要讲清楚）
在上>0是增函数，与矛盾。
综上：
对有恒成立时，实数的取值范围是.
例4设函数，其中，求函数的极值点。
解：
由题意可得的定义域为，，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。
（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以,在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。
（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：
。
这两个根是否都在定义域内呢？
又需要对参数的取值分情况作如下讨论：
（ⅰ）当时，，所以。
此时，与随的变化情况如下表：
0
递减
极小值
递增
由此表可知：
当时，有唯一极小值点。
（ⅱ）当时，，所以。
此时，与随的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
极小值
递增
由此表可知：
当时，有一个极大值点和一个极小值点。
综上所述：
（1）当时，有唯一极小值点；
（2）当时，有一个极大值点和一个极小值点；
（3）当时，无极值点。
从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。
（19）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
已知函数（其中常数a,b∈R）,是奇函数.
（Ⅰ）求的表达式;
（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
（21）已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.
解：
（Ⅰ）当所以
因此，即曲线又所以曲线
（Ⅱ）因为，所以，令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（22）已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
解：
（Ⅰ）因为，所以，
令，
①当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；
②当，
时，，此时，函数单调递减；
时，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减；
③当时，由于，
，,此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增.
综上所述：
0
（Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。
由于“对任意，存在，使”等价于
“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）
又=，，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾
②当时，因为，同样与（*）矛盾
③当时，因为，解不等式8-4b，可得
综上，b的取值范围是。
（21）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：
对任意，.
解：
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,+），.
当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；
当a≤－1时，＜0,故f（x）在（0,+）单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈（0,）时,＞0；
x∈（，+）时，＜0,故f（x）在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.
令g（x）=f（x）+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1）≤g（x2），
即 f（x1）+4x1≤f（x2）+4x2，故对任意x1,x2∈（0,+），.
（21）已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于，①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即.
从而故a的取值范围为（-∞，-2].
（18）已知函数（）=In（1+）-+（≥0）。
（Ⅰ）当=2时，求曲线=（）在点（1，
（1））处的切线方程；（Ⅱ）求（）的单调区间。
解：
（I）当时，，
由于，，所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
20、（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。
如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
（1）设函数，其中为实数。
（i）求证：
函数具有性质；（ii）求函数的单调区间。
（2）已知函数具有性质。
给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
满分16分。
（1）（i）,∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
（ii）（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：
，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：
在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
（2）（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
综合以上讨论，得：
所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。
所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。
待研究的以下问题
在求函数的单调区间时涉及的分类讨论问题；
在求函数的极值与最值问题引出分类讨论问题；
在涉及函数的零点时引起的分类讨论问题；
参考资料：
导数的应用与分类讨论
【例１】设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R.
（Ⅰ）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，０）上为增函数，求a的取值范围.
解：
（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）.
∵f（x）在x=3处取得极值，
∴f′（３）＝１２（３-a）=0，a=3，检验知成立.
（Ⅱ）由f′（x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1.
若a<1，则当x∈（－∞，a）∪（１，＋∞）时，f′（x）>0，所以f（x）在（－∞，a）和（１，＋∞）上为增函数，而f（x）在（－∞，０）上为增函数，所以０≤a<1；
若a≥1，则当x∈（－∞，1）∪（a，＋∞）时，f′（x）>0，所以f（x）在∈（－∞，1）和（a，＋∞）上为增函数，f（x）在（－∞，０）上也为增函数.
综上，所求a的取值范围为［０，＋∞）.
【点评】（Ⅱ）中对a的值进行分类讨论，当a<1时很容易忽视a≥0这个条件，注意这时f（x）在（－∞，０）上为增函数，必须有a≥0.
【例２】设函数y=ax5-bx3+c（c≠0）在x=±1时有极值，且极大值为４，极小值为０.求a、b、c的值.
解：
令y′=5ax4-3bx2=0，x2（5ax2-3b）=0.所以极值点可能是０和±1.
因为函数x=±1时有极值，所以5a=3b，y′=5ax２（x２-1）=5ax２（x+1）（x-1）.
若a>0，当x变化时，函数递增与递减及极值情况如下表：
若a<0，用同样的方法得a=-3，b=-5，c=2.
【点评】这里实施的是一个二级分类讨论，使用表格简明清晰；在“０”处，为什么没有极值，要深入理解.
【例３】函数y=f（x）在区间（０，＋∞）内可导，导函数f′（x）是减函数，且f′（x）＞０.设x0∈（０，＋∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m.
（Ⅰ）用x0，f（x0），f ′（x0）表示m；
（Ⅱ）证明：
当x0∈（０，＋∞）时，g（x）≥f（x）；
（Ⅲ）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥在［０，＋∞）上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系式.
解：
（Ⅰ）易知m=f（x0）-x0f ′（x0）.
（Ⅱ）令h（x）=g（x）-f（x），则h′（x）=g′（x）-f′（x）=f′（x0）-f′（x），且h′（x0）=0.
∵f′（x）是减函数，∴h′（x）是增函数，则当x>x0时，
h′（x）>0；当x（Ⅲ）将x=0代入题设不等式中，得0≤b≤1，则“a>0，且０≤b≤1”是不等式成立的必要条件.
下面在a>0，且0≤b≤1的条件下求a与b所满足的关系式及b的取值范围.
x2+1≥ax+bx2-ax+（1-b）≥0，对任意x∈［0，＋∞）成立的充要条件是x2-ax+（1-b）在［0，＋∞）上的最小值１－b-≥0，即a≤2
令S（x）=ax+b-，则对于任意x∈［0，＋∞）不等式ax+b≥恒成立S（x）≥0.
由Ｓ′（x）=a-=0得x=a-3，则当0a-3时，Ｓ′（x）>0，所以当x=a-3时，Ｓ（x）取得最小值.因此Ｓ（x）≥０的充要条件是Ｓ（a-3）≥0，即a•a-3+b-≥0，解得a≥.
故a、b所满足的关系式为≤a≤2.
解不等式≤2，得≤b≤，这就是所求的b的取值范围.
【点评】在（Ⅱ）中判断“x0是h（x）惟一的极值点”，在（Ⅲ）中求Ｓ（x）的最小值，都用到了分类讨论.
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