第12章教材习题解答.doc
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E2
E
E1
q2
A
C
q1
B
θ
图12.3
第12章静电场
12.3如图所示,在直角三角形ABCD的A点处,有点电荷q1=1.8×10-9C,B点处有点电荷q2=-4.8×10-9C,AC=3cm,BC=4cm,试求C点的场强.
解:
根据点电荷的场强大小的公式
,其中1/(4πε0)=k=9.0×109N·m2·C-2.
点电荷q1在C点产生的场强大小为
,方向向下.
点电荷q2在C点产生的场强大小为
,方向向右.
C处的总场强大小为
,
总场强与分场强E2的夹角为.
Ex
x
E
θ
R
ds
Ey
O
y
12.4半径为R的一段圆弧,圆心角为60°,一半均匀带正电,另一半均匀带负电,其电线密度分别为+λ和-λ,求圆心处的场强.
解:
在带正电的圆弧上取一弧元ds=Rdθ,电荷元为dq=λds,
在O点产生的场强大小为
ds
Ex
x
E
θ
R
Ey
O
y
,场强的分量为dEx=dEcosθ,dEy=dEsinθ.
对于带负电的圆弧,同样可得在O点的场强的两个分量.由于弧形是对称的,x方向的合场强为零,总场强沿着y轴正方向,大小为
.
12.5均匀带电细棒,棒长a=20cm,电荷线密度为λ=3×10-8C·m-1,求:
(1)棒的延长线上与棒的近端d1=8cm处的场强;
(2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2=8cm处的场强.
-L
o
lx
x
dl
y
P1
r
L
d1
解:
(1)建立坐标系,其中L=a/2=0.1(m),x=L+d1=0.18(m).
在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq=λdl,根据点电荷的场强公式,电荷元在P1点产生的场强的大小为
场强的方向沿x轴正向.因此P1点的总场强大小通过积分得
----------①
将数值代入公式得P1点的场强为
=2.41×103(N·C-1),方向沿着x轴正向.
(2)建立坐标系,y=d2.在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq=λdl,在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为,
o
lx
x
dl
r
-L
L
y
P2
dEy
dE2
dEx
d2
θ
θ
由于棒是对称的,x方向的合场强为零,y分量为dEy=dE2sinθ.由图可知:
r=d2/sinθ,l=d2cotθ,所以dl=-d2dθ/sin2θ,因此,
总场强大小为
----------②
将数值代入公式得P2点的场强为
=5.27×103(N·C-1).方向沿着y轴正向.
[讨论]
(1)由于L=a/2,x=L+d1,代入①式,化简得
,
保持d1不变,当a→∞时,可得----------③
这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小.
(2)由②式得
,
当a→∞时,得----------④
这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果d1=d2,则有大小关系Ey=2E1.
θ
R
O
图12.6
12.6一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状,试问θ为何值时,圆心O点处的场强为零.
解:
设电荷线密度为λ,先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强.在圆弧上取一弧元ds=Rdφ,所带的电量为dq=λds,在圆心处产生的场强的大小为
,
θ
R
O
x
dφ
dE
φ
由于弧是对称的,场强只剩x分量,取x轴方向为正,场强为dEx=-dEcosφ.总场强为
方向沿着x轴正向.
θ
O
E`
E``
x
R
再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强.根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为,由于两根半无限长带电直线对称放置,它们在O点产生的合场强为
,方向沿着x轴负向.
当O点合场强为零时,必有,可得tanθ/2=1,
因此θ/2=π/4,所以θ=π/2.
P
b
a
Q
d
图12.7
12.7一宽为b的无限长均匀带电平面薄板,其电荷密度为σ,如图所示.试求:
(1)平板所在平面内,距薄板边缘为a处的场强.
(2)通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强.
P
b
a
O
x
dx
y
解:
(1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线,电荷的线密度为dλ=σdx,根据直线带电线的场强公式,
得带电直线在P点产生的场强为
,其方向沿x轴正向.
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同,所以总场强为
--------①
场强方向沿x轴正向.
Q
b
d
O
z
dx
x
y
r
dE
θ
(2)为了便于观察,将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线,电荷的线密度仍然为dλ=σdx,带电直线在Q点产生的场强为,
沿z轴方向的分量为,
设x=dtanθ,则dx=ddθ/cos2θ,因此
积分得---------②,场强方向沿z轴正向.
[讨论]
(1)薄板单位长度上电荷为λ=σb,①式的场强可化为,
当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为
--------③
这正是带电直线的场强公式.
(2)②也可以化为,
当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为
,这也是带电直线的场强公式.
当b→∞时,可得---------④
这是无限大带电平面所产生的场强公式.
12.8
(1)点电荷q位于一个边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少?
(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上,这时通过立方体各面的电通量是多少?
解:
点电荷产生的电通量为Φe=q/ε0.
(1)当点电荷放在中心时,电通量要穿过6个面,通过每一面的电通量为Φ1=Φe/6=q/6ε0.
(2)当点电荷放在一个顶角时,电通量要穿过8个卦限,立方体的3个面在一个卦限中,通过每个面的电通量为Φ1=Φe/24=q/24ε0;
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直,通过每个面的电通量为零.
R
O
图12.9
12.9面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板,以平板上的一点O为中心,R为半径作一半球面,如图所示.求通过此半球面的电通量.解:
设想在平板下面补一个半球面,与上面的半球面合成一个球面.球面内包含的电荷为q=πR2σ,
通过球面的电通量为Φe=q/ε0,
通过半球面的电通量为Φ`e=Φe/2=πR2σ/2ε0.
12.10两无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2(R1>R2),带有等量异号电荷,单位长度的电量为λ和-λ,求
(1)r(2)R1R2处各点的场强.
解:
由于电荷分布具有轴对称性,所以电场分布也具有轴对称性.
(1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内没有电荷,所以E=0,(r(2)在两个圆柱之间做一长度为l,半径为r的同轴圆柱形高斯面,高斯面内包含的电荷为q=λl,穿过高斯面的电通量为
根据高斯定理Φe=q/ε0,所以,(R1(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内电荷的代数和为零,所以E=0,(r>R2).
12.11一厚度为d的均匀带电无限大平板,电荷体密度为ρ,求板内外各点的场强.
解:
方法一:
高斯定理法.
(1)由于平板具有面对称性,因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:
E=E`.
在板内取一底面积为S,高为2r的圆柱面作为高斯面,场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通过高斯面的电通量为
,
高斯面内的体积为V=2rS,包含的电量为q=ρV=2ρrS,
根据高斯定理Φe=q/ε0,可得场强为E=ρr/ε0,(0≦r≦d/2)--------①
(2)穿过平板作一底面积为S,高为2r的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES,
高斯面在板内的体积为V=Sd,包含的电量为q=ρV=ρSd,
根据高斯定理Φe=q/ε0,可得场强为E=ρd/2ε0,(r≧d/2)--------②
E2
dy
r
y
o
E1
d
方法二:
场强叠加法.
(1)由于平板的可视很多薄板叠而成的,以r为界,下面平板产生的场强方向向上,上面平板产生的场强方向向下.在下面板中取一薄层dy,面电荷密度为dσ=ρdy,
产生的场强为dE1=dσ/2ε0,
积分得--------③
同理,上面板产生的场强为---------④
r处的总场强为E=E1-E2=ρr/ε0.
(2)在公式③和④中,令r=d/2,得E2=0、E=E1=ρd/2ε0,
E就是平板表面的场强.
平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果,是均强电场,方向与平板垂直,大小等于平板表面的场强,也能得出②式.
O
R
a
R`
O`
图12.13
12.13一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为R`解:
挖去一块小球体,相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体,因此,空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加.
对于一个半径为R,电荷体密度为ρ的球体来说,当场点P在球内时,过P点作一半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程
,P点场强大小为.
当场点P在球外时,过P点作一半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程
,P点场强大小为.
O点在大球体中心、小球体之外.大球体在O点产生的场强为零,小球在O点产生的场强大小为,方向由O指向O`.
O`点在小球体中心、大球体之内.小球体在O`点产生的场强为零,大球在O点产生的场强大小为,方向也由O指向O`.
[证明]在小球内任一点P,大球和小球产生的场强大小分别为
O
a
r`
O`
r
Er
Er`
θ
E
P
,,方向如图所示.
设两场强之间的夹角为θ,合场强的平方为
,
根据余弦定理得,
所以,
可见:
空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明:
场强的方向沿着O到O`的方向.因此空腔内的电场为匀强电场.
-q
+q
O
B
D
C
A
图12.14
12.14如图所示,在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验电荷q0从O点经过半圆弧路径移到C点,求移动过程中电场力所做的功.
解:
正负电荷在O点的电势的和为零:
UO=0;
在C点产生的电势为,
电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为W=q0UOD=q0(UO-UD)=q0q/6πε0R.
12.15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B.A平面的电荷面密度为2σ,B平面的电荷面密度为σ,两面间的距离为d.当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的功为多少?
解:
两平面产生的电场强度大小分别为EA=2σ/2ε0=σ/ε0,EB=σ/2ε0,两平面在它们之间产生的场强方向相反,因此,总场强大小为E=EA-EB=σ/2ε0,方向由A平面指向B平面.
两平面间的电势差为U=Ed=σd/2ε0,当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的功为W=qU=qσd/2ε0.
12.16一半径为R的均匀带电球面,带电量为Q.若规定该球面上电势值为零,则无限远处的电势为多少?
解:
带电球面在外部产生的场强为,
由于,
当UR=0时,.
12.17电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内,试证明离球心r(r.
[证明]球的体积为,电荷的体密度为.
利用12.10题的方法可求球内外的电场强度大小为
,(r≦R);,(r≧R).
取无穷远处的电势为零,则r处的电势为
.
o
-b
E`
S2
S2
E`
y
b
E
b
b
E
S1
S0
S0
S1
12.18在y=-b和y=b两个“无限大”平面间均匀充满电荷,电荷体密度为ρ,其他地方无电荷.
(1)求此带电系统的电场分布,画E-y图;
(2)以y=0作为零电势面,求电势分布,画E-y图.
解:
平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:
E=E`,但方向相反.
(1)在板内取一底面积为S,高为2y的圆柱面作为高斯面,场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通过高斯面的电通量为
.
高斯面内的体积为V=2yS,包含的电量为q=ρV=2ρSy,
根据高斯定理Φe=q/ε0,可得场强为E=ρy/ε0,(-b≦y≦b).
穿过平板作一底面积为S,高为2y的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES,高斯面在板内的体积为V=S2b,包含的电量为q=ρV=ρS2b,
根据高斯定理Φe=q/ε0,可得场强为E=ρb/ε0, (b≦y);
E=-ρb/ε0, (y≦-b).E-y图如左图所示.
(2)对于平面之间的点,电势为,
在y=0处U=0,所以C=0,因此电势为,(-b≦y≦b).这是一条开口向下的抛物线.当y≧b时,电势为,
在y=b处U=-ρb2/2ε0,所以C=ρb2/2ε0,因此电势为,(b≦y).
当y≦-b时,电势为,
在y=-b处U=-ρb2/2ε0,所以C=ρd2/2ε0,因此电势为,
o
y
E
-b
b
o
y
U
-b
b
两个公式综合得,(|y|≧d).这是两条直线.
U-y图如右图所示.U-y图的斜率就形成E-y图,在y=±b点,电场强度是连续的,因此,在U-y图中两条直线与抛物线在y=±b点相切.
A
B
P
图12.19
[注意]根据电场求电势时,如果无法确定零势点,可不加积分的上下限,但是要在积分之后加一个积分常量.根据其他关系确定常量,就能求出电势,不过,线积分前面要加一个负号,即,这是因为积分的起点位置是积分下限.
12.19两块“无限大”平行带电板如图所示,A板带正电,B板带负电并接地(地的电势为零),设A和B两板相隔5.0cm,板上各带电荷σ=3.3×10-6C·m-2,求:
(1)在两板之间离A板1.0cm处P点的电势;
(2)A板的电势.
解:
两板之间的电场强度为E=σ/ε0,
方向从A指向B.以B板为原点建立坐标系,则rB=0,rP=-0.04m,rA=-0.05m.
A
B
P
r
o
(1)P点和B板间的电势差为
(2),
由于UB=0,所以P点的电势为=1.493×104(V).
同理可得A板的电势为=1.866×104(V).
o
x
dl
y
L
r
-L
P1
l
图12.10
12.20电量q均匀分布在长为2L的细直线上,试求:
(1)带电直线延长线上离中点为r处的电势;
(2)带电直线中垂线上离中点为r处的电势;
(3)由电势梯度算出上述两点的场强.
解:
电荷的线密度为λ=q/2L.
(1)建立坐标系,在细线上取一线元dl,所带的电量为dq=λdl,根据点电荷的电势公式,它在P1点产生的电势为
o
lxx
x
dl
-L
L
y
r
θ
P2
总电势为.
(2)建立坐标系,在细线上取一线元dl,所带的电量为dq=λdl,在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为
,积分得
.
(3)P1点的场强大小为
--------①,方向沿着x轴正向.
P2点的场强为
--------②
方向沿着y轴正向.
[讨论]习题12.3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为
,由于2Lλ=q,取x=r,就得公式①.
(2)习题12.3的解答还计算了中垂线上的场强为
取d2=r,可得公式②.
由此可见,电场强度可用场强叠加原理计算,也可以用电势的关系计算.
rA
R1
A
O
B
R2
rB
图12.21
12.21如图所示,一个均匀带电,内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,所带电荷体密度为ρ,试计算:
(1)A,B两点的电势;
(2)利用电势梯度求A,B两点的场强.
解:
(1)A点在球壳的空腔内,空腔内的电势处处相等,因此A点的电势就等于球心O点的电势.
O
R1
R2
r
dr
在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳,其体积为dV=4πr2dr,包含的电量为dq=ρdV=4πρr2dr,在球心处产生的电势为
,
球心处的总电势为
O
R1
R2
rB
B
,这就是A点的电势UA.
过B点作一球面,B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的.球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势,根据上面的推导可得
.
球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势.球壳在球面内的体积为
,包含的电量为Q=ρV,
这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为.
B点的电势为UB=U1+U2.
(2)A点的场强为.B点的场强为.
[讨论]过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面,由于面内没有电荷,根据高斯定理,可得空腔中A点场强为E=0,(r≦R1).
过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面,面内球壳的体积为,
包含的电量为q=ρV,根据高斯定理得方程4πr2E=q/ε0,可得B点的场强为,(R1≦r≦R2).这两个结果与上面计算的结果相同.
在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面,面内球壳的体积为
,包含的电量为q=ρV,
根据高斯定理得可得球壳外的场强为,(R2≦r).
A点的电势为
B点的电势为
.
A和B点的电势与前面计算的结果相同.
12.21
(1)设地球表面附近的场强约为200V·m-1,方向指向地球中心,试求地球所带有的总电量.
(2)在离地面1400m高处,场强降为20V·m-1,方向仍指向地球中心,试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度.
解:
地球的平均半径为R=6.371×106m.
(1)将地球当作导体,电荷分布在地球表面,由于场强方向指向地面,所以地球带负量.根据公式E=-σ/ε0,电荷面密度为σ=-ε0E;地球表面积为S=4πR2,地球所带有的总电量为Q=σS=-4πε0R2E=-R2E/k,
k是静电力常量,因此电量为=-9.02×105(C).
(2)在离地面高为h=1400m的球面内的电量为=-0.9×105(C),
大气层中的电荷为q=Q-Q`=8.12×105(C).
由于大气层的厚度远小于地球的半径,其体积约为V=4πR2h=0.714×1018(m3),
平均电荷密度为ρ=q/V=1.137×10-12(C·m-3).