平面几何经典难题及解答.docx

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平面几何经典难题及解答

经典难题

（一）

1、已知：

如图，0是半圆的圆心，CE是圆上的两点，GDIAB,EF

丄ABEG!

GO

求证：

GD=GF

2、

已知：

如图，P是正方形ABCD^—点,

求证：

△PBC是正三角形.

PA

3、

AA

如图，已知四边形ABGDAiBiGD都是正方形,

是AA、BB、CG、DD的中点.

求证：

四边形ABGD是正方形.

（初二）

4、

已知：

如图，在四边形ABCDK

AD-BG

1、

中点，ADBG的延长线交

求证：

/DENhZF.

已知：

△ABG中,H为垂心

丄BC于M

（1）求证：

AH=2OM

（2）若/BAG=60°,求证:

MN于E、

难题

（二）

PD

A

Ai

G

G

BM

G的

D

A2、

B

FB

、D2分别」

D

（各边高线的交点）—/O为外心，且\OM

MB

0作OALMN于A,

线，交圆于B、G及DE,直线EB及CD分别交野

2、设MN是圆0外一直线，过

AH=AO（初二）

0

G

求证：

A吐AQ（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，贝y由此可得以下命题:

设MN是圆0的弦，过MN的中点A任作两弦BCDE设CD

EB分别交MN于P、Q

求证：

AP=AQ（初二）

4、如图，分别以^ABC的AC和BC为一边，在△ABC的

N

O

B

1、

F.

2、

ACD审正方形CBFG点P是EF的中点.

求证:

求证:

点P到边AB的距离等于AB的一半

题（三）

经典难

四边形ABCD^正方形,

CE=CF.（初二）

四边形ABC助正方形,

延长线于F.

求证：

AE=AF.（初二）-

F

DE//ACAE=A（AAE与CD相交于

（初二）

A

DE//AC且CE=CAK直线I

E

3、设P是正方形ABCD-边BC上的任

C

PF丄

求证：

PA=PF.（初二）

C

4、如图，PC切圆0于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AeA^fe

与直线P0相交于B、D.求证：

AB=DCBC=AD

经典难题（四）

1、已知：

△ABC是正三角形，P是三角形内一点;

B

C

=5.

求：

/APB的度数.（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且/PBA=ZPD

求证：

/PAB=ZPCB（初二）

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：

AB-CD^ADi^BC^A

B

三）

4、平行四边形ABC冲，设E、F分别是BC

相交于P,且

B

B

C

AB上的一点，AE

AE=CF.求证:

/DPA=/DPC（初二）

经典难题（五）

D

1、设P是边长为

1的正△ABC内任一点，L=PA^PB+PC求证:

2、已知：

P是边长为1的正方形ABCC内的一点，求PA^PB+PC的最小值.

2.如下图做^DGC使与^ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得

△APD^^CGP得出PC二AD二DC,/DCG/PCG=15°

所以/DCP=30，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接QF与AE并延长相交于Q点,连接EB并延长交QQ于H点，连接FB并延长交AQ于G点，

由A2E¥AD¥BCi=FB2,EB¥AB=2BC二Cl，又/GFQ:

+Q=9（C和

/GEB2+ZQ=9（3,所以/GE52=ZGFC又/BFG二/AEB,

可得△BFCAEB，所以AB二BG,

又/GFQ£H^F=9C0和/GFQhEBA,

从而可得/ABC2=9Cc,

同理可得其他边垂直且相等,

从而得出四边形ABGD是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q连接QN和QM所以可得/QMFKF,/QNM=

/DEN和/QMN/QNM从而得出/DEN=ZF。

经典难题

（二）

1.

（1）延长AD到F连BF,做OGLAF,

又/F=ZACB^BHD

可得BH=BF从而可得HD二DF又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2（GH+HD）=2OM

⑵连接OBOC既得/BOC=120

从而可得/bom=60

所以可得OB=2OM=AH二AO,

得证。

3.作OF丄CDOGLbe连接OPOAOFAF,OGAGOQ

+工AD_AC_CD_2FD_FD

由于====,

ABAEBE2BGBG

由此可得^ADF^AABG从而可得/AFC2AGE

又因为PFOA

/AOPhAOQ从而可得AP二AQ

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FHo可得PQ=EG+FH。

2

由^EGA2AAIC,可得EG二Al由^BFH^ACBI,可得FH二Bl。

从而可得PQ=AI+BI=AB,从而得证。

22

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE到^ABG连接CG.

由于/ABGdADE=90+450=1350

从而可得B,GD在一条直线上，可得△AGB^ACGB

推出AE=AG=AC=G（可得^AGC为等边三角形。

/AGB=30既得/EAC=30,从而可得/AEC=75。

又/EFChDFA=45+3O0=750.

可证：

CE=CF

2.连接bd乍CHLde可得四边形CGDI是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH

可得/CEH=30,所以/CAE=^CEA=^AED=l5,

又/fae=9^0+450+i50=15O0,

从而可知道/F=150，从而得出AE=AF

3.作FG±cdFE丄BE可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y,BP二X,CE=Z,可得PC二Y-X。

tan'BAP=论EPF=Y=Y7Y77，可得yz=xy-X+x乙

即Z（Y-X）=X（Y-X），既得X=Z，得出△ABP^APEF,

得到PA=PF，得证。

经典难题（四）

1.顺时针旋转△ABP600，连接PQ,则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以/APB=150。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE//DCBE//PC.

可以得出/ABPWADP=^AEP可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得/BAPWBEPhBCP得证。

3.在BD取一点E,使/BCE=/ACD既得△BEBAADC可得:

匹二匹，即ad?

bc=be?

acBCAC

又/ACB=/DCE可得△ABBADEC既得

JAB二匹，即AB?

CD=DE?

AC

ACDC

由①+②可得：

AB?

CD+AD?

BC=AC（BE+DE）=A（BD，得证。

4.过D作AQIAE，AGLCF，由Svade=Syabc^=Svdfc，可得：

2

AEgPQ=AEgPQ，由ae=FC

22

可得DQ=D，可得/DPA=/DPC（角平分线逆定理）。

经典难题（五）

1.

（1）顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+IE使最小只要APPEEF在一条

直线上,

即如下图：

可得最小L=

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。

由于ZAPD乂ATP士ADP

推出AD>AP

又BP+DP>BP

②

和PF+FC>PC

③

又DF=AF

④

由①②③④可得：

最大L<2;

由

（1）和

（2）既得:

2.顺时针旋转△BPC60，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+要I使最小只要AP,PEEF在一条直线上,

即如下图：

可得最小PA+PB+PC=AF

既得AF=

（¥+1）2

）2+73二

4+2^3

2

J（爲+1）2

处+1）

2

既得正方形边长L=

ga=）5+2Z2ga

4.在AB上找一点F,使/BCF=60,

连接EF,DG既得△BGC为等边三角形,

得至yBE=CF,FG=GE。

推出：

△FGE为等边三角形

，可得/AFE=80,

DFG=40

又BD=BC=BG既得/BGD=80,既得/DGF=40

推得：

DF=DG，得至到:

△DFE^ADGE,

从而推得：

/FED玄BED=30。