优化课堂高中数学2.3空间直角坐标系练习北师大版必修2.doc
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【优化课堂】2016秋高中数学2.3空间直角坐标系练习北师大版必修2
[A 基础达标]
1．若P（a，b，c）既在平面xOy内，又在平面yOz内，则一定有（ ）
A．a＝b＝0 B．a＝c＝0
C．b＝c＝0 D．a＝b＝c＝0
解析：
选B．平面xOy内的点，z坐标为0；平面yOz内的点，x坐标为0.
2．在空间直角坐标系中，设A（1，2，a），B（2，3，4），若|AB|＝，则实数a的值是（ ）
A．3或5 B．－3或－5
C．3或－5 D．－3或5
解析：
选A.由已知得
＝，解得a＝3或a＝5.
3．若△ABC的顶点坐标分别为A（2，3，1），B（4，1，－2），C（6，3，7），则△ABC的重心坐标为（ ）
A. B．
C. D．
解析：
选B．设三角形的三个顶点坐标分别为A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3），其重心坐标为
，故所求重心坐标为.
4．已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：
选C.|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.
所以△ABC为直角三角形．
5．不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A（1，0，4），B（3，－2，6），则该正方体的棱长等于（ ）
A．1 B．
C．2 D．
解析：
选C.依题意，正方体的对角线的长为|AB|＝＝2，设正方体的棱长为a，则有a＝2，解得a＝2.
6．已知点A（－3，1，4），B（5，－3，－6），则点B关于点A的对称点C的坐标为________．
解析：
设C点的坐标为（x，y，z），
则，解得.
则C点的坐标为（－11，5，14）．
答案：
（－11，5，14）
7．设点P在x轴上，它到P1（0，，3）的距离为到点P2（0，1，－1）的距离的两倍，则点P的坐标为________．
解析：
因为点P在x轴上，
所以设点P的坐标为（x，0，0）．
由题意|PP1|＝2|PP2|，
所以
＝2，
解得x＝±1.所以所求点的坐标为（1，0，0）或（－1，0，0）．
答案：
（1，0，0）或（－1，0，0）
8．在空间直角坐标系中，点M（x，y，z）满足x2＋y2＋z2＝1，则M的轨迹是________________．
解析：
由x2＋y2＋z2＝1，
得＝1，
即动点M到定点O（坐标原点）的距离为常数1.
所以M的轨迹是以原点O为球心，半径为1的球面．
答案：
以原点O为球心、半径为1的球面
9．在三棱锥SABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，且SA＝AB＝AC＝a，D为BC的中点，E为SD的中点，建立适当的坐标系，求点S，A，B，C，D，E的坐标．
解：
因为在三棱锥SABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，所以以点A为坐标原点，AB，AC，AS所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为SA＝AB＝AC＝a，D为BC的中点，所以A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），S（0，0，a），D，连接AD，
因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，则有平面SAD⊥平面ABC，交线为AD，过点E作EF⊥AD，垂足为F，则EF⊥平面ABC.
因为E为SD的中点，所以F为AD的中点，所以EF＝AS，
所以E，
即点S（0，0，a），A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D，E.
10.在河的一侧有一塔|CD|＝5m，河宽|BC|＝3m，另一侧有点A，|AB|＝4m，如图，求A与塔顶D的距离|AD|.
解：
以C点为原点，CB、CD、CM所在直线为x轴、z轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则A（3，－4，0），D（0，0，5）．
所以|AD|
＝
＝5，即A到塔顶D的距离是5m.
[B 能力提升]
1.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOA′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为（ ）
A.a B．a
C．a D．a
解析：
选B．因为A′（a，0，a），C（0，a，0），
E点坐标为，
而F.
所以|EF|＝＝a，所以选B．
2．已知x，y，z满足方程C：
（x－3）2＋（y－4）2＋（z＋5）2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：
x2＋y2＋z2表示坐标原点（0，0，0）到点（x，y，z）的距离的平方，
则点（0，0，0）到（3，4，－5）的距离d＝＝5，
则x2＋y2＋z2的最小值为（5－）2＝（4）2＝32.
答案：
32
3．在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问：
（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？
若存在，试求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
解：
（1）假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
因M在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|＝|MB|，可得＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由
（1）可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
因为|MA|
＝
＝，
|AB|＝
＝，
于是＝，解得y＝±.
故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，且点M坐标为（0，，0）或（0，－，0）．
4.（选做题）已知直三棱柱ABCA1B1C1（侧棱与底面垂直）中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图所示，建立空间直角坐标系．
（1）在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；
（2）在线段MN上是否存在一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请予以说明．
解：
（1）因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等．
又A（2，0，0），B（0，4，0），设点P坐标为（1，2，m），
由|PA|＝|AB|得，
＝，
所以m2＝15.
因为m∈[0，4]，所以m＝，
故平面ABB1A1内的点P（1，2，）使得△ABP为等边三角形．
（2）设MN上的点Q（0，2，n）满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，
所以|QF|＝|AB|.又F（1，2，0），
则
＝，
整理得，＝，所以n2＝4.
因为n∈[0，4]，所以n＝2.
故在MN上存在点Q（0，2，2）使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．
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