经济数学教案.docx
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经济数学教案
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广东培正学院
GUANGDONGPEIZHENGCOLLEGE
课程教案
课程名称：
[Gen221]经济数学.
授课教师：
数学教研室.
授课班级：
2010级，001班.
本专科：
专科.
人文学科与基础教学部数学教研室
2012至2013学年第一学期
目录
第一章函数1
函数的概念2
第一章函数6
初等函数6
第一章函数10
利息贴现及常用经济函数10
第二章极限与连续14
极限的概念14
第二章极限与连续18
两个重要极限18
第二章极限与连续22
无穷小与无穷大22
第二章极限与连续26
函数的连续性26
第二章极限与连续30
函数的间断点30
第三章导数与微分34
导数的概念34
第三章导数与微分38
求导四则法则38
第三章导数与微分42
复合函数求导法则42
第三章导数与微分46
常用的求导方法，高阶导数46
第三章导数与微分50
函数的微分50
第四章导数有应用54
函数的单调性54
第四章导数有应用58
函数的极值及其应用58
第四章导数的应用62
边际分析及弹性分析62
教案案首
授课时间
2012年8月31日第1周星期五第5，6，7节
授课地点
2401
授课学时
3
授课内容
章节（单元、专题）
第一章函数
内容
函数的概念
教学任务目标
知识目标
能力目标
理解函数的概念，掌握函数的意义、性质及表示方法
通过对函数的学习，使同学在经济生活中，能够将有关经济模型用函数解析，便于掌握它们的规律
教学重点与难点
重点：
概念的理解
难点：
学习函数的意义，对函数系统性的理解
教学内容与
时间安排
1.简介经济数学的任务及学习方法（20分钟）
2.函数的概念（35分钟）
3函数的性质（50分钟）
4.总结与练习（20分钟）
5.布置作业（5分钟）
教学方法与手段
1、方法：
讲授
2、教具：
几何辅助图形
3、是否多媒体
是（）否（√）
课件来源
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
一.复习导入
复习中学数学知识，介绍经济数学的特点，引入新课题
二.讲授新内容
课题 函数的概念
1.函数的概念
常量——只取固定值的量
变量——可取不同值的量
变域——变量的取值范围
定义设x和y是两个变量，D是一给定的数集，如果对于任意，变量y按照一定法则，总有唯一确定的数值与其对应，则称y是x的函数，记作，数集D称为这个函数的定义域，数集称为函数的值域，x称为自变量，y称为因变量．
当自变量x取数值时，因变量y按照对应法则所对应的数值，称为函数在点处的函数值，记作．
关于函数定义的几点说明：
（1）我们这里所讲的函数是指单值函数，也就是说，对于每一个x值只能对应变量y的一个值.
（2）符号“f”的意义表示函数对应法则的符号也常常用“g”、“F”等表示，这时函数就记作y=g（x）、y=F（x）等.
（3）确定函数的两个要素——定义域和对应法则
只要两个函数的定义域和对应法则都相同，那么，这两个函数就相同；如果定义域或对应法则有一个不相同，那么这两个函数就不相同
（4）函数定义域的求法
有代数式子与具体问题两种情况，请同学们分别举例说明。
（最后）老师总结归纳：
a.代数式中分母不能为零
b.偶次根式内表达式非负
c.基本初等函数要满足各自的定义要求
d.对于实际问题，还应符合实际意义
今后常遇到的函数：
配合教师认真回忆高中数学内容，特点、学习方法以及应用，并让同学回答学习体会
对应多个可以吗？
法则的意义是什么？
建立函数关系的意义有哪些？
什么才是真正相同的函数？
从函数的定义同学们能看出数学研究问题的特点吗？
（规律性）
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
（1）分段函数（例如邮政发信，请同学们再举出例子，并总结特点）
对于分段函数，要注意以下几点：
a.分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数．
b.分段函数的定义域是各段定义域的并集．
c.在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段的表达式
（2）隐函数（同学们举例）
（3）参数方程确定的函数（同学们举例）
（4）反函数
求反函数的步骤是从中解出x，得到，再将x和y互换即可．
例如求的反函数．解由得，互换字母x，y得所求反函数为．函数对应关系必须一一对应
2.函数的几个性质（奇偶性与周期性因较简单，略去）
（1）函数的单调性
若对于区间内任意两点，，当时，有，则称在上单调增加（如图１－４），区间称为单调递增区间；若，则称在上单调减少（如图１－５），区间称为单调递减区间．
单调增加与单调减少分别称为递增与递减．单调递增区间或单调递减区间统称为单调区间．
（2）函数的有界性
若存在正数，使得在区间上，则称在上有界．否则称为无界．
例如函数在区间内有，所以函数在内是有界的．
同学们总结出求函数定义域的基本原则
同学们各举一例
并阐述它们的主要用途，以及它们主要的应用途径
同学们总结：
什么样的函数具有反函数？
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
3函数的表示
常用的函数表示方法有表格法、图像法、解析法．
（1）将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫表格法，如三角函数表、对数表及许多的财务报表等．
（2）用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫图像法，它的特点是较直观．
（3）用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫解析法，如，等，它的特点是便于推理与演算．
三.小结与练习
本次课主要讲述了函数的定义及函数的有关性质，过去同学们对函数的了解一是模糊，二是错误的认识的太多，通过本次课的学习主要是让同学们知道我们为什么研究函数，函数对我们生活的帮助作用是什么，它的一些基本性质是什么？
特别是指数函数与对数函数在经济中应用非常广泛，如我们需求函数等。
所以同学们要对这四个函数重点掌握。
求函数的定义域解应使即
所以此函数的定义域为D=（2,5].
四.布置作业
课后练习P51、3、4
五.教学后记
在经济上常用的方法是什么？
为什么？
（报表实际上就是表格法，因为解析式得不到）
便练习便指导
教案案首
授课时间
2012年9月7日第2周星期五第5，6，7节
授课地点
2401
授课学时
3
授课内容
章节（单元、专题）
第一章函数
内容
初等函数
教学任务目标
知识目标
能力目标
了解初等函数的内容，以及它们的用途
通过对函数的学习，使同学在经济生活中，能够将有关经济模型用函数解析，便于掌握它们的规律
教学重点与难点
重点：
初等函数的特点
难点：
初等函数的常用用途
教学内容与
时间安排
1.复习导入（10分钟）
2.基本初等函数的概念及特点（40分钟）
3复合函数及初等函数（40分钟）
4.总结与练习（25分钟）
5.布置作业（5分钟）
教学方法与手段
1、方法：
讲授
2、教具：
几何辅助图形
3、是否多媒体
是（）否（√）
课件来源
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
一．复习导入
复习中学数学知识，学过的基本初等函数，引入新课题
二．讲授新内容
课题 初等函数
1.基本初等函数
常函数：
（c为常数）．
幂函数：
（为常数）．
指数函数：
（，且，a为常数）．
对数函数：
（，且，a为常数）．
三角函数：
，，，，，
常用幂函数：
指数函数
对数函数
常用对数函数，以10为底
自然对数函数，以无理数e为底
配合教师认真回忆中学阶段学习的函数名称和特点
回答问题：
常数函数的定义域？
图形特点？
幂函数的特点？
变量在什么位置？
指数函数在经济上的应用非常广泛，它与对数函数有什么关系？
我们经常听说一些经济问题以指数规律增长或降低
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
2.复合函数
定义设y是u的函数，u是x的函数，如果的值域或其部分包含于定义域中，则y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记为，其中x是自变量，u是中间变量．
例1设，，求，，．
解
例2指出下列复合函数的复合过程．
（1）
（2）
解
（1）是由，，和复合而成．
（2）是由，，，复合而成，其中是简单函数．
注意：
并非任何两个函数都可以复合．例如，和就不能复合，因为，而的定义域是．
3.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数
复合函数是不是就是基本初等函数的简单乘积？
复合关系一般是嵌套关系，不是简单的乘积关系
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
例如，，，等都是初等函数．而不满足有限次运算，不是一个解析式子表示，因此都不是初等函数．
一般情况下，把基本初等函数经过有限次四则运算所得到的函数称为简单函数．
在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数或简单函数的形式进行研究，所以应当学会怎样分析初等函数的结构．
例3设，试分析它的结构
三.小结与练习
本次课主要分析了常见的函数类型，同学们对常见的基本初等函数一定要掌握，特别是复合函数的分解过程要熟练掌握应用
将下列各题中的y表示成x的函数．
1、
（1），，；
（2），，；
（3），，．
2、分析下列函数的复合过程．
（1）
（2）
（3）（4）
四.布置作业
P12页1、2、3、4
五.教学后记
便练习便指导
谈练习后对这部分题目的感受
教案案首
（总第3号）
授课时间
2012年9月14日第3周星期五第5，6，7节
授课地点
2401
授课学时
3
授课内容
章节（单元、专题）
第一章函数
内容
利息贴现及常用经济函数
教学任务目标
知识目标
能力目标
了解常用经济函数的内容，以及它们的用途
通过对经济函数的学习，使同学在经济生活中，能够将有关经济模型用函数解析，便于掌握它们的规律
教学重点与难点
重点：
利息、贴现的算法
难点：
经济函数的常用用途
教学内容与
时间安排
1.复习导入（10分钟）
2.单利、复利与贴现的计算40分钟
3.需求与供给函数的分析40分钟
4.收入、成本与利润的计算30分钟
5.布置作业（5分钟）
教学方法与手段
1、方法：
讲授
2、教具：
几何辅助图形
3、是否多媒体
是（）否（√）
课件来源
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
一．复习导入
复习上次课函数的基本概念与性质，然后提出银行存钱利息问题，成本核算问题等引入新课题
二．讲授新内容
课题 利息贴现经济函数
1.利息、贴现
（1）单利计算公式
第年末的本利和为
（2）复利计算公式：
（3）贴现
债券或其他票据持有人，为了在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期间的利息后，得到所余金额的现金，就是贴现
（老师总结）
2.需求函数与供给函数
（启发大家）想象市场规律下需求量与价格之间存在什么样的关系，它们是不是函数关系呢？
（老师总结）简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．
（启发）供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．（老师总结）我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．
讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．
提出问题：
同学们与银行打交道最多是什么？
存款与取款，存款中最关心的是什么？
P为本金，r为年利率，学生推导：
第一年利息不计入本金为单利；第一年利息计入本金为复利
R是n年后到期价值，票据现值为P，同学们能否根据复利计算公式推导出来
需求量与价格应该具有怎样的关系？
供给量与价格应该具有怎样的关系？
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
表示需求量，表示价格，表示常数．
我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以，当然．而供给量应随着价格的增加而增加，所以，，因为当价格为零时，不会有供给量．
从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线．
我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超过时，供过于求；价格低于时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所
思考问题：
在需求函数的表达式中，为什么要有b>0？
答案因为表达式中的a取负值，而在合理的价格范围内，需求量应为正值，所以有b>0
经济学家怎样作呢？
一般经济学家是将价格P做为竖轴，需求量或供给量做为横轴，同学们可以自己画出讨论一下
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量．
3.成本与利润函数
成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：
C（q）=c0+C１（q）
这就是成本函数．其中总成本C（q）是产量q的函数，c0与产量无关，变动成本C１（q）也是产量q的函数．
我们在引入平均成本的概念：
这样就得到R=qp（q）
其中p（q）是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数
L（q）=R（q）-C（q）
相应地有平均利润函数的概念：
（1）L（q）>0盈利，
（2）L（q）<0亏损，（3）L（q）=0盈亏平衡
满足L（q）=0的q0称为盈亏平衡点（又称保本点）．
三.小结与练习
本次课的内容在经济分析中作用较大，特别是这些基本经济函数在市场规律中早以得到了验证，作为财会专业的学生更应该对这些函数了如之掌
四.布置作业
P14页1、2、3、4
五.教学后记
思考问题:
是不是产量越大利润越大呢？
便练习便指导
谈练习后对这部分题目的感受
教案案首
授课时间
2012年9月21日第4周星期五第5，6，7节
授课地点
2401
授课学时
3
授课内容
章节（单元、专题）
第二章极限与连续
内容
极限的概念
教学任务目标
知识目标
能力目标
通过对本节的学习，理解极限的概念，知道极限是怎样一个变化过程
通过对极限的学习，使同学理解在变化中认识事物的本质是怎样的一个逼近过程
教学重点与难点
重点：
数列与函数极限的理解
难点：
数列与函数极限的理解
教学内容与
时间安排
1.极限概念的引入20分钟
2.数列的极限40分钟
3.函数的极限40分钟
4.小结与练习25分钟
5.布置作业5分钟
教学方法与手段
1、方法：
讲授
2、教具：
几何辅助图形
3、是否多媒体
是（√）否（）
课件来源
自制
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
三.复习导入
复习高中数学数列的概念，讲述极限产生的历史背景（割圆述和庄子语）引入新课题
四.讲授新内容
课题 第一节 极限的概念
1.引入
【引例1】书上用圆内接正边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列（多边形的面积数列）
【引例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列：
，通项为。
看其变化趋势
2.总结定义：
当项数n无限增大时，通项无限接近一常数，对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题
3.收敛数列的有关性质：
定理1：
（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。
定理2.（有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即：
对于数列，若正数，对一切，有。
注：
本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。
例如数列是有界的（），但数列不收敛。
让同学们举例说明
4.自变量趋向有限值时函数的极限
与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值时的函数极限可理解为：
当时，（为某常数），即当时，与无限地接近，或说可任意小，
5.左、右极限
提出问题：
中学数学中无穷递缩等比数列问题，及庄子天下中提到的问题（见左边）
学生给出答案
提问：
如果不唯一，满足极限的定义吗？
有界一定收敛吗？
这无限逼近过程能否一个点一点的计算呢？
极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
在函数极限的定义中，是既从的左边（即从小于的方向）趋于，也从的右边（即从大于的方向）趋于。
但有时只能或需要从的某一侧趋于的极限。
如分段函数及在区间的端点处等等。
这样，就有必要引进单侧极限的定义
定理
6.自变量趋向无穷大时函数的极限
若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）
7.函数极限的性质
定理1：
（保号性）设，
（i）若，则，当时，。
（ii）若，必有。
设
，求。
解：
显然
因为，所以
三.小结与练习
注：
（1）在讨论函数极限时，一定离不开自变量的变化趋势；
（2）是否存在和在点处有无定义无关；
请同学们模仿上面函数极限的定义形式，给出当
时极限定义情况
函数在一点处有无极限与这一点的有无定义有关吗？
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
（3）可以验证，初等函数在其定义域内每点处的极限都存在，且等于该点的函数值；
（4）一般地
极限是一种函数的变化趋势，是动态变化过程中考查出来的，而不是一个点一个点的函数值算出来的。
分析函数的变化趋势，并求极限.
（1）；
（2）；
（3）；（4）
四.布置作业
随堂作业
1.试用图形说明：
不存在.
2.设，求在是的左、右极限，并说明 在点极限是否存在.
五.教学后记
先请同学们练习，然后再由老师讲解
教案案首
授课时间
2012年9月28日第5周星期五第5，6，7节
授课地点
2401
授课学时
3
授课内容
章节（单元、专题）
第二章极限与连续
内容
两个重要极限
教学任务目标
知识目标
能力目标
通过对本节的学习，掌握两个重要极限的计算方法
通过对极限的学习，使同学理解对数学式子的灵活变换可以解决许多问题
教学重点与难点
重点：
两个重要极限的理解
难点：
两个重要极限的应用
教学内容与
时间安排
1.极限运算法则20分钟
2.第一个重要极限30分钟
3.第二个重要极限30分钟
4.小结与练习30分钟
5.布置作业5分钟
教学方法与手段
1、方法：
讲授
2、教具：
几何辅助图形
3、是否多媒体
是（√）否（）
课件来源
自制
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
五.复习导入
讨论讨论函数的极限问题，如果按照定义将是非常麻烦的问题，在上一次课中我们也知道了某些函数的极限，能否利用这些已知的函数极限来运算出其它函数的极限以及重要形式的变换来解决相关问题的极限，引入新课题
六.讲授新内容
课题 两个重要极限
1.极限的四则运算法则
在某个变化过程中，变量分别以为极限，则
注意：
（1）法则中所说的某个变化过程中，是指这两个函数在同一个变化过程中；
（2）所说极限为A和B是指这两个数确切存在；
（3）商的极限为零不能直接用商的法则。
引理：
夹逼准则
如果函数满足下列条件：
（i）当时，有。
（ii）当时，有。
那么当时，的极限存在，且等于。
2.两个重要极限之一
第一个重要极限：
它的形式特点是什么？
提出问题：
如果遇到两个函数和差乘积商的极限问题怎么办？
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
第二个重要极限：
如何正确理解这两种重要极限的形式
例求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
求极限
解：
如何理解这两种形式的普遍意义？
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
设，求。
。
案例P为本金，r为年利率，如果一年计算一次，那么n年后本利和（复利）为
如果一年计两次息，每次利率为，n年后本利和
如果一年计m次利息如果随时计息，即，则n后本利和是多少？
要求是
四.小结与练习
从本次课来看，我们主要解决了极限的四则运算法则和两类形式的极限问题
和类型，如何正确化成这两种极限形式是非常重要的，需要一定的技巧，另外要正确理解这两种极限的重要形式
布置作业：
随堂练习，计算上述题目
五.教学后记
由同学们计算得出，然后与单利，复利相比较，看连续复利比原来有什么差别？
先请同学们练习，然后再由老师讲解
教案案首
（总第7号）
授课时间
2012年9月30日（原10月5日课程）第6周星期日第5，6，7节
授课地点
2401
授课学时
3
授课内容
章节（单元、专题）
第二章极限与连续
内容
无穷小与无穷大
教学任务目标
知识目标
能力目标
通过对本节的学习，理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系
通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题
教学重点与难点
重点：
无穷小与无穷大的理解
难点：
无穷小性质的利用
教学内容与
时间安排
1.无穷小的定义20分钟
2.无穷小的性质40分钟
3.无穷大的定义30分钟
4.小结与练习25分钟
5.布置作业5分钟
教学方法与手段
1、方法：
讲授
2、教具：
多媒体辅导教学
3、是否多媒体
是（√）否（）
课件来源
自制
教案纸
教
学
过
程
教师活动
学生学习活动
一．复习导入
对于函数极限为零的情况和无穷大的情况较为特殊，它是函数变化趋势的特殊情况，单独讨论将出现新的问题，引入新课题
二.讲授新内容
课题 无穷小及无穷小的比较
1.无穷小量
（1）定义
称当时，为无穷小量，简称无穷小.
无穷小量是一个特殊的变量，是极限为零的变量（是唯一的无穷小常量）
注：
谈无穷小量不能离开自变量的变化趋势；
不能将无穷小量与非常小常数混为一谈；
但零是唯一的无穷小常量（因为零是常量函数，而不管自变量怎样变化，它的极
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