初二数学 知识点.docx

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初二数学知识点

初二数学（上）应知应会的知识点

因式分解

1.因式分解：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：

因式分解与乘法是相反的两个转化.

2．因式分解的方法：

常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.

3．公因式的确定：

系数的最大公约数•相同因式的最低次幂.

注意公式：

a+b=b+a；a-b=-（b-a）；（a-b）2=（b-a）2；（a-b）3=-（b-a）3.

4．因式分解的公式：

（1）平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）完全平方公式：

a2+2ab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.

5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：

一提取、二公式、三分组、四十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

6．因式分解的解题技巧：

（1）换位整理，加括号或去括号整理；

（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.

7．完全平方式：

能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“x2+px+q是完全平方式”.

分式

1．分式：

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式.

2．有理式：

整式与分式统称有理式；即.

3．对于分式的两个重要判断：

（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；

（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：

若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.

4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

（2）注意：

在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；

即

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.

5．分式的约分：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：

分式约分前经常需要先因式分解.

6．最简分式：

一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：

分式计算的最后结果要求化为最简分式.

7．分式的乘除法法则：

.

8．分式的乘方：

.

9．负整指数计算法则：

（1）公式：

a0=1（a≠0）,a-n=（a≠0）；

（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

（3）公式：

，；

（4）公式：

（-1）-2=1，（-1）-3=-1.

10．分式的通分：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：

分式的通分前要先确定最简公分母.

11．最简公分母的确定：

系数的最小公倍数•相同因式的最高次幂.

12．同分母与异分母的分式加减法法则：

.

13．含有字母系数的一元一次方程：

在方程ax+b=0（a≠0）中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：

在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.

14．公式变形：

把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：

公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：

字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.

15．分式方程：

分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：

以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.

16．分式方程的增根：

在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：

在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.

17．分式方程验增根的方法：

把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：

由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.

18．分式方程的应用：

列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.

数的开方

1．平方根的定义：

若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：

（1）a叫x的平方数，

（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.

2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数；

（2）0的平方根还是0；

（3）负数没有平方根.

3．平方根的表示方法：

a的平方根表示为和.注意：

可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.

4．算术平方根：

正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为.注意：

0的算术平方根还是0.

5．三个重要非负数：

a2≥0,|a|≥0，≥0.注意：

非负数之和为0，说明它们都是0.

6．两个重要公式：

（1）;（a≥0）

（2）.

7．立方根的定义：

若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：

（1）a叫x的立方数；

（2）a的立方根表示为；即把a开三次方.

8．立方根的性质：

（1）正数的立方根是一个正数；

（2）0的立方根还是0；

（3）负数的立方根是一个负数.

9．立方根的特性：

.

和开方开不尽的数是无理数.10．无理数：

无限不循环小数叫做无理数.注意：

11．实数：

有理数和无理数统称实数.

12．实数的分类：

（1）

（2）.

13．数轴的性质：

数轴上的点与实数一一对应.

14．无理数的近似值：

实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：

（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；

（2）要求记忆：

.

三角形

几何A级概念：

（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1．三角形的角平分线定义：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）几何表达式举例：

（1）∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

（2）∵∠BAD=∠CAD

∴AD是角平分线

2．三角形的中线定义：

在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AD是三角形的中线

∴BD=CD

（2）∵BD=CD

∴AD是三角形的中线

3．三角形的高线定义：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.

（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AD是ΔABC的高

∴∠ADB=90°

（2）∵∠ADB=90°

∴AD是ΔABC的高

※4．三角形的三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AB+BC＞AC

∴……………

（2）∵AB-BC＜AC

∴……………

5．等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC是等腰三角形

∴AB=AC

（2）∵AB=AC

∴ΔABC是等腰三角形

6．等边三角形的定义：

有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC是等边三角形

∴AB=BC=AC

（2）∵AB=BC=AC

∴ΔABC是等边三角形

7．三角形的内角和定理及推论：

（1）三角形的内角和180°；（如图）

（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）

※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

（1）

（2）（3）（4）几何表达式举例：

（1）∵∠A+∠B+∠C=180°

∴…………………

（2）∵∠C=90°

∴∠A+∠B=90°

（3）∵∠ACD=∠A+∠B

∴…………………

（4）∵∠ACD＞∠A

∴…………………

8．直角三角形的定义：

有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵∠C=90°

∴ΔABC是直角三角形

（2）∵ΔABC是直角三角形

∴∠C=90°

9．等腰直角三角形的定义：

两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵∠C=90°CA=CB

∴ΔABC是等腰直角三角形

（2）∵ΔABC是等腰直角三角形

∴∠C=90°CA=CB

10．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；（如图）

（2）全等三角形的对应角相等.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC≌ΔEFG

∴AB=EF………

（2）∵ΔABC≌ΔEFG

∴∠A=∠E………

11．全等三角形的判定：

“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.（如图）

（1）

（2）

（3）几何表达式举例：

（1）∵AB=EF

∵∠B=∠F

又∵BC=FG

∴ΔABC≌ΔEFG

（2）………………

（3）在RtΔABC和RtΔEFG中

∵AB=EF

又∵AC=EG

∴RtΔABC≌RtΔEFG

12．角平分线的性质定理及逆定理：

（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）

（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵OC平分∠AOB

又∵CD⊥OACE⊥OB

∴CD=CE

（2）∵CD⊥OACE⊥OB

又∵CD=CE

∴OC是角平分线

13．线段垂直平分线的定义：

垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵EF垂直平分AB

∴EF⊥ABOA=OB

（2）∵EF⊥ABOA=OB

∴EF是AB的垂直平分线

14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：

（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）

（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵MN是线段AB的垂直平分线

∴PA=PB

（2）∵PA=PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上

15．等腰三角形的性质定理及推论：

（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）

（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）

（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）

（1）

（2）（3）几何表达式举例：

（1）∵AB=AC

∴∠B=∠C

（2）∵AB=AC

又∵∠BAD=∠CAD

∴BD=CD

AD⊥BC

………………

（3）∵ΔABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°

16．等腰三角形的判定定理及推论：

（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）

（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）

（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）

（1）

（2）（3）（4）几何表达式举例：

（1）∵∠B=∠C

∴AB=AC

（2）∵∠A=∠B=∠C

∴ΔABC是等边三角形

（3）∵∠A=60°

又∵AB=AC

∴ΔABC是等边三角形

（4）∵∠C=90°∠B=30°

∴AC=AB

17．关于轴对称的定理

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴ΔABC≌ΔEGF

（2）∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴OA=OEMN⊥AE

18．勾股定理及逆定理：

（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）

（2）如果三角形的三边长有下面关系:

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC是直角三角形

∴a2+b2=c2

（2）∵a2+b2=c2

∴ΔABC是直角三角形

19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：

（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）

（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC是直角三角形

∵D是AB的中点

∴CD=AB

（2）∵CD=AD=BD

∴ΔABC是直角三角形

几何B级概念：

（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一基本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.

二常识：

1．三角形中，第三边长的判断：

另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：

三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：

若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD•AB=BE•CA.

4．三角形能否成立的条件是：

最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否成立的条件是：

最长边的平方等于另两边的平方和.

6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：

（1）AC•CB=CD•AB；

（2）∠1=∠B，∠2=∠A.

8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.

9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.

12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.

13．几何习题经常用四种方法进行分析：

（1）分析综合法；

（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：

（1）作线段等于已知线段；

（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：

每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：

（1）估画图；

（2）工具画图；（3）尺规画图.

※18．几何重要图形和辅助线：

（1）选取和作辅助线的原则：

①构造特殊图形，使可用的定理增加；

②一举多得；

③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；

④作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）

①在BA上截取BE=BC构造全等，转移线段和角；

②过D点作DE‖BC交AB于E，构造等腰三角形.

（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）

①过D点作DE‖AC交AB于E，构造中位线；

②延长AD到E，使DE=AD

连结CE构造全等，转移线段和角；

③∵AD是中线

∴SΔABD=SΔADC

（等底等高的三角形等面积）

（4）已知等腰三角形ABC中，AB=AC

①作等腰三角形ABC底边的中线AD

（顶角的平分线或底边的高）构造全

等三角形；

②作等腰三角形ABC一边的平行线DE，构造

新的等腰三角形.

（5）其它

①作等边三角形ABC

一边的平行线DE，构造新的等边三角形；

②作CE‖AB，转移角；

③延长BD与AC交于E，不规则图形转化为规则图形；

④多边形转化为三角形；

⑤延长BC到D，使CD=BC，连结AD，直角三角形转化为等腰三角形；

⑥若a‖b,AC,BC是角平

分线,则∠C=90°.

第一章一次函数

1函数的定义，函数的定义域、值域、表达式，函数的图像

2一次函数和正比例函数，包括他们的表达式、增减性、图像

3从函数的观点看方程、方程组和不等式

第二章数据的描述

1了解几种常见的统计图表：

条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图，了解各种图表的特点

条形图特点：

（1）能够显示出每组中的具体数据；

（2）易于比较数据间的差别

扇形图的特点：

（1）用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比；

（2）易于显示每组数据相对与总数的大小

折线图的特点；

易于显示数据的变化趋势

直方图的特点：

（1）能够显示各组频数分布的情况；

（2）易于显示各组之间频数的差别

2会用各种统计图表示出一些实际的问题

第三章全等三角形

1全等三角形的性质：

全等三角形的对应边、对应角相等

2全等三角形的判定

边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理

3角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等；

到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

第四章轴对称

1轴对称图形和关于直线对称的两个图形

2轴对称的性质

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

3用坐标表示轴对称

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y），关于y轴对称的点的坐标是（-x,y），关于原点对称的点的坐标是（-x,-y）.

4等腰三角形

等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一）

一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。

（等角对等边）

5等边三角形的性质和判定

等边三角形的三个内角都相等，都等于60度；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；

推论：

直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。

在三角形中，大角对大边，大边对大角。

第五章整式

1整式定义、同类项及其合并

2整式的加减

3整式的乘法

（1）同底数幂的乘法：

（2）幂的乘方

（3）积的乘方

（4）整式的乘法

4乘法公式

（1）平方差公式

（2）完全平方公式

5整式的除法

（1）同底数幂的除法

（2）整式的除法

6因式分解

（1）提共因式法

（2）公式法

（3）十字相乘法

初二下册知识点

第一章分式

1分式及其基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变

2分式的运算

（1）分式的乘除

乘法法则：

分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母

除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（2）分式的加减

加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减

3整数指数幂的加减乘除法

4分式方程及其解法

第二章反比例函数

1反比例函数的表达式、图像、性质

图像：

双曲线

表达式：

y=k/x（k不为0）

性质：

两支的增减性相同；

2反比例函数在实际问题中的应用

第三章勾股定理

1勾股定理：

直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方

2勾股定理的逆定理：

如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

第四章四边形

1平行四边形

性质：

对边相等；对角相等；对角线互相平分。

判定：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：

三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

2特殊的平行四边形：

矩形、菱形、正方形

（1）矩形

性质：

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等；

矩形具有平行四边形的所有性质

判定：

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

推论：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（2）菱形

性质：

菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形具有平行四边形的一切性质

判定：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四边相等的四边形是菱形。

（3）正方形：

既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。

3梯形：

直角梯形和等腰梯形

等腰梯形：

等腰梯形同一底边上的两个角相等；

等腰梯形的两条对角线相等；

同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

第五章数据的分析

加权平均数、中位数、众数、极差、方差

（一）运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：

a2-b2=（a+b）（a-b）

a2+2ab+b2=（a+b）2

a2-2ab+b2=（a-b）2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式

1．平方差公式

（1）式子：

a2-b2=（a+b）（a-b）

（2）语言：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解

1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式

（1）把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：

a2+2ab+b2=（a+b）2

a2-2ab+b2=（a-b）2

这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（