数学方程知识点.docx

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数学方程知识点

数学方程知识点

关于数学方程知识点

1、表示相等关系的式子叫做等式。

2、含有未知数的等式是方程。

3、方程一定是等式;等式不一定是方程。

等式>方程

4、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

这是等式的性质。

等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。

这也是等式的性质。

5、求方程中未知数的过程，叫做解方程。

解方程时常用的关系式：

一个加数=和-另一个加数减数=被减数-差被减数=减数+差

一个因数=积÷另一个因数除数=被除数÷商被除数=商×除数

注意：

解完方程，要养成检验的好习惯。

6、五个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和，等于中间的一个数的5倍。

奇数个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和÷个数=中间数

7、4个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和，等于中间两个数或首尾两个数的和×个数÷2（高斯求和公式）

8、列方程解应用题的思路：

A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题。

B、理清题目的等量关系。

C、设未知数，一般是把所求的数用X表示。

D、根据等量关系列出方程E、解方程F、检验G、作答。

一．列方程解应用题的一般步骤：

1．认真审题：

分析题中已知和未知，明确题中各数量之间的关系；

3．设未知数：

用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法；

4．列方程：

根据这个相等关系列出所需要的代数式，从而列出方程注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量；

列方程应满足三个条件：

方程各项是同类量，单位一致，左右两边是等量；

5．解方程:

解所列出的方程，求出未知数的值；

6．写出答案：

检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。

简记为六个字：

审、找、设、列、解、答。

二．列一元一次方程解应用题的几点注意：

1．注意语言与解析式的互化：

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

2．注意从语言叙述中写出相等关系：

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

3．注意单位换算：

如，“小时”、“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。

三．一元一次方程的实际应用：

常见考法

误区提醒

由于对题意理解不透，不能正确的找出相等关系列出方程。

知识点总结

一．一元二次方程的根：

①验根：

不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

②求根及未知数系数：

已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

③求代数式的值：

在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如

④求作新方程：

已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.一元二次方程的应用：

方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

二．解一元二次方程应用题：

它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。

其一般步骤为：

1．设：

即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；

2．列：

根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；

3．解：

解所列方程，求出解来；

4．验：

一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；

5．.答：

怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

常见考法

（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：

这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。

主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放；

（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。

（几何问题：

主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）；

（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。

（常见的题型是增长率问题，注：

平均增长率公式

误区提醒

（1）已知方程根的情况，确定字母系数的取值范围时，忽视了对二次项系数的讨论；

（2）忽视“方程有实根”的含义，丢掉判别式等于零的情况；

（3）不挖掘题目中的隐含条件导致错解；

（4）忽视等式的基本性质，造成失根；

（5）忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解。

一、基本概念

1.方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

2.分类：

二、解方程的依据-等式性质

1.a=ba+c=b+c

2.a=bac=bc（c0）

三、解法

1.一元一次方程的解法：

去分母去括号移项合并同类项

系数化成1解。

2.元一次方程组的解法：

⑴基本思想：

消元⑵方法：

①代入法

②加减法

四、一元二次方程

1.定义及一般形式：

2.解法：

⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤-推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：

左边=0）

3.根的判别式：

4.根与系数顶的关系：

逆定理：

若，则以为根的一元二次方程是：

。

5.常用等式：

五、可化为一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：

①去分母法②换元法（如，）

⑷验根及方法

2.无理方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：

①乘方法（注意技巧!

!

）②换元法（例，）⑷验根及方法

3.简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题

一概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

1.行程问题（匀速运动）

基本关系：

s=vt

⑴相遇问题（同时出发）：

⑵追及问题（同时出发）：

若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则

⑶水中航行：

;

2.配料问题：

溶质=溶液浓度

溶液=溶质+溶剂

3.增长率问题：

4.工程问题：

基本关系：

工作量=工作效率工作时间（常把工作量看着单位1）。

5.几何问题：

常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

三注意语言与解析式的互化

如，多、少、增加了、增加为（到）、同时、扩大为（到）、扩大了、

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：

100a+10b+c，而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如，x与y的差为3，则x-y=3。

五注意单位换算

如，小时分钟的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例（略）

第六章一元一次不等式（组）

重点一元一次不等式的性质、解法

☆内容提要☆

1.定义：

ab、a

2.一元一次不等式：

axb、ax

3.一元一次不等式组：

4.不等式的性质：

⑴aa+cb+c

⑵abc（c0）

⑶aac

⑷（传递性）acc

⑸ada+cb+d.

5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

7.应用举例（略）

构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。

例1：

如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的'值分别是多少?

解：

原方程整理得（a-4）

∵此方程有无数多解，∴a-4=0且

分别解得a=4，

2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：

已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：

这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

数学六年级上方程知识点苏教版

本单元重点研究列两类方程来解决实际问题：

第一类，列形如ax±b=c的方程来解决生活实际中“比……的……倍多（少）……”的，一倍数是未知的问题。

解决这类问题时关键是找准题目中数量之间相等的关系，列出方程。

解方程时，可以利用等式的性质求解，并代入题目中检验。

第二类，列形如ax±bx=c的方程来解决生活实际中的“和倍”、“差倍”等问题。

解决这类问题时关键是找准题目中数量之间相等的关系，列出方程。

解方程时，可以先根据乘法分配律进行化简，再利用等式的性质求解，并代入题目中检验。

难点剖析

列方程解应用题的关键是正确理解题意，找出题中数量之间的相等关系。

怎样找等量关系呢?

根据常见的基本数量关系列方程。

例如：

甲、乙两人加工300个零件，甲每小时加工25个，乙每小时加工35个。

两人合做几小时完成?

解：

设两人合做X小时完成。

根据工程问题的基本数量关系式：

工作效率×工作时间=工作总量

列方程解：

（25+35）×X=300

抓住题目中的关键语句找等量关系列方程。

例如：

一个化肥厂，今年生产化肥2800吨，今年的产量比去年的2倍少100吨，去年生产化肥多少吨?

抓住题目中“今年的产量比去年的2倍少100吨”这一关键句进行分析，可以知道：

去年产量的2倍-100吨=今年的产量。

解：

设去年生产化肥X吨。

列方程得：

2X-100=2800

利用线段图找等量关系列方程。

例如：

南沙村有120公顷土地种蔬菜，其中种大白菜的面积是种青菜面积的3倍。

种青菜和种大白菜的面积各有多少公顷?

解：

设种青菜的面积为X公顷，种大白菜的面积为3X公顷。

画出线段图：

X公顷

种青菜的面积

3X公顷共300公顷

种大白菜的面积

从图中不难发现等量关系：

种青菜的面积+种白菜的面积=总面积。

列方程得：

X+3X=300

根据有关公式或概念列方程。

例如：

把一块长方形菜地的四周围上18米的篱笆。

已知菜地长5米，宽是多少米?

解：

设宽是X分米，根据“长方形的周长=（长+宽）×2”这一公式列方程得：

（5+X）×2=18

二元一次方程

1.二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知项的次数是1，系数不是O，这样的整式方程，叫做二元一次方程.

二元一次方程指的是有两个未知数的，而且未知数的质数都是1的方程式。

由二元一次方程衍生出了二元一次方程组、二元一次方程的解等方面的知识，一般来说，解二元一次方程都需要把方程中的未知数的个数减少，然后再解，它的方程式是X-Y=1。

2.二元一次方程的一般形式ax+by=c（其中x、y少是未知数，a、b、c是字母已知数，且ab≠O）.

3.判断一个方程是二元一次方程，它必须同时满足下列四个条件

（l）含有两个未知数;

（2）未知项的次数都是1;

（3）未知项的系数都不是仇

（4）等号两边的代数式是整式，即方程是整式方程.

二元一次方程解题技巧：

每个人初学二元一次方程的时候，总是会觉得十分难解的，但是只要你掌握了解题技巧，自然而然就能解开。

首先要想解开一个二元一次方程，就应该是解开二元一次方程组，第一步做的就是把第一个和第二个方程组合并，然后把需要解开的项移到一旁，然后合并同类项，最后就可以将解得的一个未知数带入原先的方程中，就可以得知两个未知数的值。

通常求一个二元一次方程解的方法是:

用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，如3x-x/2=7变形为y=2（3x-7），给出二的一个值，就可以求出少的对应值，这样就得到了一个方程的解。

适合一个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解.由于任何一个二元一次方程，让其中一个未知数取任意一个值，都可以求出与其对应的另一个未知数的值，因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解.但若对未知数的取值附加某些条件限制时，方程的解可能只有有限个.

方程与方程组

一元一次方程：

①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：

去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：

两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：

代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：

只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程

1）一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

（1）配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

（2）分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

（3）公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac）]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac）]}/2a

3）解一元二次方程的步骤：

（1）配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

（2）分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

（3）公式法

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4）韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

5）一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diaota”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）

1、圆的定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（x-a）^2+（y-b）^2=r^2

（1）标准方程，圆心（a,b），半径为r;

（2）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：

先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;

另外要注意多利用圆的几何性质：

如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;

（2）过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

（3）过圆上一点的切线方程：

圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2

练习题：

2.若圆（x-a）2+（y-b）2=r2过原点，则（）

A.a2-b2=0B.a2+b2=r2

C.a2+b2+r2=0D.a=0，b=0【解析】选B.因为圆过原点，所以（0，0）满足方程，

即（0-a）2+（0-b）2=r2，

所以a2+b2=r2.