第课时集合的概念教学设计公开课.docx

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第课时集合的概念教学设计公开课

1.1　集合的概念

第1课时　集合的概念

【学习目标】

课程标准

学科素养

1、通过实例了解集合的含义．（难点）

2、掌握集合中元素的三个特性．（重点）

3、掌握元素与集合的关系，并能用符号表示.

4、记住常用数集及其记法．（重点、易混点）

1、数学抽象

2、逻辑推理

3、直观想象

【自主学习】

1．元素与集合的概念

（1）元素：

一般地，我们把研究统称为元素．

（2）集合：

把一些元素组成的叫做集合（简称集）．

2．集合中元素的特性

集合中元素具有三个特性：

、、．

注意：

集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．

3．集合的相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是．

4．元素与集合的表示

（1）元素的表示：

通常用小写拉丁字母表示集合中的元素．

（2）集合的表示：

通常用大写拉丁字母表示集合．

5．元素与集合的关系

（1）属于：

如果a是集合A的元素，就说，记作.

（2）不属于：

如果a不是集合A中的元素，就说，记作.

6．常用数集及符号表示

数集

非负整数集（或自然数集）

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

【小试牛刀】

1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．（　　）

（2）分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．（　　）

（3）由－1,1,1组成的集合中有3个元素．（　　）

2、用“∈”或“∉”填空：

____N；－3____Z；

____Q；0____N*；

____R.

【经典例题】

题型一集合的概念

例1　下列所给的对象能构成集合的是________．

①所有的正三角形；

②比较接近1的数的全体；

③某校高一年级所有16岁以下的学生；

④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；

⑤所有参加2021年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；

⑥

的近似值的全体．

[跟踪训练]

1.　判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？

（1）接近于2019的数；

（2）大于2019的数；

（3）育才中学高一

（1）班视力较好的同学；

（4）方程x2－2＝0在实数范围内的解；

（5）函数y＝x2图象上的点．

题型二元素与集合的关系

例2　给出下列6个关系：

①

∈R，②

∈Q，③0∉N，④

∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.

其中正确命题的个数为（　　）

A．4　　B．3　　　C．2　　　D．1

例3集合A中的元素x满足

∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

[跟踪训练]

2．用符号“∈”或“∉”填空．

若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点（0,0）________A，（1,1）______A，

（－1,1）______A.

题型三集合中元素的特性

已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．

[变式]　

（1）本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．

（2）本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

例5　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

[跟踪训练]

3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（　　）

A．2B．3

C．0或3D．0,2,3均可

【当堂达标】

1．下列说法正确的是（　　）

A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合

B．由1,2,3和

，1，

组成的集合不相等

C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程（x－1）（x＋1）2＝0的所有解构成的集合中有3个元素

2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（　　）

A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对（2,3）构成的集合

B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合

C．P是由元素1，

，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－

|构成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集

3．已知集合A由x<1的数构成，则有（　　）

A．3∈AB．1∈A

C．0∈AD．－1∉A

4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为（　　）

A．2B．2或4

C．4D．0

5．由实数－a，a，|a|，

所组成的集合最多含有的元素个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

6．给出下列关系：

①

∈Z；②

∈R；③|－5|∉N＋；④|－

|∈Q；⑤π∈R.

其中，正确的个数为________．

7．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a满足的条件是________．

8．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．

9．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．

10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.

（1）求实数x应满足的条件；

（2）若－2∈A，求实数x.

【参考答案】

【自主学习】

1．

（1）对象

（2）总体

2．确定性、互异性、无序性

3．相等的

4．

（1）a，b，c，…

（2）A，B，C，…

4．

（1）a属于集合Aa∈A

（2）a不属于集合Aa∉A

5．NN*或N＋ZQR

【小试牛刀】

1.

（1）×　

（2）√　（3）×

【解析】

（1）因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．

（2）根据集合相等的定义知，两个集合相等．

（3）因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1,1,1组成的集合有2个元素－1,1.

2.∉　∈　∉　∉　∈

【解析】因为

不是自然数，所以

∉N；－3是整数，所以－3∈Z；因为

不是有理数，所以

∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为

是实数，所以

∈R.

【经典例题】

例1①③④

【解析】①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；

②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；

③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；

④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；

⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；

⑥不能构成集合，因为“

的近似值”未明确精确到什么程度，因此不能断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．

[跟踪训练]

1.

（1）（3）由于标准不明确，故不能构成集合；

（2）（4）（5）能构成集合．

例2C

【解析】R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，

，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．

例30,1,2

【解析】当x＝0时，

＝2；

当x＝1时，

＝3；

当x＝2时，

＝6；

当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.

[跟踪训练]

2.∈　∈　∉

【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然（0,0），（1,1）都在直线y＝x上，（－1,1）不在直线上．∴（0,0）∈A，（1,1）∈A，（－1,1）∉A.

例4　－1

【解析】　若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；

若a2＝1，则a＝－1或a＝1（舍去），此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.

综上所述a＝－1.

[变式]　

（1）若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；

若a2＝2，则a＝

或a＝－

，符合元素的互异性．

所以a的取值为2，

，－

.

（2）根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.

例5解：

由题意可知，a＝1或a2＝a，

（1）若a＝1，则a2＝1，这与a2＝1相矛盾，故a≠1.

（2）若a2＝a，则a＝0或a＝1（舍去），又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．

综上可知，实数a的值为0.

[跟踪训练]

3.B

【解析】由2∈A可知：

若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

【当堂达标】

1.C

【解析】A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．

2.C

【解析】由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．

3.C　

【解析】很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．　

4.B

【解析】若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B．

5.B

【解析】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，

＝|a|＝

所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．

6.2

【解析】由Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.

7.a≠±2且a≠1

【解析】由元素的互异性，得

即a≠±2，且a≠1.

8.0或1

【解析】①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．

②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．

③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2,1,－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．

综上可知：

a＝0或a＝1.

9.因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.

①当x＝0时，x2＝0，B中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．

②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．

综上知：

x＝1，y＝0.

10.

（1）由集合中元素的互异性可知，x≠3.且x≠x2－2x，x2－2x≠3.

解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.

（2）由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，

当x＝－2时，x2－2x＝（－2）2－2×（－2）＝8.

此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．

当x2－2x＝－2，

即x2－2x＋2＝0时，Δ＝（－2）2－4×1×2＝4－8<0，

故方程无解，显然x2－2x≠－2.

综上，x＝－2.