完整版第34届全国中学生物理竞赛复赛试题doc.docx
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第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均
水平，横截面如图所示。
重力加速度大小为g。
试在下述两种情
形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内
底部附近作无滑滚动。
R
1
二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线
r
k
P
1
cos
C
式中，r是P到太阳S的距离，
是矢径SP相对于极
r
轴SA的夹角（以逆时针方向为正），k
L2
2,
L是
B
A
GMm
S
1011m3
kg1
s2为
P相对于太阳的角动量，G6.67
RE
引力常量，M1.991030kg
为太阳的质量，
D
2EL2
为偏心率，m和E分别为P的质量
12
M
23
G
m
和机械能。
假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，
地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，
两轨道相交于
C、D两点，如图所示。
已知地球轨道半径
RE1.49
1011m，彗星轨道近日
点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。
求彗
星
（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；
（2）经过C、D两点时速度的大小。
已知积分公式
xdx
2
3/2
1/2
xa
x
a
2axaC，式中C是任意常数。
3
2
三、（40分）一质量为M的载重卡车A的
水平车板上载有一质量为m的重物B，在
水平直公路上以速度v0做匀速直线运动，
重物与车厢前壁间的距离为L（L0）。
因发生紧急情况，卡车突然制动。
已知卡
车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为
BL
A
1，重物与车厢底板间的动摩擦因数
和最大静摩擦因数均为2（21）。
若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，
碰后重物与车厢前壁不分开。
重力加速度大小为g。
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走
过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B与
车厢前壁不发生碰撞的条件；
（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。
3
四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O点
与O1点为圆心的导电半圆弧内切于M点，半圆O的半P
径为2a，半圆O1的半径为a；两个半圆弧和圆O的半Q
径ON围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场
（未画出），磁感应强度大小为B；其余区域没有磁场。
M
1
O
N
半径OP为一均匀细金属棒，以恒定的角速度
绕O
O
点顺时针旋转，旋转过程中金属棒
OP与两个半圆弧均接触良好。
已知金属棒OP电阻为R，
两个半圆弧的电阻可忽略。
开始时
P点与M点重合。
在t（0t
π）时刻，半径OP与半
圆O1交于Q点。
求
（1）沿回路QPMQ的感应电动势；
（2）金属棒OP所受到的原磁场B的作用力的大小。
4
五、（40分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图
a所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，
其间存在匀强电场，两极板间电势差为
U。
两个极板的板面中部各有一狭缝
（沿OP方向的
狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板
（见图b）；两细虚线间（除开两极板之间的区域）
既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。
在离子源
S中
产生的质量为m、带电量为q（q
0）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的
O点
进入磁场区域，O点到极板右端的距离为
D，到出射孔P的距离为bD（常数b为大于2的
自然数）。
已知磁感应强度大小在零到
Bmax之间可调，离子从离子源上方的
O点射入磁场区
域，最终只能从出射孔P射出。
假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。
忽略相对论效应。
求
（1）可能的磁感应强度B的最小值；
（2）磁感应强度B的其它所有可能值；
（3）出射离子的能量最大值。
D
bD
OD
P
S
图b
S
图a
5
六、（40分）1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，
从而证明了原子能级的存在。
加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。
该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm:
760nm）内的光谱线。
仅考虑一维正碰。
（1）求该氢原子能发出的可见光的波长；
（2）求加速后电子动能Ek的范围；
（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。
已知hc1240nmeV，其中h为普朗克常数，c为真空中的光速；质子质量近似为电子质量
的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。
6
七、（40分）如气体压强-体积图所示，摩尔数为的双原子理想气体构成的系统经历一正循
环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A到B为直线过程，自B到A为等温
过程。
双原子理想气体的定容摩尔热容为5R，R为气体常量。
2
（1）求直线AB过程中的最高温度；
（2）求直线AB过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB
过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度Tc；
（3）求整个直线AB过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。
P
A
P0
P0/2B
O
0
V
0
V
V/2
7
八、（40分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其
迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属于不同球面的球台侧面，其
纵剖面如右图所示。
这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。
菲涅尔透镜
的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立
的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F点）。
已知
透镜材料的折射率为n，从透镜中心O（球冠的顶点）到焦点F的距离（焦距）为f（平行
于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F点），相邻环带的间距为d（d很小，可忽略同
一带内的球面像差；d又不是非常小，可忽略衍射效应）。
求
（1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离；
（2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。
d
d
d
O
F
d
d
d
8
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个
半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横
截面如图所示。
重力加速度大小为g。
试在下述两种情形下，求小圆
柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附R近作无滑滚动。
解：
（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。
小圆柱受三个力作用：
重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。
设圆筒对小圆柱的静摩擦
力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）
。
考虑小圆柱质心的运动，由质心
运动定理得
F
mgsin
ma
①
式中，a是小圆柱质心运动的加速度。
由于小圆柱与圆筒间作无滑
滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度
1（规定小圆柱在最低点时
10）与
之间的关系为
R
r（1
）
②
由②式得，a与
的关系为
a
d2
1
（R
r）
d2
③
r
2
2
R
dt
dt
考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得
1
rFI
d2
1
④
2
dt
式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量
I
1mr2
⑤
sin
2
由①②③④⑤式及小角近似
⑥
得
d2
2g
0
⑦
dt2
3（R
r）
由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
f
1
g
⑧
π6（R
r）
（2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，
1和
2分别为小圆柱与圆筒转过的角
度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，
开始时小圆柱处于最低点位置
120）。
1mr2
d
2
对于小圆柱，由转动定理得
Fr
1
⑨
2
dt2
对于圆筒，同理有
FR
（MR
2
）
d2
2
⑩
dt
2
d2
d2
由⑨⑩式得
F
2
1
r
1
2
?
m
M
dt
R
2
dt2
设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角
，由于小圆柱与圆筒
间做无滑滚动，有
R
r（
1
）
R2
?
由?
式得
d2
r
d2
1
R
d2
2
?
（Rr）2
dt
2
2
dt
dt
设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为
a，由质心运动定理得
F
mgsin
ma
?
9
由?
式得
2
a
d
?
（Rr）
由?
?
?
?
式及小角近似sin
dt2
，得
d2
2M
mg
0
?
dt2
3M
mR
r
由?
式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
f
1
2M
m
g
?
2π3M
mR
r
评分参考：
第
（1）问20
分，①②式各
3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各
2分，⑦式3
分，⑧式
2分；第
（2）问20
分，⑨⑩?
式各2
分，?
式3分，?
?
?
式各2分，?
式3
分，?
式2分。
二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线
r
k
1
cos
式中，r是P到太阳S的距离，
是矢径SP相对于极轴SA的夹角（以逆时针方向为正）
，
2
k
L
L是P相对于太阳的角动量，G
6.67
10
11m3kg1
s2为引力常量，
GMm2
M
1.99
30
kg
2EL2
E
10
为太阳的质量，
1
为偏心率，m和
分别为P的质量和
G2M2m3
机械能。
假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，
两轨道相交于
C、D两点，如图所示。
已知地球轨道半径
RE
1.491011m，彗星轨道近日
点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。
求彗
星
（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；
P
C
（2）经过C、D两点时速度的大小。
r
xdx
2
3/2
1/2
已知积分公式
xa
2a
x
A
x
a
3
aC，式
B
中C是任意常数。
S
RE
解：
D
（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故
1,
E
0
①
彗星绕太阳运动的轨道方程为：
r
k
②
1cos
彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒
1
2
2
L
V
r
E
0
③
mr&
2
2
2mr
式中
V
r
G
Mm
④
r
当彗星运动到近日点
A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为
rmin，由③式得
L2
V
rmin
G
Mm
⑤
2mrmin2
rmin
由⑤式和题给条件得
L2
rmin
RE
⑥
2GMm2
3
10
由③式得
dr
2GM
L2
dr
⑦
dt
r
22或dt
2GM
L2
mr
r
2
2
mr
t，对⑦式两边积分，并利用
设彗星由近日点
A运动到与地球轨道的交点
C所需的时间为
⑥式得
t
RE
dr
1
RE
rdr
⑧
RE
rmin
2
2GM
2GM
3
RE
L
r
r
22
3
mr
对⑧式应用题给积分公式得
1
t
2GM
RE
rdr
RE
RE
3
r
3
3/2
2RER
1/2
1
2
R
RE
RE
⑨
2GM
3
E
3
3
E
3
103RE32
27GM
由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为
20
3R3
2
T
2
t
E
⑩
27
GM
将题给数据代入
⑩式得
T
6.40
106s
?
（2）彗星在运动过程中机械能守恒
1
mv2
GMm
E0
?
2
r
式中v是彗星离太阳的距离为r时的运行速度的大小。
由
?
式有
v
2GM
?
r
当彗星经过C、D处时
rCrDRE
?
由?
?
式得，彗星经过
C、D两点处的速度的大小为vC
2GM
?
vD
RE
由?
式和题给数据得
vC
vD4.22
4
?
10m/s
评分参考：
第
（1）问28
分，①式4
分，②式
2分，③式
4分，④式
2分，⑤式
4分，⑥
⑦⑧⑨⑩?
式各2分；第
（2）问12
分，?
式4分，?
?
?
?
式各2分。
三、（40分）一质量为
M的载重卡车A的水平车板上载有一质量为
m的重物B，在水平直
公路上以速度
0
做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为
L
0）。
因发生紧急情况，
v
（L
卡车突然制动。
已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为
1，重物与车
厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为
2（2
1）。
若重物与车厢前壁发生碰撞，
则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。
重力加速度大小为
g。
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走
过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物
B与
车厢前壁不发生碰撞的条件；
（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车
B
L
A
和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及
碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。
11
解：
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。
卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为a1。
由牛顿第二定律有
1（Mm）g
2mg
Ma1
①
由①式得
a1
1M
（1
2）mg
M
由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间
t1和移动的距离
s1分别为
M
2
M
2
t1v0
v0
v0
②
1M（1
v0，s1
1M（1
2）m2g
a1
2）mg
2a1
重物B在卡车A的车厢底板上做匀减速直线运动，
设B相对于地面的加速度大小为a2。
由牛顿第二定律有
2mg
ma2
a2
2mg
2g
③
m
从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间
t2和重物移动的距离
s2分别为
t2v0
v0
，
v02
v02
④
s2
22g
a2
2g
2a2
由于21，由②④二式比较可知，t2t1，即卡车先停，重物后停。
若s2s1L，重物B与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是
2
2
（
2
Ls2
s1
v0
v0
1
2）（Mm）v0
⑤
2a2
2a1
2[1M（1
2）m]2g
（2）由⑤式知，当满足条件
L
s2
s1
（
1
2）（M
m）
v02
22[1M（1
时，重物B与车厢前壁
2）m]g
必定发生碰撞。
设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为
t，此时有几何条件
s2（t）s1（t）L
⑥
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