中考数学易错题精选反比例函数练习题及答案docx.docx
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中考数学易错题精选-反比例函数练习题及答案
一、反比例函数
1．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），
D（3，3）．
（1）点C的坐标________；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，
m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若
（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，
使得S△PEF=S△CEF，求点P的坐标．
【答案】
（1）（3，0）
（2）解：
∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），
设直线AC的解析式为y=ax+b，
则，解得：
，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+．
∵点E（2，m）在直线AC上，
∴m=﹣×2+=，
∴点E（2，）．
∵反比例函数y=的图象经过点E，
∴k=2×=3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：
延长FC至M，使CM=
CF，连接EM，则S△
EFM=
△
）．
SEFC，M（3，﹣0.5
在y=中，当x=3时，y=1，
∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．
设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
∴，解得，
∴y=﹣x+．
设直线PM的解析式为y=﹣x+c，
代入M（3，﹣0.5），得：
c=1，
∴y=﹣x+1．
当x=1时，y=0.5，
∴点P（1，0.5）．
同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．
【解析】【解答】解：
（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C（3，0）．
故答案为（3，0）；
【分析】
（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；
（2）由矩形的
对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定
出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的
解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解
析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接
EM，则S△EFM=S△EFC，M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F
的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐B
标．
2．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于
y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A
tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．
A，B两点，与
的横坐标是1，
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABH面积．
【答案】
（1）解：
∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，
∴CO=2，即C（0，2），
把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，
，解得，
∴一次函数解析式为y=2x+2，
∵点A的横坐标是1，
∴当x=1时，y=4，即A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y=，可得k=4，
∴反比例函数解析式为y=
（2）解：
解方程组
，可得
或
，
∴B（﹣2，﹣2），
又∵A（1，4），BH⊥y
轴，
∴△ABH面=×（2×4+2）=6．
【解析】【分析】
（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐，再把D点坐代入直解析式，
可求出一次函数解析式，再由直解析式求出A坐，代入双曲解析式，可求出双曲
解析式；
（2）△ABH面可以BH底，高=yA-yB=4-（-2）=6.
3．如，四形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、⋯、An﹣1PnAnBn都是正方形，角
OA1、
AA、AA、⋯、A
A都在y上（n≥1的整数），点
P（x
，y），点P（x
2
，
1223
n﹣1n
11
1
2
y2），⋯，Pn（xn，yn）在反比例函数y=（x＞0）的象上，并已知B1（1，1）．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）求点P2和点P3的坐；
（3）由
（1）、
（2）的果或律猜想并直接写出：
△PnBnO的面________，点
Pn的坐________（用含
【答案】
（1）解：
在正方形
B1与P1关于y称，∵B1（1，1），
∴P1（1，1）．
n的式子表示）．
OP1A1B1中，OA1是角，
k=1×1=1，即反比例函数解析式y=
（2）解：
接P2B2、P3B3，分交y于点E、F，
又点P1的坐（1，1），
∴OA1=2，
点P2的坐（a，a+2），
代入y=得a=-1，
故点P2的坐（
-1，
+1），
A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，
点P3的坐（b，b+2），
代入y=（>0）可得b=
-
，
故点P3的坐（
-，
+）
（3）1；（-
，
+
）
【解析】【解答】解：
（3）∵
=2
=2×=1，
=2
=2×=1，⋯
∴△PnBnO的面
1，
由P1（1，1）、P2（
1，
+1）、P3（
，
+
）知点Pn的坐（
，+
），
故答案：
1、（
，+
）．
【分析】
（1）由四形OP11
1
1
1
1
AB正方形且
OA是角知
B
与P关于y称，得出
点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；
（2）接P2B2、P3B3，分交y于点E、F，由点P1坐及正方形的性知
OA1=2，
P2的坐（a，a+2），代入解析式求得a的即可，同理可得点
P3的坐；
（3）先分求得S△P1B1O、S△P2B2O的，然后找出其中的律，最后依据律行算即可.
4．抛物y=+x+m的点在直y=x+3上，点F（2，2）的直交抛物于点
M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA?
PB=，求点M的坐标．
【答案】
（1）解：
y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）
∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）
∵顶点在直线y=x+3上，
∴﹣2+3=m﹣1，
得m=2；
（2）解：
过点F作FC⊥NB于点C，
∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为：
a2+a+2，
即点N（a，a2+a+2）
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，
∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，
=（a2+a）2+（a2+4a）+4，
而NB2=（a2+a+2）2，
=（a2+a）2+（a2+4a）+4
∴NF2=NB2，
NF=NB
（3）解：
连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由
（2）的思路知，MF=MA，
∴∠MAF=∠MFA，
∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，
∴MA∥NB，
∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360，°
∴2∠MAF+2∠NBF=180，°∠MAF+∠NBF=90，°∵∠MAB+∠NBA=180，°
∴∠FBA+∠FAB=90，°又∵∠FAB+∠MAF=90°，
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，
又∵∠FPA=∠BPF，
∴△PFA∽△PBF，
∴=，PF2=PA×PB=，
过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，
PG==，
∴PO=PG+GO=，
∴P（﹣，0）
设直线PF：
y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，
解得k=，b=，
∴直线PF：
y=x+，
解方程x2+x+2=x+，
得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），
当x=﹣3时，y=，
∴M（﹣3，）．
【解析】【分析】
（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线
y=x+3上，建立方程求出m的值。
（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在
Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，用含a的代数式分别表示出进而得出
NF2、NB2，即可得出到NF=NB。
（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由
（2）的思路得出MF=MA，
然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?
PB的值转化为
PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。
5．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等
于3的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．
【答案】
（1）解：
由题意知，点A（a，），B（b，﹣），
∵AB∥x轴，
∴，
∴a=﹣b；
∴AB=a﹣b=2a，
∴S△OAB=?
2a?
=3
（2）解：
由
（1）知，点A（a，），B（b，﹣），
222222
∴OA=a+（），OB=b+（﹣），
∴OA=OB，
∴OA2=OB2，
∴a2+（）2=b2+（﹣）2，
∴a2﹣b2=（）2﹣（）2，
∴（a+b）（a﹣b）=（+）（﹣）=，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，a﹣b≠0，
∵a+b≠0，
∴1=，
∴ab=3（舍）或ab=﹣3，
即：
ab的值为﹣3；
（3）解：
对大于或等于
3的任意实数a，CD边与函数y1=
（x＞0）的图象都有交点．
理由：
如图，
∵a≥3，AC=2，
∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，
∴直线CD一定与函数y1=（x＞0）的图象有交点，
∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，）的左上方，
∴C（a﹣2，），
∴D（a﹣2，+2），
设直线CD与函数y1=（x＞0）相交于点F，
∴F（a﹣2，），
∴FC=﹣=，
∴2﹣FC=2﹣
=
，
∵a≥3，
∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，
∴≥0，
∴2﹣FC≥0，
∴FC≤2，
∴点F在线段CD上，
即：
对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点．
【解析】【分析】
（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可
得出结论；
（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出
直线CD和函数
出FC，再判断
y1=
FC与
（x＞0）必有交点，根据点2的大小即可．
A的坐标确定出点
C，F的坐标，进而得
6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函
数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，
OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接
OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
【答案】
（1）解：
∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90．°
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=，
∴CE=BE?
tan∠ABO=6×=3，
结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣
）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，
∴OA=OB?
tan∠ABO=4×=2．
∵S△BAF=AF?
OB=（OA+OF）?
OB=（2+）×4=4+．
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S=
×|﹣6|=3．
△DFO
=4S
，
∵S△BAF
△DFO
∴4+=4×3，
解得：
n=，
经验证，n=是分式方程4+=4×3的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
【解析】【分析】
（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函
数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即
可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
（2）由点D在反比例函数在第四象限的
图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长
度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图
形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的
面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐
标．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A
（2，﹣3）和点B（n，2）．
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y=（m≠0）上的整
点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写
出整点P的坐标．
【答案】
（1）解：
∵双曲线y=（m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，
∴点B的坐标为（﹣3，2）．
∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），
∴
解得，
∴直线的表达式为y=﹣x﹣1
（2）解：
符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣
1）．
【解析】【分析】
（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出
点
一次函数解析式；
（2）根据图象和函数解析式得出即可．
8．已知抛物线
与轴的两个交点间的距离为
2．
（1）若此抛物线的对称轴为直线
，请判断点（
3,3）是否在此抛物线上？
（2）若此抛物线的顶点为（
S，t），请证明
；
（3）当
时，求
的取值范围
【答案】
（1）解：
抛物线的对称轴为直线
，且抛物线与
轴的两个交点间的距离
为2，可得抛物线与
轴的两个交点为（
0，0）和（2，0），
所以抛物线
的解析式为与
当
时，
所以点（3,3）在此抛物线上.
（2）解：
抛物线的顶点为
间的距离为2，
可得抛物线与轴的两个交点为（
，则对称轴为直线
，，0）和（
，且抛物线与
，0）
轴的两个交点
所以抛物线的解析式为与
由得
所以；
（3）解：
由
（2）知即整理得
由对称轴为直线，且二次项系数
可知当时，b的随a的增大而增大
当a=10时，得
当a=20时，得
所以当时，
【解析】【分析】
（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然
后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；
（2）先确定对称轴为直线，再得出与x
轴的两交点坐标为（，0）和（，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点
式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数
的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.
9．已知，抛物线的图象经过点，．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，是抛物线对称轴上一点，连接，，试求出当的值最小时点
的坐标；
（3）如图2，是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线
把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
【答案】
（1）解：
将，的坐标分别代入．
得
解这个方程组，得，
所以，抛物线的解析式为
（2）解：
如图1，由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为
所求的点，
由，令，得，
解得，，
点的坐标为，
又，
易得直线的解析式为：
．
当时，，
点坐标
（3）解：
设点的坐标为，
所以所在的直线方程为．那么，与直线的交点坐标为，
与抛物线的交点坐标为．
由题意，得
①，即，
解这个方程，得或（舍去）．
②，即，
解这个方程，得或（舍去），
综上所述，点的坐标为，或，．
【解析】【分析】
（1）将点、的坐标代入可得出、的值，继而得出这个抛物线的
解析式；
（2）由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求
的点，利用待定系数法确定直线的解析式，然后求得该直线与轴的交点坐标即可；
（3）如图2，交于，设，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特
征，设点的坐标为，，．
然后分类讨论：
分别利用或，列关于的方程，然后分别解关于的
方程，从而得到点坐标
10．如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于
点，点与点关于抛物线的对称轴对称.
（1
）求抛物线的解析式及点
的坐标:
（2
）点
是抛物线对称轴上的一动点，当
的周长最小时，求出点
的坐标;
（3
）点
在轴上，且
，请直接写出点
的坐标.
【答案】
（1）解：
根据题意得，
解得
抛物线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
点与点关于抛物线的对称轴对称
点的坐标为
（2）解：
连接
点与点关于抛物线的对称轴对称.
为定值，
即
由
当的
值最小
三点在同一直线上时
解得，
的周长最小
在
由
当
的左侧，
两点坐标可求得直线
时，
的解析式为
当
的周长最小时，点
的坐标为
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