2
④等腰三角形的三角关系：
设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，
则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=180︒-∠A
2
等边三角形
1.等边三角形的性质：
等边三角形的每一个角都等于60°。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
○6零指数幂的概念：
a0＝1（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
1
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
○7负指数幂的概念：
a－p＝ap（a≠0，p是正整数）
三角形中位线定理的作用：
位置关系：
可以证明两条直线平行。
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂
的倒数．
数量关系：
可以证明线段的倍分关系。
npmp
常用结论：
任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：
三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
也可表示为：
mn
3、因式分解：
（m≠0，n≠0，p为正整数）
结论2：
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
因式分解
一．回顾知识点
1、主要知识回顾：
○1幂的运算性质：
am·an＝am＋n（m、n为正整数）
○2同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
＝amn（m、n为正整数）
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分
解．
熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
○3幂的乘方，底数不变，指数相乘．ab
○4积的乘方等于各因式乘方的积．
aman＝am－n
anbn（n为正整数）常用的公式：
①平方差公式：
（a＋b）（a－b）＝a2－b2
②完全平方公式：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
○5同底数幂相除，底数不变，指数相减．
3.十字相乘法
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
分式
知识点一：
分式的定义
约分。
A步骤：
把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子B叫做分式，A
为分子，B为分母。
知识点二：
与分式有关的条件
①分式有意义：
分母不为0（B≠0）
②分式无意义：
分母为0（B=0）
⎨
⎧A=0
B≠0
注意：
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：
最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：
分式的通分
③分式值为0：
分子为0且分母不为0（⎩）①分式的通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分
⎧A>0
⎨
④分式值为正或大于0：
分子分母同号（⎩B>0
⎧A>0
⎨
⑤分式值为负或小于0：
分子分母异号（⎩B<0
⑥分式值为1：
分子分母值相等（A=B）
⎧A<0
⎩
⎨B<0
或）
⎧A<0
⎩
⎨B>0
或）
式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：
取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
⑦分式值为-1：
分子分母值互为相反数（A+B=0）
知识点三：
分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
A=A∙CA=A÷C
字母表示：
BB∙C，BB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
A=-A=--A=-A
B-BB-B
注意：
在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
知识点四：
分式的约分
定义：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：
分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
a∙cbd
=a∙c
b∙d
公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：
①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
分式除以分式：
把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
知识点八列分式方程
a÷cbd
=a∙d
bc
=a∙d
b∙c
⎛a⎫nan
ç⎪=
基本步骤
①找出等量关系。
②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程（组）。
④解—解出方程（组）。
注意检验
②分式的乘方：
把分子、分母分别乘方。
③分式的加减法则：
⎝b⎭bn⑤写答。
a
⑥3、比和比例：
⑦
（1）比
a
同分母分式加减法：
分母不变，把分子相加减。
c
±b=
c
a±bc
：
两个数a与b（b≠0）相除，叫做a与b的比，记作a︰b或。
b
⑧其中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
⑨
（2）比例：
表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例。
a
⑩比例a:
b=c:
d可以写成b的形式，其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例
a±c
bd
=ad±bc
bd
内项。
（3）比例的基本性质：
整式与分式加减法：
可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作
是分母为1的分式，再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简
如果a：
b=c：
d，那么ad=bc（bd≠0），即：
比例的两内项之积等于两外项之积。
（4）连比：
一般地，如果第一个数与第二个数的比是a:
b，第二个数与第三个数的比是b:
c，那么可以将这三个数的比写成a:
b:
c,称a:
b:
c是三个数a，b，c的连比。
数据的分析
1、普查：
为了特定目的对全部考察对象进行的全面的调查叫做普查。
2、总体，个体，样本，样本容量：
被考察的对象的全体叫做总体，组成总体的每
一个被考察的对象叫做个体。
从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本。
样本中个体的数量叫做样本容量。
3、抽样调查：
从总体中抽取部分个体，根据对这一部分个体的调查，估计被考察对象的整体情况，这种调查叫做抽样调查。
4、平均数：
把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。
平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。
用符号X表示，读做“x拔”
。
权的理解:
反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
算术平均数公式
平均数的性质：
如果数据x1，x2，……的平均数为x，则x1+a,x2+a，x3+a……的平均数为x+a，
kx1，kx2，k……的平均数为kx。
2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；
（如图）
（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）
∴OC是角平分线几何表达式举例：
（1）∵MN是线段AB的垂直平分线
AB∴PA=PB
N
（2）∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
加权平均数公式：
5、中位数和众数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数
6.方差
3.
关于轴对称的定理M
A
（1）关于某条直线对称的两个OF
C
图形是全等形；（如图）
B
N
（2）如果两个图形关于某条直
线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）
几何表达式举例：
E
（1）∵ΔABC、ΔEGF关于
MN轴对称
∴ΔABC≌ΔEGF
（2）∵ΔABC、ΔEGF关于
MN轴对称
∴OA=OEMN⊥AE
公式
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
4.
RtΔ斜边中线定理及逆定理：
A
（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）
C
（2）如果三角形一边上的中线
是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）
几何表达式举例：
∵ΔABC是直角三角形
∵D是AB的中点
1
B
∴CD=2AB
（2）∵CD=AD=BD
∴ΔABC是直角三角形
四边形
BC
1.常见图形中，
仅是轴对称图形的有：
角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……
；仅是中心对称图形的有：
平行四边形……；
是双对称图形的有：
线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….
注意：
线段有两条对称轴.
2.三角形能否成立的条件是：
最长边＜另两边之和.
3.如图，双垂图形中，有个重要的性质，即：
A
D
1
2
（2）∠1=∠B，∠2=∠A.CB
4.三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.
5.几何基本作图分为：
（1）作线段等于已知线段；
（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；
（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；
（6）过已知点作已知直线的平行线.
会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”
、“等腰直角三角形”的作图.6．作图
题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：
每步作图都应该是几何基本作图.
几何重要图形和辅助线
（1）选取和作辅助线的原则：
①构造特殊图形，使可用的定理增加；
○2聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；
（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）
（4）已知等腰三角形ABC
中，AB=AC
（5）其它
（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）
E
A
D
O
BC
多边形转化为三角形；
延长BC到D，使CD=BC，连结AD，直角三角形转化为等腰三角
形；
A
BCD
若a∥b,AC,BC是角平分线,则∠C=90°.
Aa
C
b
B
Attheend,XiaoBiangivesyouapassage.Minandoncesaid,"peoplewholearntolearnareveryhappypeople.".Ineverywonderfullife,learningisaneternaltheme.Asaprofessionalclericalandteachingposition,Iunderstandtheimportanceofcontinuouslearning,"lifeisdiligent,nothingcanbegained",onlycontinuouslearningcanachievebetterself.Onlybyconstantlylearningandmasteringthelatestrelevantknowledge,canemployeesfromallwalksoflifekeepupwiththepaceofenterprisedevelopmentandinnovatetomeettheneedsofthemarket.Thisdocumentisalsoeditedbymystudioprofessionals,theremaybeerrorsinthedocument,ifthereareerrors,pleasecorrect,thankyou!
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