvibrationcase,peopletendtoignorethequalityofthespringitself,theactualchildofspringvibrationbythespring・massformO,elasticcoefficientkforthespringandqualityconnectionononeendofthespringtomvibratingobjectcomposition,toaddresstheactualspringoscillatorspring-massvibrationsystem,energyresearchsystem,theestablishmentoftheformulaofkineticandpotentialenergyofthespring-masssystem,aquantitativeanalysisofthequalityofthespringbetweentheperiodofthevibrationsystemfromdifferentangles,thetheactualvibrationofvibrationproblems,thestudyhassomereferencevalueandsignificance.
Springquality,thisspringvibrationsub-vibrationsubisnotideal,thequalityofitsvibrationcyclewithspring'shascloseties,whenweputthiseffectisonlyattributedtothequalityfactor,theoscillatorcyclecanbewrittenasspring-effectivequality-relatedexpression,infact,dealwithsuchissuesaremany,likeRunge・Kuttamethod,Rayleighmethod,transfermatrixmethodforsolvingthewaveequationmethod,heuristicsforsolvingdifferentialequationsofconservationofmechanicalenergyapproximation,iterativemethod,etc.Inthispaper,theuseofmechanicalenergyconservationlawandtheiterativemethodofapproximatesolutiontotheactualspringoscillatorcycle,andtheresultsmakeadetaileddiscussion.
Keywords：
Springoscillator,Spring-mass,Cycle,Kineticenergy,Potentialenergy
1前言1
2振动系统的动能和势能2
2.1弹簧振动系统的动能分析概况2
22弹簧振动系统势能分析概况4
2.3弹簧振动系统的机械能5
2.3.1弹簧振子放置水平位置（v・0）弹簧振动系统的机械能5
2.3.2弹簧振子放置竖直位置（-二/2）弹簧振动系统的机械能6
2.3.3弹簧振子放置倾斜程度为二位置（0：
：
：
v:
:
二/2）弹簧振动系统的机械能
6
3弹簧质量对振动周期的影响7
3.1机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响7
3.2迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响9
3.3弹簧质量对振动周期影响的分析11
致谢13
参考文献14
1
--1Za—a—刖S
弹簧振动作为自然界中最普遍的最广泛的运动形式之一，在物理学的基础理论研究中同样是具有显著地位，正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。
作为自然界弹
簧系统振动形式中最简单的抽象化的物理模型-简谐振子，它由质量为m的振子和弹簧弹性系数为k的无质量的理想的弹簧所组成，则其弹簧振动系统的周期为：
T=2.mk
简谐振子实际上是一个理想化的抽象化的物理模型，实际上弹簧的自身质量mo相
比振子的质量m来说未必可以忽略不计，而一旦忽略了弹簧质量的影响，就必定会造成理论上计算值与实际测量值之间的不吻合，并且这种差异并非属于随机简单的计算误差而是具有明显的系统误差性质，必要时还是应予以修正的。
在实验中得到的弹簧振子的振动周期和理论结果存在着这些的差异，其中原因可能有很多，但主要是由于弹簧的质量对振动存在一定的影响；一般人们在讨论弹簧振子的振动情况时，通常不考虑弹簧的质量影响，而按照理想状态处理。
但是在实际情况下，弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响，而作为弹簧系统振动周期的一级近似，可以将弹簧质量m。
的三分之一有效质量加到振子的质量m上去，从而将弹簧质量为m。
、振子质量为m的实际弹簧振
动系统等效看作是一个具有质量为mmo/3的理想质量的弹簧振动系统，弹簧系统的振
动周期为：
mmo3
k
为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析研究了弹簧质量对振动系统影响，并且结合运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论，该结论对于研究实际弹簧振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。
2振动系统的动能和势能
通常用弹簧振子来研究简谐振动问题，用到轻弹簧这里考虑到弹簧质量，系
统振动时弹簧不仅具有振动动能，而且弹簧在某一位置还具有重力势能。
下面就从振动系统的能量开始，按弹簧的动能与势能分两部分来研究，再对弹簧振动系统的机械能概括总结，同时也是针对其质量对整个弹簧系统振动状态的影响。
2.1弹簧振动系统的动能分析概况
弹簧振子按照如下图21放置在一个光滑的倾斜程度为斜面上，弹性系数为k,
弹簧的原长为L,达到平衡位置时弹簧伸长量X。
，物体的质量为m,弹簧的质量为g
dl
图2.1弹簧振子
Figure2.1springoscillator
因为弹簧振子中的弹簧质量为mo,弹性系数为k,振子质量为m,若弹簧的振动方程为：
（2.1）
那么弹簧振子在运动过程中其速度就可以通过求导来得到，那么对（21）式进行求导可得
弹簧振子任意时刻的速度v为：
vx…A■siniut亠'：
；i（2.2）
dt
因为考虑到弹簧的质量，所以振动系统的动能是由两部分组成，即振子的动能与弹簧动
能之和，即：
Ek=EmEK2
12
根据动能的表达式:
其中Eki为振子的动能为：
I2
Em2mv
而Ek2则为弹簧的振动动能，如上图图
I2
2mVlf
2
2.所示，
-•A2sin2L:
ti
设弹簧总共绕匝数为
（2.3）
N匝，任意dl的
振幅为：
AJI
Al
Xo
（2.4）
NLxxo
Lx
由于dl与振子的振动频率相同且相一致的，所以弹簧的振动方程为:
LxXo
（2.5）
所以弹簧的任意时刻的速度V•为:
dXdt
sin-t:
LxXo
（2.6）
因此弹簧的振动动能为:
dEk2
modlAl
2（L+x+x°）（L+x+x°『
（2.7）
2
又而v「Ay-为振子的振动速度
所以在弹簧系统中弹簧本身的动能为：
1212rrioV
k2m°vm°V2
222Lxxo0
2
Lxxoi7mov
（2.8）
Idl
6
如图图2.1,5知弹簧放在光滑的倾斜程度为二（0乞乞二/2）斜面上，所以综上所述，考虑了弹簧质量的振动系统的总动能Ek为：
12.12mvmov
上石互226（2.9）
2.2弹簧振动系统势能分析概况
弹簧振子按照如图图2.2,放置在一光滑的斜面上，图2.2中弹簧水平放置时原长为
L,当系统达到平衡位置时，弹簧系统中弹簧伸长量为Xoo坐标原点、弹簧弹性势能以
及重力势能零点都选在平衡位置，任意时刻振子运动到位置为X考虑到弹簧的质量，因此弹簧的重力势能不能够忽略不计，那么弹簧振子系统的势能Ep等于弹簧的弹性势能
Em和弹簧振子的重力势能Ep2以及弹簧的重力势能Ep3之和，即为：
图2.2弹簧振子
Figure2.2springoscillator
Ep=Epi-Ep2*Ep3（2.10）
1
因为弹簧的弹性系数为k,根据弹簧的弹性势能的式子：
Ep二;kx£而重力势能的式
子为：
Ep=mgH；又弹性势能和重力势能的零势能点选择在弹簧振动系统的平衡位置，所以在平衡位置上的弹簧弹性势能、重力势能为零势能面。
对于弹簧的弹性势能Em又根据微积分学，对其积分得到其表达式：
<爻2
IXJgS「2谷*（）1
又因kx。
二mmgsi,所以弹簧的弹性势能Epi为：
kx
EPi亠口mogxsin
对于弹簧振动系统中振子的重力势能Ep2为:
Ep2=-mgxsinv
（2.12）
（2.13）
mOgsiAidA<>mgAicli.°
p3LXXoxLxXo
mAiAidA
丄X>Lxxo
xXo（2.14）
o
对于弹簧振动系统中弹簧的重力势能EP3为:
综上所述，弹簧振子振动系统的势能为:
EP=EPi.EP2.EP3
（2•佝
kx2mmogxsinv-mgxsinvmcgsinL■XXo
22
kx21m^gLxXosinr
22
2・3弹簧振动系统的机械能
综上根据弹簧系统的动能与势能分析情况，则弹簧振动系统的机械能E为弹簧系统的动能与
势能之和，即:
1H111
E=Ek+Ep=・m+_m0v2+—kx2+—mog（L+x十x。
）sinO（216）
2I3）22
弹簧振子是按照如图图2.1放置在一光滑的倾斜程度为斜面上，弹性系数为k,弹簧的原长为L,达到平衡位置时弹簧伸长量x。
，物体的质量为m,弹簧的质量为m。
。
又因其倾斜程度为
「且其范围在0—：
宀/2之间，所以可以分为以下可能出现的情况「0—、0：
:
:
v”/2三种情况进行概括和总结系统的机械能。
2.3.1弹簧振子放置水平位置（二・0）弹簧振动系统的机械能
弹簧振子处于水平放置时，即二=0,并且此时sirTO,弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能不存在，不必考虑进来了，只存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，因此弹簧振动系统的机械能E为以上的动能与势能之和，EP：
E二EkEp
（2.1刀
2.3.2弹簧振子放置竖直位置r12）弹簧振动系统的机械能
弹簧振子处于竖直放置时，即■:
:
/2,并且此时的sinr=1,不仅存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，而且弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能E为整个弹
簧振动系统里的动能与势能之和，即：
（2.18）
7r7>2121*
E=EkEpmmovkxmogLxXo
3
2.3.3弹簧振子放置倾斜程度为二位置（0
“12）弹簧振动系统的机械能
弹簧振子处于竖直放置时，即0
:
:
:
v/2,并且此时的0乞sinr<1,不仅存在弹簧
的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能,
而且弹簧的重力势能以及由弹
簧的重力引起的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能E为
整个弹簧振动系统里的动能与势能之和，即:
1f
1\2
1
21
E=[
EkEPm
movkx
mogLxxosinv
p2I
3丿
2
2
（2.19）
3弹簧质量对振动周期的影响
理想的弹簧振子系统是指弹簧的质量为零的振子系统，其振子的运动形式是简谐振动，振动
是一种最简单的运动形式之一。
大量实验数据表明，弹簧质量对振动系统的周期存在一定的影
响，实际测出的数据振动系统的周期总是略大于理论上简谐振动的理论公式得出的值：
弹簧质量对振动系统周期的影响己有文章研究"235，弹簧的质量会对振动系统周期产生影响，采用不同的方法分析计算周期，所得结果的精度也会有所不同，通过对其分析，将有助于对实际振动系统应用。
对于需考虑弹簧质量的弹簧振子的振动这一经典问题
国内外已有许多文献从不同的角度加以研究［匚刀，一般将弹簧视作均匀的弹性介质，从波动方程出发进行研究"2，或将弹簧离散化为一系列小的弹簧振子进行分析67］.在假定弹
簧各点振动相位相同，且振幅与质点平衡位置成正比的条件下，文献［1^6］均得出振动周期的公式：
mrrio3
式中弹簧的劲度系数为k,振子的质量为m,弹簧的质量为m。
。
当把弹簧质量的1/3加到振子质量上，即可以把弹簧振子系统视作理想的振子系统。
这个附加到弹簧振动系统振子上的质量称为弹簧的有效质量（等效质量），接下来主要运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做岀的讨论和总结。
3.1机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响
如下图图3.1,弹簧振动系统中振子水平放置在光滑的水平平面上，弹簧的弹性系数为k,弹簧水平放置时的原长为L,令达到平衡位置时弹簧伸长量xo,而物体的质量为m,弹簧的质量为mo,
dl
图3.1弹簧振子水平放置
Figure3.1Placethespringoscillatorlevel
设弹簧质量比振子的质量m小，近似地我们假设弹簧的各截面位移是按线性的规律变化，因此，弹簧在某一质点离弹簧固定那端的距离为I,即振子任意t时刻的位置，截面位移可表示为“二型，其中X为弹簧振动物体离开弹簧平衡位置0的位移，又水平面
L
光滑，不计其在平面上的摩擦阻力等其他阻力引起的能量损失，弹簧系统振子的能量守恒。
弹簧系统中弹簧为m。
时的动能Eki为:
_2
Hmox
o2Ld，—
Eki
弹簧系统振动振子的动能为：
¥
mx
Ek22
弹簧系统振子的弹性势能为：
kx2
Ep二
kx°2
弹簧系统弹簧在平衡位置时的弹性势能为：
po0
2
（3.1）
（3.2）
（3.3）
22
**k2
又结合能量守恒定律，则有竺•瞠•乞=C，且c为常数，将其对时间的求导后，
622
；m0
m
I3
简谐振动的谐振子的振动的动力学方程相结合比较的弹簧系统振子的周期为：
=2nuno^（3.4）
由此可见，该结果可等效认为是轻弹簧时，即为轻弹簧时振子的等效质量，在弹簧系统振子m上附加了m/3的弹簧质量的理想弹簧振子，显然真实弹簧振子的振动周期要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大些。
利用机械能守恒近似法，比较简便，不过其前提条件是弹簧上的各个位置其振动是一致且按线性规律变化。
3.2迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响
对于考虑弹簧质量对弹簧系统振子，己有许多文献从不同的角度予以研究〔1~引，文
献⑴给出了弹簧系统的能量表达式，然后令能量的一阶导数等于零，得到运动方程，再通过该运动方程的求解得弹簧系统的周期；文献是从有质量弹簧的波动方程出发，并结合牛顿第二定律和胡克定律及微元分析法，给出定解问题，然后通过分离变量法，直接求解波动方程，得到弹簧系统所满足的本征值方程，并采解出弹簧振子的本征频率，导出弹簧的等效质量的渐进级数表达式，从而得到弹簧质量不可忽略的弹簧振子系统的振动解。
设弹簧总共绕匝数为N匝，弹簧系统中，弹性系数为k,弹簧水平放置时的原长为L,具体如
上图图3.1所示的，实际弹簧系统振子运动可归为不同频率的谐振动的合成，即XN,t八「An
COS,nt,且使又根据文献可知
n=0n£
An
2sin2ann二
（3.5）
®+n兀J|（an+n兀）+?
sin2（a.+n兀
其中ann=1,2,3-＞描述弹簧系统弹簧的弹性系数ka“和有效质量m°be引入参数，由弹
簧系统振子的本征方程：
和本征值为:
cot-*—N,■二
（3.6）
（3.7）
来决定振子的各个阶段振动周期为:
Tn=2
mbemo
（3.8）
其中
（3.9）
将式子（3.7）代入式子（3.6）有:
（3.10）
cotann二・cotan
cota
再利用级数的展开式介
13n
3n3
45
将式子（3.10）可以写成:
（3.11）
为了简单方便，我们分析讨论了
n=0时,
弹簧系统振动周期。
取式子（3.11）右边前两项有:
*1~2
3o
5碁
.3.丿
（3.12）
再取初始值"'代人式子（3.12）有:
3451*
A3丿
（3.13）
代人式子（3.9）得:
（3.14）
b=bo=
45-
（3.15）
因此由迭代法近似可以得出基频弹簧振动系统的周期为：
To=2■:
所以由迭代法弹簧振动系统的振动周期就可表示为：
（3.16）
刑・：
nj_be.m,._
3.3弹簧质量对振动周期影响的分析
通过对弹簧质量与弹簧振动系统之间的研究，在物理学中的基础理论研究中具有显著的重要地位，正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践指导，特别是弹簧质量对弹簧振动系统的周期的影响就非常有实践指导的意义。
本节通过运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期。
第一种方法是机械能守恒近似法，此法主要结合了机械能守恒定律以及大学计算常用的微分求导，又结合振动系统的运动方程进行分析，得到了其振动周期与弹簧质量之间的关系为：
y”呛'
Vk
这在很多的文献中也有相同的结论，也是通过多种方法到得一比较普遍的式子，显然弹簧系统振子m上附加了rrr/3的弹簧质量的理想弹簧振子，真实弹簧振子的振动周期要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大一些，因而得到了社会中广泛应用，其精度可
以满足一般工程应用领域的需要。
但对于更高精度的应用领域或进行理论分析就需要考虑更准确的计算公式，第二种方法就是迭代法，很显然方法比较的复杂，中间涉及的知识内容、理论准备、计算方法等等都是比较繁杂，但是却能得到更准确且具有更加普遍意义的结果，对于一些更高精度的计算，显而易见是十分必要的；在弹簧振动中，基频的振幅是最大的，弹簧质量对基频的弹簧系统振动周期的影响也很大，所以在弹簧振动系统中弹簧质量与振子质量相对可比的情况下，讨论弹簧振动问题一般是不能够忽略弹簧其本身的质量，只是当弹簧质量远远小于弹簧振
子的质量且对其结论要求不是十分精确的情况下是可忽略弹簧本身质量对振动系统的振动状况的影响。
致谢
在玉林师范学院四年的学习生活即将结束，时间匆匆而过，回首大学四年往事，难以忘怀在这四年的学习和生活中，以及给予我关怀、关爱和支持的老师和同学们，非常感谢你们。
同时大学的四年里，也是我此生的一个重要的阶段，非常荣幸在大学四年结识这么多的老师、同学、朋友。
四年的学业生活即将在这个季节
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