平面几何经典难题及解答.docx
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平面几何经典难题及解答
经典难题
（一）
1、已知：
如图，0是半圆的圆心，CE是圆上的两点，GDIAB,EF
丄ABEG!
GO
求证：
GD=GF
2、
已知：
如图，P是正方形ABCD^—点,
求证：
△PBC是正三角形.
PA
3、
AA
如图，已知四边形ABGDAiBiGD都是正方形,
是AA、BB、CG、DD的中点.
求证：
四边形ABGD是正方形.
（初二）
4、
已知：
如图，在四边形ABCDK
AD-BG
1、
中点，ADBG的延长线交
求证：
/DENhZF.
已知：
△ABG中,H为垂心
丄BC于M
（1）求证：
AH=2OM
（2）若/BAG=60°,求证:
MN于E、
难题
（二）
PD
A
Ai
G
G
BM
G的
D
A2、
B
FB
、D2分别」
D
（各边高线的交点）—/O为外心，且\OM
MB
0作OALMN于A,
线，交圆于B、G及DE,直线EB及CD分别交野
2、设MN是圆0外一直线，过
AH=AO（初二）
0
G
求证：
A吐AQ（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，贝y由此可得以下命题:
设MN是圆0的弦，过MN的中点A任作两弦BCDE设CD
EB分别交MN于P、Q
求证：
AP=AQ（初二）
4、如图，分别以^ABC的AC和BC为一边，在△ABC的
N
O
B
1、
F.
2、
ACD审正方形CBFG点P是EF的中点.
求证:
求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半
题（三）
经典难
四边形ABCD^正方形,
CE=CF.（初二）
四边形ABC助正方形,
延长线于F.
求证：
AE=AF.（初二）-
F
DE//ACAE=A（AAE与CD相交于
（初二）
A
DE//AC且CE=CAK直线I
E
3、设P是正方形ABCD-边BC上的任
C
PF丄
求证：
PA=PF.（初二）
C
4、如图，PC切圆0于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AeA^fe
与直线P0相交于B、D.求证：
AB=DCBC=AD
经典难题（四）
1、已知：
△ABC是正三角形，P是三角形内一点;
B
C
=5.
求：
/APB的度数.（初二）
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且/PBA=ZPD
求证：
/PAB=ZPCB（初二）
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：
AB-CD^ADi^BC^A
B
三）
4、平行四边形ABC冲，设E、F分别是BC
相交于P,且
B
B
C
AB上的一点，AE
AE=CF.求证:
/DPA=/DPC（初二）
经典难题（五）
D
1、设P是边长为
1的正△ABC内任一点，L=PA^PB+PC求证:
2、已知：
P是边长为1的正方形ABCC内的一点，求PA^PB+PC的最小值.
2.如下图做^DGC使与^ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△APD^^CGP得出PC二AD二DC,/DCG/PCG=15°
所以/DCP=30，从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接QF与AE并延长相交于Q点,连接EB并延长交QQ于H点，连接FB并延长交AQ于G点，
由A2E¥AD¥BCi=FB2,EB¥AB=2BC二Cl，又/GFQ:
+Q=9（C和
/GEB2+ZQ=9（3,所以/GE52=ZGFC又/BFG二/AEB,
可得△BFCAEB，所以AB二BG,
又/GFQ£H^F=9C0和/GFQhEBA,
从而可得/ABC2=9Cc,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形ABGD是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q连接QN和QM所以可得/QMFKF,/QNM=
/DEN和/QMN/QNM从而得出/DEN=ZF。
经典难题
（二）
1.
（1）延长AD到F连BF,做OGLAF,
又/F=ZACB^BHD
可得BH=BF从而可得HD二DF又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2（GH+HD）=2OM
⑵连接OBOC既得/BOC=120
从而可得/bom=60
所以可得OB=2OM=AH二AO,
得证。
3.作OF丄CDOGLbe连接OPOAOFAF,OGAGOQ
+工AD_AC_CD_2FD_FD
由于====,
ABAEBE2BGBG
由此可得^ADF^AABG从而可得/AFC2AGE
又因为PFOA/AOPhAOQ从而可得AP二AQ
4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FHo可得PQ=EG+FH。
2
由^EGA2AAIC,可得EG二Al由^BFH^ACBI,可得FH二Bl。
从而可得PQ=AI+BI=AB,从而得证。
22
经典难题（三）
1.顺时针旋转△ADE到^ABG连接CG.
由于/ABGdADE=90+450=1350
从而可得B,GD在一条直线上，可得△AGB^ACGB
推出AE=AG=AC=G（可得^AGC为等边三角形。
/AGB=30既得/EAC=30,从而可得/AEC=75。
又/EFChDFA=45+3O0=750.
可证：
CE=CF
2.连接bd乍CHLde可得四边形CGDI是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH
可得/CEH=30,所以/CAE=^CEA=^AED=l5,
又/fae=9^0+450+i50=15O0,
从而可知道/F=150，从而得出AE=AF
3.作FG±cdFE丄BE可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y,BP二X,CE=Z,可得PC二Y-X。
tan'BAP=论EPF=Y=Y7Y77，可得yz=xy-X+x乙
即Z（Y-X）=X（Y-X），既得X=Z，得出△ABP^APEF,
得到PA=PF，得证。
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP600，连接PQ,则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以/APB=150。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE//DCBE//PC.
可以得出/ABPWADP=^AEP可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得/BAPWBEPhBCP得证。
3.在BD取一点E,使/BCE=/ACD既得△BEBAADC可得:
匹二匹，即ad?
bc=be?
acBCAC
又/ACB=/DCE可得△ABBADEC既得
JAB二匹，即AB?
CD=DE?
AC
ACDC
由①+②可得：
AB?
CD+AD?
BC=AC（BE+DE）=A（BD，得证。
4.过D作AQIAE，AGLCF，由Svade=Syabc^=Svdfc，可得：
2
AEgPQ=AEgPQ，由ae=FC
22
可得DQ=D，可得/DPA=/DPC（角平分线逆定理）。
经典难题（五）
1.
（1）顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+IE使最小只要APPEEF在一条
直线上,
即如下图：
可得最小L=
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。
由于ZAPD乂ATP士ADP
推出AD>AP
又BP+DP>BP
②
和PF+FC>PC
③
又DF=AF
④
由①②③④可得：
最大L<2;
由
（1）和
（2）既得:
2.顺时针旋转△BPC60，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+要I使最小只要AP,PEEF在一条直线上,
即如下图：
可得最小PA+PB+PC=AF
既得AF=
（¥+1）2
）2+73二
4+2^3
2
J（爲+1）2
处+1）
2
既得正方形边长L=
ga=）5+2Z2ga
4.在AB上找一点F,使/BCF=60,
连接EF,DG既得△BGC为等边三角形,
得至yBE=CF,FG=GE。
推出：
△FGE为等边三角形
，可得/AFE=80,
DFG=40
又BD=BC=BG既得/BGD=80,既得/DGF=40
推得：
DF=DG，得至到:
△DFE^ADGE,
从而推得：
/FED玄BED=30。
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